实数集完备性的几个等价定理及其论证方法的比较分析宋莉

《实数集完备性的几个等价定理及其论证方法的比较分析宋莉》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、包头师范学院本科生毕业论文（设计）专用纸实数集完备性的几个等价定理及其证明宋莉（包头师范学院数学系）中文摘要：实数集是一个“优美”的数集，其中之一在于它关于极限运算是完备的.而极限理论是展开微积分的基础，从而微积分建立在严密的基础之上.反映实数集完备性的几个基本定理是实数理论的重要组成部分也是数学分析中的一个难点，本人再次将实数完备性认真的学习了一遍，并查找资料，对其相关的命题、定理加以整理，找出几种七个基本定理的等价性证明.关键词：实数集完备性基本定理的等价性证明1引言每个人从小都要学数数，从1、2、3开始学习自然数.两个自然数相加，相乘

2、仍然是自然数.此时可称自然数对加法和乘法两种运算完备；学到减法，当遇到“小-大”或除法时，已不是自然数.于是数系先扩充到整数集，再扩充到有理数集，在有理数集内“+”、“-”、“”、“”四则运算封闭.现代人对数的认识和学习是符合数集形成和扩充的历史过程的，有理数集是一个比较完美的数集.它具有以下性质：1）稠密性；2）对四则运算的封闭性；3）元素的有序性；任意两数均可比较大小.这些性质使古希腊人认为有理数集就是所有数的全体，而且设想把它们由小到大，连续无空隙地排列在一条直线上，即把有理数与数轴上的点之间建立一一对应关系.这种设想使古希腊学者毕达

3、哥拉斯喊出他的哲理名言“万物皆有数”（有理数）.但是事实并非如此.毕氏学派一学徒希帕索斯发现了正方形的边长与对角线不可公度，即不是数（有理数），这就引发了数学史上的第一次数学危机，它动摇了古希腊几何理论的基础，也第一次向人们揭示了有理数的缺陷.它表明，虽然有理数密密麻麻地排在数轴上，但并没有铺满整条数轴，数轴上还有许许多多不能用有理数填补的“空隙”.这个问题直到牛顿、莱布尼茨建立微积分时仍未得到解决.一段时间后，关于实数连续性的公理才分别从不同的角度建立起来.第11页包头师范学院本科生毕业论文（设计）专用纸极限理论是微积分学的基础，而极限的

4、理论问题首先是讨论存在性.一个数列是否有极限，不仅与该数列本身的结构有关，而且与该数列所在的数集有关.例如在有理数集讨论极限，则单调有界数列可能没有极限.例如：单调有界的有理数列{a}={}在单调有理数集上就没有极限.这表明有理数集关于极限运算不封闭.有理数集的这一不完备性（或称不连续性）给极限理论的研究带来很多不便之处.然而，实数集关于极限的运算是封闭的，即具有完备性（或连续性）.因此，将极限理论建立在实数集上，使微积分学建立在严密的基础之上.描述实数集的完备性有多种不同的方法.本文将介绍实数系完备性的七个等价定理，从确界原理出发，证明与

5、其等价的六个关于实数集完备性定理.2实数完备性的几个基本定理2.1确界原理：设S为非空集合，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界.2.2单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.注：确界定理和单调有界定理在有理数集上不一定成立.例如：从中学数学出发，将无理数理解为不循环十进无尽小数.取的有效不足近似值数列{}：=1，=1.4，=1.41，…，得到严格增加的有理数数列{}，它有上界且收敛于，这表明单调递增数列{a}在有理数集中没有极限.若记A={a}，则1<.A为有界非空数集，但supA=.这表明A在有理数集中没有上

6、确界.2.3闭区间套定理：若{[，]}是一闭区间套，即：1）[,][,],n=1,2,3，…；2)（-）=0；第11页包头师范学院本科生毕业论文（设计）专用纸则在实数集中存在唯一的一点，使得[,b]，n=1,2,3，….且=a=b.注：闭区间套定理在有理数集上不一定成立.同上例，将无理数理解为不循环十进无尽小数.在[1，2]中分别取的有效不足近似值数列{}：a=1，=1.4，a=1.41，…，过剩近似值数列{b}：b=2，=1.5，b=1.42，…，这样{[，]}构成一闭区间套.则在实数系中存在唯一的点=[,b]，使a=b=.但在有理数集中

7、则不存在这样的.2.4有限覆盖定理：设H为闭区间[,b]的一个（无限）开覆盖，则从H中可选有限个开区间也能覆盖[,b].注：有限覆盖定理在有理数集上不一定成立.因为有限覆盖定理对不一定成立，况且对有理数集就更不一定成立.2.5聚点定理：实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点.2.6致密性定理：有界数列必有收敛子列.2.7柯西收敛准则：数列{}收敛的充要条件是：>0，N，，有<.柯西收敛准则又称完备性定理.从几何上考察，一条数轴中所有的有理点虽然并没有填满整条直线，但任何一个无理点都可以由一列有理点无限逼近，而一个有理点列{}若收敛于某一点，

8、它一定是一个柯西点列（满足以上条件的就是一个柯西基本列）；反之，若有一个有理点列是柯西列，它是否一定收敛于直线上的某个点呢？从直观上看，答案是肯定的.第11页包头师范学院本科生毕