在数学教学中培养学生的思维能力

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1、在数学教学中培养学生的思维能力【例1】计算(-10)-（-3）．　　引导学生进行推导：　　∵（-7）+（-3）=-10(加法法则)，　　∴(-10)-（-3）=-7（减法意义），　　又∵（-10）+3=-7（加法法则），　　∴(-10)-（-3）=(-10)＋3(等量代换).　　归纳有理数减法法则：“减去一个数，等于加上这个数的相反数”.　　这是在有理数减法法则的推导中学习推理，教学中应严格要求学生按法则和步骤进行运算，这既是强化各项数学基本技能所必需的，也是训练学生掌握严谨、规范的纵向思维所需要的.　　二、让学生学会发散思维　　发散思维是

2、指从已知信息中产生大量变化的、独特的新信息中，沿着不同方向进行思维的方式.如数学教学中引导学生一题多变或一题多解是教会学生发散思维的有效途径.　　【例2】已知14（b-c)2=（a-b）（c-a），且a≠0，则b+ca的值等于.　　解法1用主元法，将a视为主元，由已知可得：4a2-4a(b＋c)+(b＋c)2=0,　　分解因式，得［2a-(b＋c)］2=0，即2a=b＋c，由于a≠0，故有b+ca=2．　　解法2利用配方，由已知得：(b-c)2=4(a-b)·（c-a），从而0=［-(a-b）-(c-a)］2-4（a-b）(c-a)=(a-

3、b)2+2(a-b)(c-a)+(c-a)2-4(a-b)(c-a)=(a-b)2-2(a-b)(c-a)+(c-a)2=［（a-b）-(c-a)］2=（2a-b-c）2．　　故2a-b-c=0，即2a=b＋c，由于a≠0，故有b+ca=2．　　解法3构造一元二次方程，由已知得：(b-c)2=4(a-b)(c-a)，故方程t2＋（b-c）t＋（a-b）（c-a）=0有两个相等的实数根，分解因式，得：　　［t-(a-b)］［t-(c-a)］=0,t1=a-b;t2=c-a，故a-b=c-a，2a=b＋c，由于a≠0，故b+ca=2．　　解法4

4、利用等比性质，(1)当a=b，或a=c时，均有a=b=c，从而b+ca=2.　　(2)当a≠b，a≠c时，b-c2(c-a)=2(a-b)b-c=b-c+2(a-b)2(c-a)+b-c=2a-b-c-2a+b+c=-1=2(a-b)b-c.　　∴c-b=2a-2b,c+b=2a,由于a≠0，故b+ca=2.　　解法5辅助未知数法，注意到已知等式关于b、c对称，因此，可令b=x+y,c=x-y,则x=b+c2,y=b-c2.由题设得：y2=(a-x-y)(x-y-a).化简，得(x-a)2=0,即x=a.　　所以，b+c2=a,故b+ca=

5、2.　　学生学会了发散思维，可以全方位地考虑问题，沿着不同的方向去思考、探索，寻找尽可能多的设想、思路、可能性和联系，从而开发学生的智力，培养学生灵活运用知识的能力，使学生的思维流畅，能随机应变，达到高效学习的目的.　　三、让学生学会逆向思维　　逆向思维就是有意识地从常规思维的反方向去思考问题的思维方式.这种思维方式具有很大的创造性，往往会发现解决问题的新方法、新思路.教学中，我们可以有意设置障碍，引导学生学会在思维遇到障碍时，迅速转向，从相反的方向、角度去思考问题，从而找出解决问题的方法.这样有利于防止思维僵化，拓宽思路，活用知识.　　【

6、例3】若下列两个方程　　x2-2(a-1)x＋(a2+3)=0……(1)　　x2-2ax＋a2-2a+4=0……(2)　　至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围.　　分析此题，若从正面思考，必须对“两个方程均有实数根”，“方程(1)有实数根而方程(2)无实数根”，“方程(2)有实数根而方程(1)无实数根”三种情况逐一讨论，显然冗繁.为此可以引导学生从两个方程中至少有一个方程有实数根的反面：两个方程都没有实数根去考虑，从全体实数中排除“两个方程都没有实根”时的a值，就是所求答案.于是得到以下解法．　　若两个方程都没有实根时，有　　4(a-

7、1)2-4(a2+3)<0，　　4a2-4(a2-2a+4)<0．　　解这个不等式组，得-1<a<2.所以，所求实数a的取值范围为a≤-1或a≥2．　　【例4】设a、b、c是整数，求证ax2+bx+c=0的判别式不能为1990，1991.　　分析:从正面证明此题很困难，可以引导学生从反面思考．假设Δ=b2-4ac=1990成立，即Δ=b2-4ac=4×497+2，这里b必是偶数（若b是奇数，则b2也是奇数，又4ac为偶数，则b2-4ac必为奇数，而4×497+2为偶数，矛盾）．令b=2m，则有4m2-4ac=4×49

8、7+2，本式的左边是4的倍数，而右边却不是4的倍数，矛盾，故Δ不可能为1990.类似方法可以证明Δ也不可能为1991.　　四、让学生学会直觉思维　　数学中的直觉思维是指人脑对数学