历届江苏高中数学竞赛试题及答案

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1、2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题、填空题只设6分和0分两档.其他各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时可参照本评分标准适当划分评分档次,3分为一个档次,不要再增加其他中间档次.一．选择题(本题满分36分,每小题6分)1.函数yfx()的图像按向量a(,2)平移后,得到的图像的解析式为4yxsin()2.那么y

2、fx()的解析式为4A.yxsinB.yxcosC.yxsin2D.yxcos4答:[B]解：yxsin[()],即yxcos.故选B．4422.如果二次方程xpxq0(,pqN*)的正根小于3,那么这样的二次方程有A.5个B.6个C.7个D.8个答:[C]2解：由p4q0,q0,知方程的根为一正一负．22设fx()xpxq，则f(3)33pq0,即39pq.由于pq,N*，所以pq1,5或pq2,2.于是共有7组(,)pq符

3、合题意．故选C．213.设ab0,那么a的最小值是bab()A.2B.3C.4D.5答:[C]解：由ab0,可知2aa2210bab()(b)a,4242214所以，aa4.故选C．2bab()a4.设四棱锥PABCD的底面不是平行四边形,用平面去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面A.不存在B.只有1个C.恰有4个D.有无数多个答:[D]解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线P为m、n,直线m、n确定了一个平面.DC1A11B作与平行的平面

4、,与四棱锥的各个侧面1D相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样CA的平面有无数多个．故选D．B5.设数列{}a:a2,a16,a16a63a,nN*,则a被n01n2n1n200564除的余数为A.0B.2C.16D.48答:[C]解：数列{}a模64周期地为2，16，－2，－16，…….又2005被4除余1,故n选C．26.一条走廊宽2m,长8m,用6种颜色的11m的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的,每种颜色的地砖都足够多),要求相邻的两块地砖颜色不同,那么所有的不同拼色

5、方法有8777A.30个B.3025个C.3020个D.3021个答:[D]解：铺第一列(两块地砖)有30种方法；其次铺第二列．设第一列的两格铺了A、B两色(如图)，那么，第二列的上格不能铺A色．若铺B色，则有(61)种铺法；若不2铺B色，则有(62)种方法.于是第二列上共有21种铺法.同理，若AB7前一列铺好，则其后一列都有21种铺法．因此，共有3021种铺法．故选D．二．填空题(本题满分36分,每小题6分)7.设向量OA绕点O逆时针旋转得向量OB,且2OAOB(7,9),则21

6、123向量OB（－，）.55解：设OA(,)mn,则OB(nm,),所以2OAOB(2mnnm,2)(7,9).23m,2mn7,523111123即解得因此，OA(,),OB(,).mn29.n11.555551123故填(,)．558.设无穷数列{}a的各项都是正数,S是它的前n项之和,对于任意正整数nnn,a与2的等差中项等于S与2的等比中项,则该数列的通项公式为an=4n－2nn(n∈N*).2a2(a2)nn解：由题意知2S，

7、即S.………①nn28a21由aS得2a,从而a2.111122(a2)n1又由①式得Sn(2),………②n1822(aa2)(2)于是有aSSnn1nnn1(n2),88整理得(aa)(aa4)0.因aa0,0,故nn11nnnn1aa4(n2),a2．nn11所以数列{}a是以2为首项、4为公差的等差数列，其通项公式为an24(1)，nn即an42.故填a4n2(nN*)．nn29.函数y

8、cosx

9、

10、cos2

11、x

12、(xR)的最小值是.22解：令tx

13、cos

14、[0,1]，则yt

15、2t1

16、．222192当t1时，y2tt12(t)，得y2；24822221929当0t时，y2tt12(t)，得y．2482822又y可取到,故填．2210.在长方体ABCDABCD中,AB2,AAAD1,点E、F、G11111分别是棱AA1、CD11与BC的中点,那么四面体B1EFG的体积是VB1－EFG3=.81解：在DA的延长线