高考数学不等式的综合应用

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1、难点20不等式的综合应用不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题.●难点磁场(★★★★★)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，方程f(x)－x=0的两个根x1、x2满足0＜x1＜x2＜.(1)当x∈［0，x1时，证明x＜f(x)＜x1；(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0

2、对称，证明：x0＜.●案例探究［例1］用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h米，盖子边长为a米，(1)求a关于h的解析式；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值(求解本题时，不计容器厚度)命题意图：本题主要考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值.知识依托：本题求得体积V的关系式后，应用均值定理可求得最值.错解分析：在求得a的函数关系式时易漏h＞0.技巧与方法：本题在求最值时应用均值定理.解：①设h′是正四棱锥的斜高，由题设可得：消去②由(h＞0)得：所以V≤，当且仅当

3、h=即h=1时取等号故当h=1米时，V有最大值，V的最大值为立方米.［例2］已知a，b，c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当－1≤x≤1时

4、f(x)

5、≤1.(1)证明：

6、c

7、≤1；(2)证明：当－1≤x≤1时，

8、g(x)

9、≤2；(3)设a＞0，有－1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，求f(x).命题意图：本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，以及综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：二次函数的有关性质、函数的单调性是药引，而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂.错解分析：本题综合性较强，其解答的关

10、键是对函数f(x)的单调性的深刻理解，以及对条件“－1≤x≤1时

11、f(x)

12、≤1”的运用；绝对值不等式的性质使用不当，会使解题过程空洞，缺乏严密，从而使题目陷于僵局.技巧与方法：本题(2)问有三种证法，证法一利用g(x)的单调性；证法二利用绝对值不等式：

13、

14、a

15、－

16、b

17、

18、≤

19、a±b

20、≤

21、a

22、+

23、b

24、；而证法三则是整体处理g(x)与f(x)的关系.(1)证明：由条件当=1≤x≤1时，

25、f(x)

26、≤1，取x=0得：

27、c

28、=

29、f(0)

30、≤1，即

31、c

32、≤1.(2)证法一：依题设

33、f(0)

34、≤1而f(0)=c，所以

35、c

36、≤1.当a＞0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是增函数，于

37、是g(－1)≤g(x)≤g(1)，(－1≤x≤1).∵

38、f(x)

39、≤1，(－1≤x≤1)，

40、c

41、≤1，∴g(1)=a+b=f(1)－c≤

42、f(1)

43、+

44、c

45、=2，g(－1)=－a+b=－f(－1)+c≥－(

46、f(－2)

47、+

48、c

49、)≥－2，因此得

50、g(x)

51、≤2(－1≤x≤1)；当a＜0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是减函数，于是g(－1)≥g(x)≥g(1)，(－1≤x≤1)，∵

52、f(x)

53、≤1(－1≤x≤1)，

54、c

55、≤1∴

56、g(x)

57、=

58、f(1)－c

59、≤

60、f(1)

61、+

62、c

63、≤2.综合以上结果，当－1≤x≤1时，都有

64、g(x)

65、≤2.证法二：∵

66、f(x)

67、≤1(－1

68、≤x≤1)∴

69、f(－1)

70、≤1，

71、f(1)

72、≤1，

73、f(0)

74、≤1，∵f(x)=ax2+bx+c，∴

75、a－b+c

76、≤1，

77、a+b+c

78、≤1，

79、c

80、≤1，因此，根据绝对值不等式性质得：

81、a－b

82、=

83、(a－b+c)－c

84、≤

85、a－b+c

86、+

87、c

88、≤2，

89、a+b

90、=

91、(a+b+c)－c

92、≤

93、a+b+c

94、+

95、c

96、≤2，∵g(x)=ax+b，∴

97、g(±1)

98、=

99、±a+b

100、=

101、a±b

102、≤2，函数g(x)=ax+b的图象是一条直线，因此

103、g(x)

104、在［－1，1］上的最大值只能在区间的端点x=－1或x=1处取得，于是由

105、g(±1)

106、≤2得

107、g(x)

108、≤2，(－1＜x＜1.当－1≤x≤1时，有

109、0≤≤1，－1≤≤0，∵

110、f(x)

111、≤1，(－1≤x≤1)，∴

112、f

113、≤1，

114、f()

115、≤1；因此当－1≤x≤1时，

116、g(x)

117、≤

118、f

119、+

120、f()

121、≤2.(3)解：因为a＞0，g(x)在［－1，1］上是增函数，当x=1时取得最大值2，即g(1)=a+b=f(1)－f(0)=2.①∵－1≤f(0)=f(1)－2≤1－2=－1，∴c=f(0)=－1.因为当－1≤x≤1时，f(x)≥－1，即f(x)≥f(0)，根据二次函数的性质，直线x=0为f(x)的图象的对称轴，由此得－＜0，即b=0.由①得a=2，所以f(x)=2x2－