军用物资的海中投放　

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1、军用设备的海中投放　　　摘要:本文针对军用设备的海中投放问题，建立了对所投放设备在空中及海中的轨迹的初等模型。　对第一问，分析飞机当时飞行的高度，即对H的求解。当设备未进入水中时，设备做平抛运动（忽略空气的浮力和阻力）;当设备进入水中后，设备的运动轨迹可分解为水平运动和竖直运动，而对于第一问的求解只需考虑设备的竖直运动，故对设备在竖直方向上进行受力分析，可知设备受自身的重力、水的浮力和水在竖直方向上的摩擦阻力，根据牛顿第二定律列微分方程，（在考虑设备的速度时我们做了个逆向思维假设速度从零开始）即可求得飞机当时的

2、飞行高度H不高于466.6416m。　　　对第二问，求解设备在海面的位置，对于第二问的解答只需考虑设备在水平方向上的运动，对设备在水平方向上进行受力分析，可知设备只受水在水平方向上的摩擦阻力，根据牛顿第二定律列微分方程，即可求得设备停在水面上的位置S=71.4997m。　　　对第三问，只需将第一问和第二问解出的方程进行联立，用Matlab软件根据方程即可画出球形设备的轨迹图。　　关键词：投放；微分方程;运动分解；牛顿第二定律；逆向思维　　1、问题的重述　军方用轰炸机在某海域进行定点投放一球形设备，飞机速度100

3、m/s，球形设备半径0.1m，密度0.85，海水密度1.03，设备在水中摩擦力与速度相反，且成正比，系数0.5公斤*秒/米，（g=9.8）　　　（1）球形设备不落入比65米还深的海水里，请分析飞机当时的高度;　（2）求设备停在海面上的位置；　　　（3）描述球形设备的轨迹特征，并给出设备的一种轨迹图。　2、模型假设　　1）假设球形设备可看作质点；　　2）假设该海域范围足够广；　　3）假设空投时无风力的影响，即设备只作水平和竖直方向的运动；　　　4）假设设备在空气中的浮力和阻力可以忽略不计；　5）假设设备在海中不受

4、水流的影响；　6）假设在设备进入水中时无能量损失,即能量守恒。　3、符号说明　　m:球形设备的质量;　　　H:飞机的飞行高度;　　球形设备的半径;　　ρ：海水的密度;　　　s：设备浮出水面时距进入点的距离；　g：当地的重力加速度；　k：摩擦力系数；　h：设备在水中的深度。　:设备进入水中时竖直方向上的速度；　　　4、模型的建立　4　数学建模军用设备的海中投放　问题一：　设备在空中运动未进入水中时，做平抛运动，对设备只进行竖直方向上的考虑且忽略空气浮力和阻力的影响，在竖直方向上根据能量守恒可得：　（1）　　对设备

5、只进行竖直方向上的考虑，进行受力分析可知：设备在竖直方向上受自身的重力、水的浮力和水在竖直方向上的摩擦阻力，有牛顿第二定律知：　质量加速度=浮力+水的阻力-重力　　　即：　　(2)　将设备从水面开始下降到最低点的过程逆向来考虑，认为在设备下降到最低点时，t=0得：　　(3)　　根据以上建立的模型,当h=65时，即可求得H。　　问题二：　设备进入水中后，在水平方向上作减速运动，此时仅对设备进行水平方向上的受力分析，由牛顿第二定律可知：　（4）　根据由第一问求得的代入由（4）求得的微分方程中即可求得。　问题三：　　

6、　由问题一和问题二求得的微分方程联立得：　　　　　　　　　　　5、模型的求解　　问题一的求解：　　将方程（1）、（2）、（3）联立，用Matlab求解（程序见附录1），结果为　　　H=466.6416m　　问题二的求解：　在问题一的求解过程中求得t=3.01，将其代入由（4）求得的方程中，得　4　数学建模军用设备的海中投放　s=71.4997m　　　问题三的求解：　　球形设备的轨迹图:(程序及见附表1)　　经计算设备在水中的运动时间共46.9536s。　　6、模型的分析　本文针对军用设备的海中投放问题，建立了对

7、所投放设备在空中及海中的轨迹的初等模型。模型对设备的运动轨迹进行了运动的分解，根据牛顿第二定律，分别在竖直和水平方向上建立了微分方程，并求得了结果。模型具有较好的稳定性，能够解决实际的问题。　7、模型的评价和推广　　　模型很好的描述了设备的运动轨迹，在进行定点投放时能够较为准确的预测出设备停在海面上的位置，对定点投放有很好的参考价值。　　模型的优点：（1）本模型简明易懂，有较好的通用性；（2）模型将设备的运动轨迹进行分解，把复杂的水中运动转化为在水平方向和竖直方向的运动，使问题简单化。模型的缺点：本模型是在忽略

8、了空气阻力和水流对设备影响的情况下建立的模型，轨迹图可能存在差异。　　模型的推广：（1）对模型稍加修改，可以用于研究伞兵在空中何时打开降落伞及对降落地点的预测；（2）对模型稍加修改，可适用于从海中打捞文物，具体分析物体的运动轨迹，避免与水中暗礁及船体发生碰撞，造成物体的损害。　参考文献：　　　胡红亮、赵芳玲、辛小龙.《数学建模与竞赛辅导》.陕西：西北大学出版社,2010。　附表1　　4