2016新编最速降线问题的泛函构造

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1、最速降线问题的泛函构造王世恩红河学院理学院物理系，云南省，中国，661100摘要：本文在最速降线问题的一般性数学描述下，建立起泛函的概念。并在泛函空间的构造上，建立起变分运算的基础，从而在要求泛函取极值的条件下，通过变分求解最速降线问题。关键词：最速降线；泛函；变分。最速降线的问题是1630年伽利略提出来的[1,2]，伽利略认为最速降线应该是一段圆弧。瑞士数学家约翰．伯努利后来了解了这个问题后并不这样认为。1696年，伯努利再一次提出这个问题，并征求解答。第二年，有多位数学家得到正确答案，其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利家族的成员。这问题的

2、正确答案是连接两个点上凹的唯一一段旋轮线。1726年，瑞典科学家欧勒开始关注这个问题。1744年，欧勒给出了之类问题的普遍解法，并由此产生了泛函的概念和变分法。今天，由最速降线问题发展起来的泛函变分已作为分析力学的重要基础[3]。本文在接下来的一节，先给出最速降线问题的准确表述，再给出该问题的一般性数学描述；而在第二节，将建立泛函的概念，并在泛函空间的构造上，给出变分运算的基础；最后，在要求泛函取极值的条件下，通过变分，求解最速降线问题。1.最速降线问题的数学描述xAO(x，y)y=f(x)By图1，假设质点只在重力的作用下沿A和B两点间的曲线无

3、摩擦地下滑。伽利略提出的最速降线问题是这样的：在给定的两个点之间，质点只在重力的作用下，沿什么样的曲线下滑所用的时间最短、最快捷？实际上，这个问题可考虑在A、B两个定点之间，质点只在重力的作用下假设沿曲线无摩擦地下滑。如图1，取A点为坐标系的原点，B点的坐标为。质点下滑到点时，由机械能守恒定律，质点的速度大小有(1)其中的弧微分可有(2)于是就有(3)对整段曲线积分，就得到质点只在重力的作用下沿曲线无摩擦地从A点下滑到B点所用的时间。(4)接下来的问题就是曲线是什么具体的函数形式时，这个时间最短。这就是最速降线问题的数学描述。2.最速降线问题的泛

4、函构造显然，曲线是什么样的函数形式，质点就有什么样的下滑时间。因此，下滑时间是函数的函数，即应有(5)但这样的函数不是普通的复合函数。因为A、B两点间的曲线可以是任意的，未定的，所以时间t是任意未定函数的函数。这样的函数我们称之为泛函。XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

5、XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX参考文献1.谢小良，统计与决策，17期，2007，P.2.吴佩萱，数学通报，05期，2006，P.3.甘特.马赫（苏），分析力学讲义，人民教育出版社，1963年，第一版，第三章.---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------干部教育培训工作总结[干部教育培训工作总结]7--------------

6、-------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------干部教育培训工作总结[干部教育培训工作总结]7---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------干部教育培训工作总结[干部教育培训工作总结

7、]7---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------干部教育培训工作总结[干部教育培训工作总结]7---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------年干部教育

8、培训工作，在县委的正确领导下，根据市委组织部提出的任务和要求，结合我县实际，以兴起学习贯彻“三个代表”重要思想新高潮为重点，全面启动“大