luttinger液体与一维量子传输

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1、Luttinger液體與一維量子傳輸文/栗育文本文簡介Luttinger液體最基本的一些概念。我們從一個特殊的角度，亦即場論中的chiralanomaly的角度出發，闡述它和一維電子系統及量子傳輸的的關係。物理雙月刊（廿八卷五期）2006年10月801I.為什麼要談Luttinger液體本期物理雙月刊的主題是介紹介觀物理(mesoscopicphysics)。所謂介觀物理的研究對象，指的是相位相干長度(phasecoherencelength)和物體尺寸大小相當的的系統，換言之，在討論這樣的系統時，量子力學的相位相干效應極為重要，而古典的傳輸理論則失去其適用

2、性。在這些系統中，有許多都具小尺寸，低維度的特性。最典型的例子就是量子點(quantumdot)與量子線(quantumwire)。我在本文所要介紹的Luttingerliquid就是在研究相關系統時，一個常用的出發點。在介紹Luttinger液體前，我先用簡短的篇幅回顧一下二十世紀凝態物理最重要的一塊基石---Landau的費米液體(Fermiliquid)---的概念。費米液體最重要的概念就是一個交互作用費米系統的基態以及低能激發態可以用所謂的佔據數(occupationnumber)來標記。換言之，交互作用費米系統和自由費米系統的低能態間有一個一對一的

3、對應關係。用更精確的多體物理的語言來說，費米液體的單粒子格林函數可以近似的寫為如下之形式：其中是所謂的quasi-particleweight。從這個單粒子格林函數中，我們可以讀出所謂的單粒子譜(singleparticlespectralweight)這個單粒子譜的重要性在於說它是一個可以直接透過穿隧實驗(tunnelingexperiment)量測的物理量。(見圖一)圖一因此從穿隧實驗測量到的單粒子譜，便成為檢驗一個多體系統是否為費米液體的最重要佐證之一。為什麼電子間的交互作用對於一個多電子系統的影響只是在定量的層次上，對自由費米氣體所給出的圖像給予一個

4、修正，而非定性的去改變系統的基態？這一方面是由於高密度電子氣體的屏蔽效應使得電子間的長程庫倫力變成短程力，二方面則是因為動量守恆所帶來的相空間限制，使得大部分散射通道都變的不太重要了。用重整化群的語言來說，大部分的交互作用都是可忽略的(irrelevant)。[1]對於一個一維的費米系統，仔細的重整化群分析得到的結論是[2]：電子間的交互作用物理雙月刊（廿八卷五期）2006年10月801是marginal的[3]。換言之，這樣的系統其低能性質並不由費米液體所描述。取而代之的，則是一個新的普適類(universalityclass)---Luttinger液體

5、。底下我們就由一個特定的角度出發，來了解一維電子系統的一些基本性質。II.一維電子系統與chiralanomaly一個一維的自由電子系統可以由一個簡單的Hamiltonian所描述假設此系統之電子填到費米能級，則在費米能級附近（）的電子可用一個簡化的Hamiltonian所描述：其中是該系統的費米動量。這樣一個簡化的Hamiltonian恰好描述了一個質量為零，速度為的相對性Dirac電子的能譜。假設我們對此電子氣施予一外加電場，則電子受外力加速。按照牛頓定律，電子在受力期間動量之改變為假設，且電場作用一段時間以後關閉時，變為一常數。上述加速之過程造成電子系

6、統右端（不妨想像這些電子是處在一條導線之中。）的化學勢有一個增量類似的，系統左端的化學勢也會降低上述相同大小的量。在這個過程中，系統右端的電子數增加了同時系統左端的電子數也減少了一個相應的物理量。讀者大概已經注意到，以上所描述的其實是一個量子輸運的過程。上面這個式子有另外一個有趣的理解方式。如我們想像這些電子是住在一個環上。此使，可以看做向量勢沿著環的積分。按照Stoke定理，這恰恰是穿過這個環面的磁通量。而方程式右端剩餘的因子，則正是所謂的單位磁通量（fluxquantum）。換言之，如果我們想像一個在一個導線環中心，已緩慢的速率插入一和環面垂直的磁場，則

7、上式右方恰恰是在這過程中插入的磁通量數。因此這個量子輸運方程式告訴我們插入的磁通量數和電子傳輸的關係：每插入一個磁通量會導致一個淨粒子數為一的輸運。在進一步闡述這層關係前，讓我先從另一角度來看此問題。上面提過，費米點附近的電子其動量能量關係是線性的，因此其低能量的激發態，可以用一個一維的相對論性Dirac電子所描述：這樣一個系統中可以定義一個所謂的chiral流，而這個chiral流的時間分量恰恰好就是往左跑和往右跑的電子數之差。按照上述結果，當此一為電子系統處於外場中時，會有電子由左端跑到右端。在Dirac電子的角度來看，這相當於以下的結果這個方程式其實是

8、量子場論中有名的chiralanomaly方程式的積