第九章 哈密顿理论在物理学中的应用

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1、第九章哈密顿理论在物理学中的应用一．电磁场中的拉格朗日形式二．薛定谔波动方程的建立三．统计物理学中的刘维定理0．连续体系的拉格朗日方程质点系的拉格朗日方程：以一维弹性棒的纵向振动设：由个相同的分子按到排列；每个分子的质量均为；相邻的分子间的作用力可以看作为弹性力，劲度系数为；固有间隔为。设：是第个质点偏离平衡位置的位移，体系的动能为：第个质点所受到的力：取第个质点为坐标原点，则第个质点的坐标为：为分子的序列数。（为分子在此时刻的位置，体系平衡时所有的）：第个分子对第个分子的作用力：第个分子对第个分子的作用力同理：第个分子受到的合力为：势能V：所以拉格朗日函

2、数：设弹性棒的总质量为：，总长度为：，弹性棒的线密度为：单位长度的质量为：，取极限时：由胡克定律：其中：弹性模量；：单位长度的伸长。胡克定律的构建正应力：应力沿无穷小有向面元外法线方向的投影固体的弹性中：以直杆的正应力为例（为正应力）量纲为：线应变：绝对伸长与原长的比。横向还有变化，设横向变化为，正方形边长为纵向应变与横向应变的比胡克（1678年）定律：对于有拉伸、压缩形变的弹性体，当应力较小时，应变与应力成正比：比例系数，杨氏模量所以有：令：，弹性模量：分离体系下的胡克定律为：所以：在三维空间下：由：得：由于晶格振动，所以都是不变的，由于和都有，由：得：

3、代入：得：因为：对于第二项：对于第三项：所以：所以：连续体系的拉格朗日方程对于三维空间：例：弹性棒纵向振动的运动方程：由：得：代入连续媒质中的拉格朗日方程：令：则：波动方程一．电磁场中的拉格朗日方程真空中的电磁场的运动规律由麦克斯韦方程组给出：无源场电磁感应定律电荷守恒定律安培定律：传导电流；：电荷密度---自由电荷在麦克斯韦方程组中和共有6个分量，但是这六个分量并非彼此都是独立的，由于洛仑兹力并非是保守力，所以在非保守力体系下应用拉格朗日方程我们选取：问题：如何选择适当的拉格朗日密度，利用连续媒质的拉格朗日方程得出电磁场的运动方程令：1）对：代入连续媒质

4、拉格朗日方程：1）对于：选取分量：，令出现的地方：由：得，代入拉格朗日方程中：同理：拉格朗日密度的选择方法：（1）中一定包含和，而且也一定包含激发电磁场的源和；（2）一定是一个标量，其量纲是能量密度的量纲；（3）可以猜出一个来；（4）验证的正确性，方法是将代入连续媒质的拉格朗日方程中，得到电磁场的运动方程；（5）对于不同结构的我们可以选取最简单的形式应用拉格朗日方程建立电磁场运动方程的物理意义：应用麦克斯韦方程组我们可以清晰地解释电磁场的运动，再应用拉格朗日方程，我们已经无法在此基础上得到更多更新的内容，但是，它有力地表明，物理学的统一性“力学运动和电磁学

5、运动具有完全相同的运动规律，因此，我们可以在如粒子物理学中应用连续媒质的拉格朗日方程得到其运动规律，然后与实验结果去对比，或预言新的实验，如果得到的结果都被验证，那么原来的未知的领域的正确理论就被建立起来了。”经典力学的拉格朗日-哈密顿理论是我们探索未知物理世界的一个有力的工具！三．薛定谔波动方程的建立1．经典物理学的危机之一：“以太漂移”笛卡尔（17世纪的物理学家）从朴素的唯物主义出发，为了说明“虚空不虚”最先在物理学中引进了以太。笛卡尔认为，以太是充满整个空间的一种物质，真空中没有空气，但是有以太。18世纪由于力的平方反比定律得发现，超距作用的观点取得

6、了主导的地位，但是作为传输光波的介质，以太又被重新提起。（1）近代物理学中的三大发现：a.阴极射线的发现------1897年汤姆逊（英）b.X射线的发现---------1895年伦琴（德）c.放射线的发现----------1898年居里夫人（波兰）上述的三大发现使得物理学界感到不安，同时也使得物理学界出现的分裂，一个观点：经典物理学毁灭了，物质消灭了，没有衡量真理的标准了，洛仑兹：“我为什么没有在矛盾出现的5年前死去”。另一观点：新物理将出现。光波的进一步研究使得“以太”又具有了很多的性质，“光以太”的概念被提出来，麦克斯韦试图用以太来解释电磁现象，

7、他在1855年《论法拉弟的力线》一文中还在试图用把电磁感应强度比作以太的速度。虽然以太还没有找到，但是此时以太的存在已经成为了公认的事实。（2）经典物理学的理论是基于三个基本关系基础之上的（a）牛顿定律-------------实物（b）麦克斯维方程组----电磁场（c）伽利略变换-----------时空绝对时空的实体是人们长期寻找的，但是却遭到了失败，最后，人们认为以太充满整个空间，由于以太的存在，使得牛顿的绝对时空观又获得了新的寄托和希望。（3）对以太漂移的探索：（a）斯托克斯------以太被运动物体全部拖曳的假设（b）菲索尔（c）赫兹------

8、------应用拖曳说明麦克斯韦方程（d）伽利略---------