用参数方程解可能好些

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1、用参数方程解可能好些6—28数学教学2011年第6期用参数方程解可能好些215003江苏省苏州市第四中学张家瑞文[1】介绍了下列定理:定理1椭圆b2x+a2y=a2b(a>b>0)上一定点A(xo,Yo)(点不是椭圆顶点)作两条直线分别交椭圆于,F两点,使这两条直线的斜率之和等于(为常数),则1.当=0时,直线F的斜率为定值,且定值为一百b'~x—o.2.当≠0时,直线EF恒过一个定点,且点为(2y0,一Y.一).定理2过椭圆b2x2+a2y.一a2b2(a>b>0)上一定点(点不是椭圆的顶点)作两条直线与椭圆分别交于,F两点,使这两条直线的斜

2、率之积等于常数(为常数),则1.当=时,直线F的斜率为定值一;a02.当≠时,直线F恒过一定点为a一(a2A+b2一而a2A+b2yo).原作者认为,如果采用一般直角坐标来证明上述定理,运算会十分繁杂.数学解题的思想,方法,工具,技巧的选择对于解题的简繁有直接的影响.原文采用坐标平移方法很有创见,笔者感到应用参数方程也不失是一个很好的选择.下面介绍笔者的方法.定理1的证明:设XO=aCOS0,Yo=bsinO.Y.E(acos01,bsin01),F(acos02,bsin02),则=b(sinO-sin01)=一筹tAO～,s阿理一一本'0Sln——=—:.Asin

3、sin一n(+),.Acos—01--02=(nc.s一2bsin)c.s—01"[-02一(nsinO+2bcos)sin01-1-0~.……………(1)1.当=0时,得sinc.s鱼:一c.ssin旦至,丑p一bcos01+02一bcos0一b2xoa2(这正是直线0sinn8in3^0,且EF的斜率.所以,F直线的斜率为定值.a'Y02.当入≠0时,写出直线EF的方程一6sin1:=:一本asin01+02—nc.81一-化简得.n一s.s.将(1)代入上述方程消去c.s亏得n一s埘?I(aAcos0-bsinO)c.s一(aAsin+6cos啪inI,+—2a

4、b—2c—os0+a—2A—bsin0=一(一地),2011年第6期数学教学一29上述方程是斜率为一c.t专的点斜式直线方程,故直线EF恒过一定点,其坐标为Xo—2yo,一).定理2的证明:设0=acosO,Yo=bsin0,E(aCOS01,bsin01),F(acos02,bsin02),则A=kAE?kAF得.zAsinsin一62C.sc.s.积化和差得(.—b2)c.s=(a2A+b)cos(+).……(2)1.当=箸时,a2A—b=0,由(2)得c.sc.s皇:sinsin旦,且ps.;t,l+2m彳EF斜率为定值:一:一一yo为定值,即aCOS0Xo..

5、2.当≠52时,将(2)代入EF的直线方程0'消去c.s,得.n一os(a2A+b2)cos(臼+)+n————化简得fa2A+6)6sin0Y+=一bc.T01+02(一.(a2A+.b入2一)a6cos0"/~.上述方程是斜率为一bncot专鱼的点斜(zo,一a2AJr-b2.).椭圆问题有时也可化为圆的问题来求解,先解决圆的问题,由伸缩变换知,相应的椭圆问题也就解决了.例如定理1的第1小题,可先证圆的问题.已知圆0上定点,过的两条直线与圆交于,F两点,使A,F的斜率之和为0,则直线F的斜率为定值.证明:如图1,直线E,A斜率之和等于0,其几何意义是AE,AF与圆

6、的直径BG的夹角相等,即ZAPQ=Q尸或P=AQ,而EF的斜率为定值的几何意义就是EF不断变化位置但始终与一定直线平行.FG图l连结AB.在直径JE}G上找一点使B:.因为定点,故亦为定点.延长A与圆交于D,则D也是定点,所以BD为定直线,现只须证明EFffBD.因PQ=/AQP,C=B.APQ=ABP+PAB,QP=Q+Q,由此知DF=EB,,',,所以JE;与pD相等.既,EF}BD.圆的问题很轻松地解决了,则定理1的第1小题也认为是解决了.同样,双曲线的问题也可用参数方程予以证呱参考文献[1]徐道.一道高考题的思考的思考[J].数学教学,2010(9):46—

7、48.