数学经典易错题会诊与高考试题预测9 (2)

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1、经典易错题会诊与高考试题预测(九)考点9圆锥曲线►对椭圆相关知识的考查►对双曲线相关知识的考查►对抛物线相关知识的考查►对直线与圆锥曲线相关知识的考查►对轨迹问题的考查►考察圆锥曲线中的定值与最值问题►椭圆►双曲线►抛物线►直线与圆锥曲线►轨迹问题►圆锥曲线中的定值与最值问题经典易错题会诊命题角度1对椭圆相关知识的考查1.(典型例题Ⅰ)设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△FlPF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是()[考场错解]A[专家把脉]没有很好地理解椭圆的定义,错误地把当作离

2、心率.[对症下药]D设椭圆的方程为=l(a,b>0)由题意可设

3、PF2

4、=

5、F1F2

6、=k,

7、PF1

8、=k,则e=2.(典型例题)设双曲线以椭圆=1长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为()A.±2B.±C.±D.±[考场错解]D由题意得a=5,b=3,则c=4而双曲线以椭圆=1长轴的两个端点为焦点,则a=c=4,b=3∴k=[专家把脉]没有很好理解a、b、c的实际意义.[对症下药]C设双曲线方程为=1,则由题意知c=5,=4则a2=20b2=5,而a=2b=∴双曲线渐近线斜率为±=633.(

9、典型例题)从集合{1,2,3…,11}中任选两个元素作为椭圆方程=1中的m和n,则能组成落在矩形区域B={(x,y)‖x

10、<11,且

11、y

12、<9}内的椭圆个数为()A.43B.72C.86D.90[考场错解]D由题意得,m、n都有10种可能,但m≠n故椭圆的个数10×10-10=90.[专家把脉]没有注意,x、y的取值不同.[对症下药]B由题意得m有10种可能,n只能从集合11,2,3,4,5,6,7,81中选取,且m≠n,故椭圆的个数:10×8-8=72.4.(典型例题)设直线l与椭圆=1相交于A、B两点,l又与双曲线x

13、2-y2=1相交于C、D两点,C、D三等分线段AB,求直线l的方程()[考场错解]设直线l的方程为y=kx+b如图所示,l与椭圆,双曲线的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),依题意有=3由所以x1+x2=-由得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0(2)若k=±1,则l与双曲线最多只有一个交点,不合题意,故k≠±1所以x3+x4=、由x3-x1=x2-x4x1+x2=x3+x4-bk=0或b=0①当k=0时,由(1)得x1、2=±由(2)得x3、4=±由=3(x4-x1)即

14、故l的方程为y=±②当b=0时,由(1)得x1、2=±,由(2)得x3、4=由=3(x4-x3)即综上所述:直线l的方程为:y=[专家把脉]用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在,致使造成思维片面,漏解.63[对症下药]解法一:首先讨论l不与x轴垂直时的,情况.设直线l的方程为y=kx+b,如图所示,l与椭圆、双曲线的交点为:A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),依题意有.由得(16+25k2)x2+50bkx+(25b2-400)=0.(1)所以x1+x2=-由得(1-k2+x2-2

15、bkx-(b2+1)=0.若k=±1,则l与双曲线最多只有一个交点,不合题意,故k≠±1.所以x3+x4=由x1+x2=x2+x4或b=0.①当k=0时,由(1)得由(2)得x3、4=±由(x4-x3).即故l的方程为y=±②当b=0时,由(1)得x1、2=自(2)得x3、4=(x4-x3).即故l的方程为y=.再讨论l与x轴垂直时的情况.设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得yl、2=y3、4=即综上所述,直线l的方程是:y=x、y=±和x=解法二:设l与椭圆、双曲线的交点为:A(x1,y1)、B(x2

16、,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),则有63由i的两个式子相减及j的两个式子相减,得:因C、D是AB的三等分点,故CD的中点(x0,y0)与AB的中点重合,且于是x0=y0=x2-x1=3(x4-x3).因此若x0y0≠0,则x2=x1x4=x3y4=y3y2=y1.因A、B、C、D互异,故xi≠xj,yi≠yj,这里ij=1,2,3,4且i≠j(1)÷(2)得16=-25,矛盾,所以x0y0=0.①当x0=0,y0≠0时,由(2)得y4=y3≠0,这时l平行x轴.设l的方程为y=b,分别代入椭圆、双曲线方程得

17、:xl、2=x3、4=∵x2-x1=3(x4-x3).故l的方程为y=±②当y0=0,x0≠0,由(2)得x4=x3≠0,这时l平行y轴.设l的方程为x=c,分别代入椭圆、双曲线方程得:yl、2=y3、4=∵y2-y1=3(y4-y3)故l的方程为:③当x0=0,y0=0时,这时l通过坐标原点且不与x轴垂直.设l的方

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