利用旋转的性质来解计算题

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1、www.czsx.com.cn利用旋转的性质来解计算题旋转的性质：在平面内，通过旋转得到的图形与原图形之间有：对应点和旋转中心的距离相等，每对对应点与旋转中心的连线所形成的角都相等，它们都是旋转角。合理准确地应用旋转的这一条性质，可以解决与旋转相关的很多问题。一、面积计算问题图1图2①②③1、如图1所示，△AOB中，OA=3cm，OB=1cm，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°到△A’OB’，那么AB扫过的区域的面积是。图3分析：AB扫过的区域是一个不规则的图形，要想计算它的面积，可以将它分割为①和③两部分（如图2所示），根据旋转可以知道区域②和区域③的面积是相

2、等的，所以可以将①＋③转化为①＋②，而区域①＋②的面积=扇形OAA’的面积－扇形ODD’的面积，又因为OD=OD=1，OA=3，所以区域①＋②的面积=－=。答：AB扫过的区域的面积是。二、角度计算问题如图3所示，△ABC中，∠ACB=120°，将该图形绕点C按顺时针旋转30°后，得到△A’B’C，则∠AB’C的度数是。分析：根据旋转的性质可以知道∠BCB’是旋转角，它的度数应该是30°，∠AB’C可以看成是∠ACB和∠BCB’的和，所以∠AB’C=120°＋30°=150°。答：∠AB’C的度数是150°。三、线段长度问题如图4所示，边长为3的正方形ABCD绕点C按

3、顺时针方向旋转30°-4-www.czsx.com.cn后得到正方形EFGH，EF交AD于点H，那么DH的长是。图4图5分析：由旋转的性质可以知道∠BFC=∠DCG=30°，所以∠FCD=60°，可以连结线段HC（如图4所示），由已知可知∠F=∠D=90°，FC=DC，HC是Rt△FHC和Rt△DHC公共的斜边，根据HL公理可以判断Rt△FHC≌Rt△DHC，所以∠FHC=∠DHC=30°，所以HC=2DH，根据勾股定理可得，即，因为DC=3，所以DH=。答：DH的长是。借助旋转来解题旋转是新课标中增加的内容，是解答几何问题的一种重要的变换方法。旋转变换是一种全等变

4、换，它只改变图形的位置，使原来比较分散的条件相对集中，从而使图形的各种关系明朗化，从而达到化繁为简，化难为易的目的。一、求角度例1（青岛）、如图1，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB的度数。分析：由题中已知条件中的6、8、10这组勾股数联想到直角三角形，于是设法将PA、PB、PC集中到一个三角形中，可以将△APC绕着A点逆时针旋转60°得到△AFB，图1图2从而可得∠APB=∠APF+∠BPF，然后设法求出∠APF、∠BPF的度数即可。解：将△APC绕点A逆时针旋转60°后，得△AFB，连接FP（如图2），则FB=PC=10，F

5、A=PA=6，-4-www.czsx.com.cn∠FAP=60°。∴△FAP是正三角形，FP=PA=6，在△PBF中，PB2+PF2=82+62=102=BF2，∴∠BPF=90°，∠APB=∠APF+∠FPB=60°+90°=150°。二、求线段间的关系例2（旅顺）操作：如图3，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连MN。探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。分析：本题要探究的三条线段不在同一个三角形之中，必须设法将它们集中到一个三角形中。易知∠DBA=∠

6、DCA=90°，BD=CD，于是将△DBM绕D点顺时针旋转120°到△DCP的位置，则BM=CP，DM=DP，再证MN=NC+CP即可得证。解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，又∵∠BDC=120°，DB=DC，∴∠DBC=∠DCB=30°。∴∠DBM=∠DCN=90°。于是将△DBM绕D点顺时针旋转120°到△DCP位置，则BM=CP、DM=DP、∠MDP=120°，又∵∠MDN=60°，∴∠PDN=60°，∴∠PDN=∠MDN，∵DN=DN，∴△MDN≌△PDN，∴MN=NP=NC+CP，∴BM+NC=MN。三、求面积图3例3、如图4，△AB

7、C是等腰直角三角形，D为AB的中点，AB=2，扇形ADG和BDH分别是以AD、BD为半径的圆的，求阴影部分面积。分析：从表面上看图形异常繁杂，若想直接求阴影部分面积则不可能，若将扇形BDH和△BDC绕D点顺时针旋转180°，问题就迎刃而解了。解：将扇形BDH和△BDC绕D点顺时针图4图5旋转180°变成图5。∴S阴=S半圆－S△AEF=π×12－×12=（π－1）。四、进行图形分割例4（厦门）如图6，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠ABC与∠ADC互补。（1）求∠C的度数；（2）若BC＞CD且AB=AD，请在图上画一条线段，把四边ABCD分成两部分，使得这两