同济大学高等数学课后答案全集

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1、同济六版高等数学课后答案全集第一章习题111设A(5)(5)B[103)写出ABABAB及A(AB)的表达式解AB(3)(5)AB[105)AB(10)(5)A(AB)[105)CCC2设A、B是任意两个集合证明对偶律(AB)AB证明因为CCCCCx(AB)xABxA或xBxA或xBxABCCC所以(AB)AB3设映射fXYAXBX证明(1)f(AB)f(A)f(B)(2)f(AB)f(A)f(B)

2、证明因为yf(AB)xAB使f(x)y(因为xA或xB)yf(A)或yf(B)yf(A)f(B)所以f(AB)f(A)f(B)(2)因为yf(AB)xAB使f(x)y(因为xA且xB)yf(A)且yf(B)yf(A)f(B)所以f(AB)f(A)f(B)4设映射fXY若存在一个映射gYX使gfIXfgIY其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射即对于每一个xX有IXxx对于每一个yY有1IYyy证明f是双射且g是f的逆映射gf证明因为对于任意的yY有x

3、g(y)X且f(x)f[g(y)]Iyyy即Y中任意元素都是X中某元素的像所以f为X到Y的满射又因为对于任意的x1x2必有f(x1)f(x2)否则若f(x1)f(x2)g[f(x1)]g[f(x2)]x1x2因此f既是单射又是满射即f是双射对于映射gYX因为对每个yY有g(y)xX且满足f(x)f[g(y)]Iyyy按逆映射的定义g是f的逆映射5设映射fXYAX证明1(1)f(f(A))A1(2)当f是单射时有f(f(A))A11证明(1)因为xAf(x)yf(A)f(y)xf

4、(f(A))1所以f(f(A))A1(2)由(1)知f(f(A))A11另一方面对于任意的xf(f(A))存在yf(A)使f(y)xf(x)y因为11yf(A)且f是单射所以xA这就证明了f(f(A))A因此f(f(A))A6求下列函数的自然定义域(1)y3x222解由3x20得x函数的定义域为[,)331(2)y1x22解由1x0得x1函数的定义域为(1)(11)(1)12(3)y1xx2解由x0且1x0得函数的定义域D[10)(01]1(4)

5、y4x22解由4x0得

6、x

7、2函数的定义域为(22)(5)ysinx解由x0得函数的定义D[0)(6)ytan(x1)解由x1(k012)得函数的定义域为xk1(k01222)(7)yarcsin(x3)解由

8、x3

9、1得函数的定义域D[24]1(8)y3xarctanx解由3x0且x0得函数的定义域D(0)(03)(9)yln(x1)解由x10得函数的定义域D(1)1(10)yex解由x0得函数的定义域D(0)(0

10、)7下列各题中函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？2(1)f(x)lgxg(x)2lgx(2)f(x)xg(x)x2(3)f(x)3x4x3g(x)x3x122(4)f(x)1g(x)secxtanx解(1)不同因为定义域不同(2)不同因为对应法则不同x0时g(x)x(3)相同因为定义域、对应法则均相相同(4)不同因为定义域不同

11、sinx

12、

13、x

14、38设(x)求()()()(2)并作出函数y(x)6440

15、x

16、3的图形122解()

17、sin

18、(

19、)

20、sin

21、()

22、sin()

23、(2)06624424429试证下列函数在指定区间内的单调性x(1)y(1)1x(2)yxlnx(0)证明(1)对于任意的x1x2(1)有1x101x20因为当x1x2时x1x2x1x20y1y21x11x2(1x1)(1x2)x所以函数y在区间(1)内