数学物理方程陈才生主编课后习题答案1-3章

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1、第1章绪论1.1基本内容提要1.1.1用数学物理方程研究物理问题的步骤(1)导出或者写出定解问题,它包括方程和定解条件两部分;(2)求解已经导出或者写出的定解问题;(3)对求得的解讨论其适定性并且作适当的物理解释.1.1.2求解数学物理方程的方法常见方法有行波法(又称D'Alembert解法)、分离变量法、积分变换法、Green函数法、能量积分方法、变分方法等.本书主要使用前面五种方法.1.1.3数学物理方程的导出1.建立(导出)方程的步骤(1)从所研究的系统中划出一部分,分析邻近部分与这一小部分的相互作用；(2)根据物理学的规律,比如Newton第二定律、能量守恒

2、定律等,以数学式子表达这个作用；(3)化简整理即得所研究问题的偏微分方程.2.建立(导出)方程时常用到的物理学定律(1)Newton第二定律(F=ma).(2)Fourier实验定律(即热传导定律).当物体内存在温差时,会产生热量的流动.热流强度q(即单位时间内流过单位横截面的热量)与温度的下降率成正比,即q=¡kru;其中k为热传导系数,负号表示热量的流向和温度梯度方向相反.写成分量的形式qx=¡kux;qy=¡kuy;qz=¡kuz:(3)Newton冷却定律.¯物体冷却时放出的热量¡kru与物体和外界的温度差u¯¡u0成正比,其边中u0为周围介质的温度.¢2¢

3、第1章绪论(4)热量(质量)守恒定律.物体内部温度升高所需要的热量(浓度增加所需要的质量)等于流入物体内部的净流热量(质量)与物体内部的源所产生的热量(质量)之和.(5)费克(Fick)定律(即扩散定律).一般地说,由于浓度的不均匀,物质从浓度高的地方向浓度低的地方转移.这种现象叫扩散.在气体、液体、固体中都有扩散现象.粒子流强度q(即单位时间内流过单位面积的粒子数)与浓度的下降率成正比.即q=¡Kru;其中K为扩散系数,负号表示浓度减少的方向.写成分量的形式为qx=¡Kux;qy=¡Kuy;qz=¡Kuz:(6)Gauss定律.通过一个任意闭合曲面的电通量,等于这

4、个闭曲面所包围的自由电荷的电量的"¡1倍,即ZZ1E¢dS=½d•;@•"•其中"为介电常数,½为电荷密度.(7)胡克(Hooke)定律.在弹性限度内,弹性体的弹力和弹性体的形变量成正比,即f=¡kx,其中k为弹性体的劲度(倔强)系数,倔强系数在数值上等于弹性伸长(或缩短)单位长度时的弹力,负号表示弹力的方向和形变量的方向相反.另外,有应力=杨氏模量£相对伸长:3.定解条件和定解问题的写出(导出)要想将一个具体的物理过程完整地翻译成数学语言,必须写出它的定解问题：包括泛定方程和定解条件(初始条件、边界条件、相容性条件).泛定方程只能反映和描绘同一类现象的共同规律.对

5、于一个具体的物理问题,还必须通过定解条件来反映.而要正确写出定解条件,必须注意以下几方面的问题：(1)正确理解题意,正确区分外源条件、初始条件、边界条件；(2)正确理解并且应用物理定律和定理；(3)注意初始条件和边界条件的个数,以保证解的适定性.1.1.4定解问题的适定性如果一个定解问题的解存在、唯一,且连续依赖于定解条件中的初始数据或者1.2习题解答¢3¢边界数据,则称该定解问题是适定的,否则称它是不适定的.1.2习题解答1.1长为L的均匀细杆,侧面绝缘,一端温度为0,另一端有恒定热源q进入(即单1位时间内通过单位截面积流入的热量),杆的初始温度分布为x(L¡x)

6、,试写出相2应的定解问题.1解杆的初始温度分布是x(L¡x),即初始条件为21u(x;0)=x(L¡x):2由杆的一端温度为零,得边界条件u(0;t)=0;杆的另一端有恒定热流强度q,即kux(L;t)=q:故定解问题为8>>u=a2u;00;>>txx><1u(x;0)=x(L¡x);06x6L;>>2>>>:qu(0;t)=0;ux(L;t)=;t>0:k1.2设有一长为L的均匀柔软的弦做微小横振动,其平衡位置是x轴的区间[0;L].让u表示横位移,弦的线密度为½,张力大小为T.在振动过程中,受到一阻力,阻力的大小与位移速度成正比,比例系数为k.设

7、初始位移为Á(x),初始速度为0.在x=0端固定,在x=L端有一弹性支撑,弹性强度为k.试写出弦的位移u(x;t)所满足的定解问题.解在x=L端有一弹性支撑,弹性强度为k,这表明¯¯Tux¯=¡ku¯;x=Lx=L即¯(Tux+ku)¯=0:x=L又因为在振动过程中,受到一阻力,阻力的大小与位移速度成正比,比例系数为k,所以阻力F(x;t)=¡kut,那么由参考文献[1]中例1.2.1的推导可以得到该弦做微小横振动的方程为¢4¢第1章绪论Tkutt=uxx¡ut:½½因此,所求的定解问题是8>>Tk>>utt=uxx¡ut;00;<½½u(x;0)