《科学时代》2010年3月下6期--有没有全体素数产生的模式

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1、有没有全体素数产生的模式王晓明（1）王蕊珂（2）（1）四川省乐山市市中区长青路2518号3栋1单元401室（2）Ohio-Wesleyan-University摘要：本文給出了素数通项公式，孪生素数通项公式，把孪生素数猜想转换成为一个初等数论问题加以解決。关键词：素数；素数通项公式；孪生素数通项公式；孪生素数猜想。一、问题的提出在数学中，再也没有比1，2，3，….这些自然数更加自然的意识了，当人类产生了自然数概念并且规定了四则运算之后，人们发现，如果按照乘法性质，所有自然数都可以用素数这种最基本性质表示。最早给

2、出素数定义的是公元前300年左右的古希腊数学家欧几里得，他在不朽的名著《原本》第七卷就开宗明义的指出：“素数是只能够用单位度量的数”。用现代汉语描述就是：“素数就是这样一种数，在小于或者等于它的自然数中，只有1和它自身可以整除它”。欧几里得还天才地证明了有无穷多个素数。被认为是来自上帝的灵感。既然有无穷多个，又有明确的定义，那么就应该有一个可以表示所有素数的通项公式。可是，令人遗憾，2000多年来，人们没有找到这个公式，也就就埋下了寻求素数通项公式的伏笔，所有，以布劳威尔为首的直觉主义学派不以为然：“你没有给出

3、第个素数是如何构成的，就不能算是好的证明。”二、寻找素数公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法：（一）要得到不大于某个自然数n的所有素数，只要在2---n中将不大于的素数的倍数全部划去即可。（二）通过命題的等价转换，由此可以推出定理：“若是合数，则它有一个因子满足1<”。（关于这一定理读者可以参见《基础数论》13页，U杜德利著，上海科技出版社）（三）把（二）的命題等价转换可以推出定理：“若自然不能被不大于的任何素数整除，则是素数”。（关于这个定理可以参见《代数学辞典》259页上海教育出版社）

4、因而定理的内容发生了等价转化。（四）我们还可以把（三）中这一段汉字转换成为英语字母的等价形式：。（1）这里，，…表示顺序素数2，3，5，…。=1，2，…，－1。也就是不等于0，若则是素数。（五）我們把公式（1）还可以等价转换成同余式组形式：。（2）由于（2）式的模两两互素，根据孙子定理（中国剩余定理）知，公式（2）在给定值时，在内有唯一解，利用上两公式可构造任意大的数以内的全部素数。例1．时，由解得3，5，7。（已得区间（）的全部素数）；时由。解得7，13，19；由。解得5，11，17，23；（已得区间（）的全

5、部素数）。时，有下表解：3111，417，3717，4713，43231929已得（）区间内全部素数，仿此下去可求得任意大的数以内的全部素数。并且一个不漏地求得。也不会有合数混入。仅仅从（1）式我们还看不出什么名堂，一转入同余式组（2），线条就清晰了。一旦用孙子定理揭示，我们就看到无限广阔的天地。大家知道，許多重要問題的解決往往是命題的轉換。例如，费马大定理的解決問題是因为通过谷山-志村猜想，把问题转换成為橢圓曲线形式；庞加莱猜想也是佩雷尔曼把问题转换之后得到解決。這是因為通过转换人們找到了解決问题的工具。由孙

6、子定理知，（1）式和（2）式在内有（－1）（－1）…（－1）个解，两式的本质是从…中除出形的合数，这一点与埃拉托塞尼筛法略有不同，埃氏筛是用去筛以内的合数，剩下的就是以内的素数了，例如用2，3，5，去筛49以内的合数，剩下的是（7，49）区间的素数了。（1）式和（2）式是用去筛以内的形数（），连同也筛掉了。切比雪夫证明了：“对于由4开始的所有都是对的，”所以，若时，（1）式和（2）式的计算结果只能取（1，）区间的值才是素数。（32＞2；52＞3×2；72＞5×3×2，但112＜7×5×3×2，从11开始都是这样

7、了）。清华大学出版社《品数学》2010年时，（1）式和（2）式的解：74+174+274+374+474+574+653+1=1121311516118153+2=12737157671879753+3=43163731931031353+4=169791991091913953+1=71191101111314153+2=197107171374716753+3=11323143531738353+4=291495917989209求得了（，）区间的26个素数（小于121的26个值）。共有（2－1）×（3－1

8、）×（5－1）×（7－1）=48个解，小于的解有27个，加上被筛掉的的四个素数2，3，5，7，减去筛不掉的，既不是合数也不是素数的“1”共有：[×]（个）素数，设表示不大于的素数个数：[]（3）方括号表示取整数，利用（3）式计算素数个数可相当精确。下面是利用（3）式的计算值与实际值计算值实际值34459971515113030133939176061197172239799291451