现代教育技术题库

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1、P.342研究一下，出现下列情况时，分析过程有何更改。(a)       如果与是的函数。(b)      如果与是的函数。(c)       如果,,和都是的函数。(补充讨论)提示：当系统处于均匀态的时候，所有相关的物理量都将有其各自确定的值；我们的目的是研究系统因为一个小的扰动而偏离均匀态的时候，它能否在经过一段时间以后回到这个均匀态。如果能，我们就称之为稳定的，反之为不稳定的。我们把这一分析过程称之为稳定性分析过程。它的基本思路是：首先确定系统的均匀态（或者称为平衡解），然后就每一个状态分析其稳定性，即引入小扰动，写出关于扰动的物理方程，并化简保留线性项，进而求解线性微分方程(

2、组)，如果关于扰动部分的解不随时间的增长而趋于零，说明该均匀态是不稳定的。参考答案：控制方程：均匀态：小扰动：(a)自行写出分析过程，参考结果如下：线性常系数偏微分方程组：稳定性条件：(b)自行写出分析过程，参考结果如下：线性常系数偏微分方程组：稳定性条件：(c)参考分析过程：i)     将,,和作Taylor展开，忽略二阶(包括二阶以上)小量：ii)     代入控制方程整理，忽略二阶(包括二阶以上)小量：其中：iii)   稳定性分析：猜测有如下的形式解：代入ii)的方程中可得：有非平庸解的条件是系数行列式为零：稳定性的充分条件：(为什么？上式两根均为负，见书上的分析！)稳定性

3、条件：注：这里根据物理条件已经假定，当然也可以放弃这一假设，进行更详细的讨论。 注意：(1)和的书写，如这里也可以写作；(2)是一阶小量，不是二阶小量；(3)http://mathworld.wolfram.com/StabilityMatrix.html 4定义为，且假设是正小量。忽略的高次项，找到二次方程较大根的近似值。推出增长得最快的扰动的波长的近似值。提示：(部分符号已作修改！做作业时要把下面省略的详细步骤补充完整!)i)         二次方程：ii)        定义：iii)      失稳条件：因为是小量，所以也是小量，进而可知也是小量。iv)      二次方程

4、较大根的近似值：v)       增长得最快，说明扰动最大极大值条件：小技巧： (舍去负值)vi)      波长近似值：因为，所以波长近似值：注意：(1)   正确理解题目的意思。(2)  掌握在时的Taylor展开(theTaylorexpansion)。 P.516在(9)式得方程中消去，以便得到关于径向运动的一个微分方程。把它积分以便推得径向运动的开普勒表示式，此处a是椭圆的长半轴，e是偏心率，n是轨道的频率，T是经过近日点的时间(thetimeofperihelionpassage)，而E（称为偏近点角,theeccentricanomaly）是一个参数，每走一圈，它的取值

5、范围为。位置角度即为所谓的真近点角(thetrueanomaly)，量值，随时间而线性变化，称为平近点角(themeananomaly)。在推导中，应先得到下列形式的能量方程为此，请注意在近日点和远日点（即分别离太阳最近和最远的位置）处的径向速度为零。本题重点复习和掌握简单微积分和微分方程的解法，简要了解一下天文学名词。提示：从轨道运动方程推导能量方程。参考答案：轨道方程：由第二个式子，有：代入第一个式子，有：上式两边同乘以，整理得：积分上式得：在远日点和近日点处的径向速度为零，即：因此：（注意C1是否写对了，可能差一个符号）能量方程：令，有：即：令，则有：因此：当时，，则所以：， 

6、偏近点角和真近点角的关系： 补充题：用简单函数(如幂级数、指数函数、对数函数)来表示当时函数的量阶：(本题要求给出具体分析过程！！！)(a)    (b)    (c)     (d)    (e)    (f)      (g)    提示：两个函数之间的关系：http://mathworld.wolfram.com/LandauSymbols.htmlhttp://mathworld.wolfram.com/AsymptoticNotation.html参考分析过程举例如下： 方法一、可作Taylor展开(theTaylorexpansion)的情况：(求量阶只需要展出第一项即可

7、，这里多展了几项，只作参考)(a)   因为，则(b)   同(a)有，(c)   (d)   (g) 方法二、不可能只作Taylor展开的情况：(e)逐渐忽略小量(f)这里只讨论的情况： 方法三、猜测比较法，如：(c)猜测量阶为，比较时使用L’Hospital法则(theL'Hospital'srule)：为使，只有取(g)猜测量阶为，比较时使用L’Hospital法则(theL'Hospital'srule)：为使，只有取 详细解题示例：(a)方法一：