伞柄垂直于水平地面

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1、（2010•江西）图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2、当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开、已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米、设AP=x分米．（1）求x的取值范围；（2）若∠CPN=60°，求x的值；（3）设阳光直射下，伞下的阴影（假定为圆面）面积为y，求y关于x的关系式（结果保留）．考点：扇形面积的计算；根据实际问题列二次函数关系式；角平分线的性质；菱形的性质；相似三

2、角形的判定与性质．专题：综合题；转化思想．分析：（1）根据题意，得AC=CN+PN，进一步求得AB的长，即可求得x的取值范围；（2）根据等边三角形的判定和性质即可求解；（3）连接MN、EF，分别交AC于O、H．此题根据菱形CMPN的性质求得MO的长，再根据相似三角形的对应边的比相等，求得圆的半径即可．解答：解：（1）∵BC=2分米，AC=CN+PN=12分米，∴AB=AC-BC=10分米．∴x的取值范围是：0≤x≤10．（2）∵CN=PN，∠CPN=60°，∴△PCN是等边三角形．∴CP=6分米．∴AP=AC-P

3、C=6分米．即当∠CPN=60°时，x=6．（3）连接MN、EF，分别交AC于O、H．∵PM=PN=CM=CN，∴四边形PNCM是菱形．∴MN与PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分线，PO=．在Rt△MOP中，PM=6分米，∴MO2=PM2-PO2=62-（6-x）2=6x-x2．∵CE=CF，AC是∠ECF的平分线，∴EH=HF，EF⊥AC．∵∠ECH=∠MCO，∠EHC=∠MOC=90°，∴△CMO∽△CEH．∴．∴，∴EH2=9•MO2=9•（6x-x2）．∴y=π•EH2=9π（6x-x2），即y=-π

4、x2+54πx．点评：此题的难点是第（3）问，熟练运用菱形的性质、相似三角形的性质和二次函数的实际应用．