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1、本科生毕业论文（设计）翻译ConcreteMathematicsR.L.Graham,D.E.Knuth,O.Patashnik《ConcreteMathematics》，1.3THEJOSEPHUSPROBLEMR.L.Graham,D.E.Knuth,O.PatashnikSixthprinting,PrintedintheUnitedStatesofAmerica1989byAddison-WesleyPublishingCompany，Reference8-16pages具体数学R.L.格雷厄姆，D.E.克努特，O.帕塔希尼克《具体数学
2、》，1.3，约瑟夫环问题R.L.格雷厄姆，D.E.克努特，O.帕塔希尼克第一版第六次印刷于美国，韦斯利出版公司，1989年，引用8-16页1.递归问题本章主要研究三个样本问题,这三个问题给出了递归问题的感性知识.它们有两个共同特点:即都是数学家们一直研究的问题;它们的解都用了递归的概念，按照递归概念,每个问题解都依赖于相同的问题的若干个较小场合的解.2.约瑟夫环问题我们最后一个例子是一个以FlaviusJosephus命名的古老的问题变形,他是第一世纪一位著名的历史学家.据传说,如果没有Josephus的数学天赋，他就不可能活下来然后成为著名的
3、学者,当时在犹太罗马战争中,他是被困在一个山洞中的41个犹太叛军其中一人，这些叛军宁死不屈，都决定在罗马人俘虏他们之前自刎，他们站成一圈,从1开始,依次杀掉编号是3的倍数的那个人，直到一个人也不剩.但在这些叛军中Josephus和他的同伴觉得这么做没有意义，所以他就快速的计算出他和他的朋友应该站在这个圈的哪个位置.在这个变形的问题中,我们以个人开始,从1到编号围成一圈，每次消灭第二个人一直到只剩下一个人.例如,在这里我们以设开始.这时的消灭顺序为,,,,,,,,.所以编号是的人活了来.这个问题:就是定位了最后活下来的那个人的数字.我们刚刚看到是
4、的情况.我们可能会推测当是偶数的时候;而且当的时候结论同样验证了假设:.但是另外一些数字比较小的情况告诉我们当的时候这个假设是错误的.于是我们又回到了起点;让我们尝试着来个更好的猜测.看起来总是奇数.这个现象的原因是：围成的圈的第一轮消灭了所有编号是偶数的人.之后我们又回到了与我们开始时候类似情形，除了人数只有原来一半，而且他们的编号也改变了.所以,让我们假设最开始有个人,在第一轮消灭结束后,我们剩下而且编号3将是下一个出局的.这个就像是以个人开始的情况了，除了每个人的编号变为两倍减一.就是，;当：现在我们可以快速的去计算一下当比较大的时候的那
5、个值,例如,我们知道,所以：同样知J()=,从而我们可以推算出但是,奇数的情况是怎么样的呢？当有个人的时候，编号是的那人会在第个人出局后紧接就会出局,然后,我们剩下我们再次获得形如个人的情况,但是这次他们的编号变为两倍加一.所以;当；与等式(1)=1组合,我们得到一个定义的所有取值递推式:；;当；；当这个公式不是从计算,这个递归式更加的“高效”了，因为它以为因子使递减了一半或更多.我们再次可以计算(;;),如上所示，我们只要应用次(1)式.但是，我们仍然要寻找一个闭合形式的公式，因为那样会更加快速和有意义.用我们的递归式,可以很快地建造一张较小
6、取值的表.我们可以通过这张表看出模式并猜出结果,从上我们可以以2的幂分组(通过表中的竖线);在每组的开始,总是1,而且在一组内以递增.所以，如果把写成形如的公式,当是不超过的2的最大次幂,且是剩余的数.这样我们的递归式的解法是(+)=2+1当≥0且0≤<（2）(注意如果≥<,那么余下的数l=-满足不等式0≤<2M+1-=.)我们现在必须证明(2)式.如我们使用的数学归纳法一样，但是这次数学归纳是基于变量的.当=0我们一定有;因此(2)式的基础就变成(1)=1,这时是正确的.通过l是奇数还是偶数，这次的归纳证明分为两部分.如果且+=那么l是偶数.
7、且通过(1)式和归纳法假设可得(+)=2(+/2)-1=2(2/2+1)-1=2+1;这个就是我们想要的.奇数的情况证明方法和它类似,当+=2+1.我们可能也注意到了式子(1)还表达这样一个关系(2+1)-(2)=2总之，这个数学归纳法证明完毕,且(2)式被证明了.为了展示解法(2)式,来计算一下.在这个例子中,我们有=+,所以(100)=2*36+1=73.现在，我们解决了艰难的部分(解决问题.我们再来说点轻松的：每解决一个问题都可以泛化，使得可以应用到一大类问题.当已经掌握一项技巧，完整的去研究它，看看借助它我们可以走多远是非常有意义的.所
8、以，在这节的余下部分，我们将会研究解法(2)式以及研究递归式(1)的一些扩展.这些研究将展示出所有这样问题的结构和基础.在我们寻找解法的时候，2的幂起
