2003-2017年考研数学二真题

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1、2017年考研数学二真题一、选择题1—8小题.每小题4分,共32分.1.若函数在处连续,则(A)(B)(C)(D)【详解】,,要使函数在处连续,必须满足.所以应该选(A)2.设二阶可导函数满足,,且,则()(A)(B)(C)(D)【详解】注意到条件,则知道曲线在上都是凹的,根据凹凸性的定义,显然当时,,当时,,而且两个式子的等号不是处处成立,否则不满足二阶可导.所以.所以选择(B).当然,如果在考场上,不用这么详细考虑,可以考虑代一个特殊函数,此时,可判断出选项(A),(C),(D)都是错误的,当然选择(B).希望同学们在复习基础知识的同时,掌握这种做选

2、择题的技巧.3.设数列收敛,则(A)当时,(B)当时,(C)当时,(D)当时,【详解】此题考核的是复合函数的极限运算法则,只有(D)是正确的.其实此题注意,设,则分别解方程时,发现只有第四个方程有唯一解,也就是得到.4.微分方程的特解可设为()(A)(B)(C)(D)【详解】微分方程的特征方程为,有一对共轭的复数根.所以不是特征方程的根,所以对应方程的特解应该设为;而是方程的单根,所以对应方程的特解应该设为;从而微分方程的特解可设为,应该选(C).5.设具有一阶偏导数,且对任意的都有,则()(A)(B)(C)(D)【详解】由条件对任意的都有可知对于是单调

3、增加的,对就单调减少的.所以,只有第三个不等式可得正确结论(D),应该选(D).6.甲、乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:米)处,如图中,实线表示甲的速度曲线(单位:米/秒),虚线表示乙的速度曲线(单位:米/秒),三块阴影部分的面积分别为,计时开始后乙追上甲的时刻为,则()(A)(B)(C)(D)【详解】由定积分的物理意义:当曲线表示变速直线运动的速度函数时,表示时刻内所走的路程.本题中的阴影面积分别表示在时间段内甲、乙两人所走路程之差,显然应该在时乙追上甲,应该选(C).7.设为三阶矩阵,为可逆矩阵,使得,则()(A)(B)(C)(D)【详

4、解】显然这是矩阵相似对角化的题目.可知所以,所以可知选择(B).8.已知矩阵,,,则(A)相似,相似(B)相似,不相似(C)不相似,相似(D)不相似,不相似【详解】矩阵的特征值都是.是否可对解化,只需要关心的情况.对于矩阵,,秩等于1,也就是矩阵属于特征值存在两个线性无关的特征向量,也就是可以对角化,也就是.对于矩阵,,秩等于2,也就是矩阵属于特征值只有一个线性无关的特征向量,也就是不可以对角化,当然不相似故选择(B).二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)9.曲线的斜渐近线为.解:,,所以斜渐近线为.10.设函数由参数

5、方程确定,则.【详解】,所以.11.【详解】12.设函数具有一阶连续的偏导数,且已知,,则【详解】,所以,由,得,所以.13..【详解】交换二重积分的积分次序得:14.设矩阵的一个特征向量为,则.【详解】根据特征向量的定义,有,解得.三、解答题15.(本题满分10分)求极限【详解】令,则,16.(本题满分10分)设函数具有二阶连续偏导数,,求,.【详解】,;.17.(本题满分10分)求【详解】由定积分的定义18.(本题满分10分)已知函数是由方程.【详解】在方程两边同时对求导,得(1)在(1)两边同时对求导,得也就是令,得.当时,;当时,当时,,,函数取

6、极大值;当时,,函数取极小值.19.(本题满分10分)设函数在区间上具有二阶导数,且,,证明:(1)方程在区间至少存在一个实根;(2)方程在区间内至少存在两个不同实根.证明:(1)根据的局部保号性的结论,由条件可知,存在,及,使得,由于在上连续,且,由零点定理,存在,使得,也就是方程在区间至少存在一个实根;(2)由条件可知,由(1)可知,由洛尔定理,存在,使得;设,由条件可知在区间上可导,且,分别在区间上对函数使用尔定理,则存在使得,也就是方程在区间内至少存在两个不同实根.20.(本题满分11分)已知平面区域,计算二重积分【详解】由于积分区域关于轴左右对

7、称,所以由二重积分对称性可知.所以其中利用瓦列斯公式,知21.(本题满分11分)设是区间上的可导函数,且.点是曲线上的任意一点,在点处的切线与轴相交于点,法线与轴相交于点.若,求上的点的坐标满足的方程.【详解】曲线过点的切线方程为,令,得;曲线过点的法线方程为,令,得.由条件,可得微分方程标准形为,是个一阶齐次型微分方程.设,方程化为,整理,得分离变量,两边积分,得由初始条件,得,确定常数所以曲线的方程为.22.(本题满分11分)设三阶矩阵有三个不同的特征值,且(1)证明:;(2)若,求方程组的通解.【详解】(1)证明:因为矩阵有三个不同的特征值,所以是

8、非零矩阵,也就是.假若时,则是矩阵的二重特征值,与条件不符合,所以有,又因为,也

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