微分几何(第三版)【梅向明_黄敬之_编】第三章课后题答案[1]

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1、微分几何主要习题解答§4.直纹面和可展曲面1.证明曲面=是可展曲面.证法一：已知曲面方程可改写为=+v，令=，=，则=+v，且0，这是直纹面的方程，它满足==0,所以所给曲面为可展曲面。证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）2。证明曲面={cosv-(u+v)sinv,sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。证法一：曲面的方程可改写为=+u，其中={cosv-vsinv,sinv+vcosv,2v}，={-sinv,cosv,1}，易见0，所以曲面为直纹面，又因为==0，所以所给曲面为可展曲面。证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）3．证明正螺

2、面={vcosu,vsinu,au+b}(a0)不是可展曲面。证法一：原曲面的方程可改写为=+v，其中={0,0,au+b},={cosu,sinu,0}.易见0,所以曲面为直纹面,又因为==a0.故正螺面不是可展曲面。证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）16微分几何主要习题解答4．证明挠曲线的主法线曲面与副法线曲面不是可展曲面。证挠曲线（C）:的主法线曲面为,因为16微分几何主要习题解答=，故不是可展曲面。挠曲线（C）:的副法线曲面为，因为，故不是可展曲面。5。求平面族：xcos+ysin-zsin-1=0的包络。解，即，将此两式平方后相加得。这就是所求的

3、包络面。6．求平面族的包络。解从中消去参数a，则得所求的包络面为。7．证明柱面、锥面、任意曲线的切线曲面是可展曲面。证柱面的方程可写为=+v，（0为常向量）因为=。故是可展曲面。锥面的方程可写为=+v（为常向量），因为==0，故是可展曲面。曲线（C）:的切线曲面为。因为=，故是可展曲面。16微分几何主要习题解答8．证明的曲面是柱面。证法：因为，所以，又因为，因此为固定向量。从而积分得。故曲面是柱面。§5曲面的基本定理1．平面上取极坐标系时，第一基本形式为，试计算第二类克氏符号。解因为，所以，。2．证明高斯曲率。证因为，而，所以，从而，故。3．证明平均曲率。证因

4、为=-=，所以。16微分几何主要习题解答5．对于中的空间曲面来说，其中K是曲面的高斯曲率。证因为所以，又或j=k),从而上式两边分别与相乘并关于m从1到2求和，则得=,而故得。注在解题过程中省略了求和号。6．证明以下公式：⑴；⑵；⑶；⑷对于曲面上的等温坐标网有，求证；⑸对于曲面上的半测地坐标网有，求证。证⑴高斯公式的两边分别与相乘并关于m从1到2求和,再注意到及的定义，可得,今取i=1,j=1,k=2,l=2,16微分几何主要习题解答则有===故。⑵因为，所以，又因为，所以=-①而②==，即③于是将②，③代入①可得：。16微分几何主要习题解答因此命题得证。⑶因

5、为，所以，又因为，所以①而②即③于是将②，③代入①并整理得：⑷因为E=G=,F=0,所以因此命题得证。⑸因为E=1，F=0,G=G（u，v），所以16微分几何主要习题解答因此命题得证。7．如果曲面的第一基本形式为，计算克氏符号。解因为，所以，，。8．求证第一基本形式为的曲面有常高斯曲率。证因为，所以=-=4c故所给曲面有常高斯曲率。9．求以E=1,F=0,G=1,L=-1,M=0,N=0为第一、第二类基本量的曲面。解由已知条件和的定义易知=0，所以所求曲面的基本方程是，从第一式和第四式可得，所以，再由第二式得，因此是常向量，于是从第三式得为常向量），从而所求的

6、方程为，而，所以，因此又，所以再注意到，于是16微分几何主要习题解答可以分别作为x,y,z轴上的单位向量，故所求曲面可表示为，因此所求曲面是半径为1的圆柱面。10．证明不存在曲面，使E=G=1,F=0,L=1,M=0,N=-1.证若存在曲面满足题设条件，则所给E,F,G,L,M,N必须满足在正交坐标网下的G—C—M公式，但，所以不满足高斯公式，故不存在满足题设条件的曲面。§6曲面上的测底线1．求正交网的坐标曲线的测地曲率。解因为坐标网是正交的，所以F=0，故，而对u-曲线来说，=0，故，对v-曲线来说，=，所以。2．证明球面={acosucosv,acosus

7、inv,asinu}上曲线的测地曲率其中表示曲线与经线的交角。证易求出E=,F=0,G=,因此==，而，故。3．求位于半径为R的球面上半径为a的圆的测地曲率.解法一：因为，而，所以。16微分几何主要习题解答解法二：半径为的圆的曲率为，圆上每一点处的法曲率，由知，，所以。解法三：任何球面上的圆都可以通过建立适当的曲纹坐标网使其成为纬圆，过不妨求半径为的纬圆的测地曲率。由1题知所求即为v-线的测地曲率：=因为所考虑纬圆的半径为，所以所以。4．求位于正螺面={ucosv,usin,av}上的圆柱螺线（=常数）的测地曲率。解易计算出E=1，F=0，G=，而（C）是一条

8、v-曲线：u=,于是由，可知（C）的测