第八章 矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步 section4

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1、§4张量算法一、张量概念[张量的一般定义]若一个量有nN个分量，而每个分量在n维空间Rn中的坐标变换(i=1,···,n)之下，按下面的规律变化：式中是xi的函数，是的函数，则量(共有nN个分量)称为l阶逆变(或抗变)m阶协变的N(=l＋m)阶混合张量(或称为(l＋m)型混合张量).张量概念是矢量和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵(方阵)是二阶张量，而三阶张量(例如)好比“立体矩阵”(图8.18右).更高阶的张量不能用图形表达.下面列出n=2时的张量示意图：[张量举例]1可乘张量设由逆变分量和协变分量所给定的两个矢量a,b是已知的，则由等式确定的都是

2、二阶张量，称为可乘张量.2克罗内克尔符号克罗内克尔符号是一阶逆变一阶协变的二阶混合张量，这是因为从可得[二阶对称张量与反对称张量]若张量满足等式则分别称为二阶对称协变张量、二阶对称逆变张量和二阶对称混合张量.若张量满足等式则分别称为二阶反对称协变张量、二阶反对称逆变张量和二阶反对称混合张量.张量的逆变(协变)指标的对称性质在坐标变换下是不变的.在三维空间中，二阶反对称张量与矢量等价.一、张量代数[指标的置换]指标置换是张量代数的最简单运算，利用它可作出新的张量.例如，通过指标置换，可由张量得到新的张量，它的矩阵是张量的矩阵的转置矩阵.[加(减)法]同类型的若干个张量的对

3、应分量相加(或相减)就得到一个新的同类型张量的分量，这种运算称为张量的加法(或减法).任何二阶张量可分解为对称张量与反对称张量两部分.例如[张量的乘法]把两个张量的分量按各种可能情形相乘起来，就会得到一个新张量的分量.这个张量的逆变与协变的阶数分别等于原来两个张量的逆变与协变的阶数之和.这种运算称为张量的乘法.例如这是一个l＋k阶逆变m＋h阶协变的混合张量，它的阶数为l＋m＋k＋h.注意，张量乘法的次序是不可交换的.[张量的缩并]对一个给定的混合张量，把它的一个逆变指标与一个协变指标相等的相加起来，得出阶数较低(逆变和协变各低一阶)的张量，这种运算称为张量的缩并.例如是

4、一个l－1阶逆变m－1阶协变的混合张量.[指标的升降]在应用中经常用二阶逆变张量的相乘与缩并来“升高”张量的协变指标，用二阶协变张量相乘与缩并来“降低”张量的逆变指标.这种运算称为指标的升降.例如Tijk就可由aij和aij升降：[张量的商律]设和各为一组xi和的函数，如果对任意逆变矢量与及任一指标jk，使与成为张量，则必为张量.这种判别张量的法则称为张量的商律.例如与各为，的函数，而且则即对所有的都成立，所以上式括号中的表达式等于零，因此是张量.以任意协变矢量代替逆变矢量可得相仿的结果.[张量密度]按下面规律变化的量称为张量密度，式中为一常数，称为张量密度的权.张量就

5、是权为零的张量密度.根据张量的阶数，还可以定义标量密度和矢量密度.两个指标的数目相同，且权相同的张量密度之和是一个同类型的张量密度.两个张量相乘时，权相加.一、张量分析上述张量都假定它的分量是空间Rn中点M(xi)的函数：当点M(xi)在空间Rn中某一区域D中变动时，则称是区域D中的一个张量场.上面所建立的张量代数的各种运算，都可以应用到张量场上来.对于张量场还有一个不变的运算——绝对微分(也称为协变微分)，这就是张量分析要讨论的内容.一个标量场的普通导数是一个协变矢量场(梯度场)的分量.但是，一般说来，一个张量场的普通导数并不构成新的张量场.[仿射联络空间]若对空间R

6、n中的每一坐标系(xi)，在一已知点M给定了一组(n3个)数，并在坐标变换下，它们按下列规律变化(1)则称在点M给定了一个联络对象(或联络系数)，其中偏导数是在点M取值的.假定在空间Rn中给定了联络对象场而且这些函数是连续可微的，则称Rn为仿射联络空间，记作Ln.一般说来，[挠率张量](1)式中的变换规律包括两项：第一项不依赖于旧坐标系中的；第二项依赖于，并和张量的变换规律的形式完全相同.由于第一项对两个下标是对称的，它一般不等于零，所以不是一个张量.但是构成一个张量，称为仿射联络空间Ln的挠率张量.如果挠率张量等于零，即则称所给定的空间是无挠率的仿射联络空间，记作.[

7、矢量的绝对微分与平行移动]若在空间Ln中给定一个逆变矢量，则在坐标变换下有(2)这构成矢量在点M的变换规律.如果从点M(xi)移到点N(xi＋dxi)，则有式中dai表示矢量从M移到N时的改变量的分量.在上式中只取一次项就得到(3)若变换的二阶偏导数在M不等于零，则一个矢量的改变量决不是一个矢量的分量.如果Rn为仿射联络空间，可由(1)，(2)，(3)式得到这表明是一个逆变无穷小矢量.称Dai为矢量在点M处关于分量为dxi的位移MN的绝对微分.如果联络对象，则绝对微分与普通微分一致.若矢量等于零，即=0就称矢量关于联络从点M平行地移动到点