数论中的漏网之鱼

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1、33.数论中的“漏网之鱼”连续自然数86、87、88、89、90是5个平常的自然数，但是在它们身上也隐藏着不易被人们发现的秘密：86+13=9987+12=9988+11=9989+10=9990+9=99文[1]介绍了印度数学家发现了数论中的“漏网之鱼”，即从956到968这13个连续自然数也具有上述“从86到90”这5个连续自然数类似的性质.笔者在1996年12月26日发现了更为一般的规律：定理：当当（其中[]表示整数部分），（其中）时，是2t位自然数，的前t位数与后t位数（注意未必是t位数）之和+是一个完全平方数，为.这组个连续自然数k，也具有上述“从86到90”这5个连

2、续自然数的性质，即对应的两个数与之和为.证明：对于大于1的自然数t分为奇偶两类分别证明.（1）当t=2n（n∈N）时，=，=.此时k=，其中..由于所以，.这样，故可设（都是数字，以下同）.（都是数字，以下同）.则，注意是偶数字.1.当时，不妨设，.，那么，，.=====.2.当=2、4、6、8时，，，..（2）当t=2n+1时（n∈N），，.此时，其中..由于，所以是n+1位自然数，首位数字是4，次位数字是4；是n+1位自然数，首位数字是3，次位数字是1；是n+1位自然数，首位数字是1.由可知：是n+1位数，此时的首位数字是4或3，但是2n+2位数，它的首位数字是1.故可设=

3、，=.则.注意是偶数字.1.当时，不妨设，.则，那么=，.===+1==.2.当=2、4、6、8时，，，，.由（1）与（2）可知，定理得证.参考资料1.戴宏图.一个有趣的连续数组.小学数学教师，1996，6.本文发表于陕西师范大学主办的《中学数学教学参考》1998年第8~9期p87~88，发表时署名陕西省小学教师培训中心王凯成.