资源描述:
《1980年高考数学全国卷(理科)及其参考答案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1980年高考数学全国卷(理科)及其参考答案一.(本题满分6分)将多项式x5y-9xy5分别在下列范围内分解因式:1.有理数范围;2.实数范围;3.复数范围解:1.x5y-9xy5=xy(x2+3y2)(x2-3y2).2.x5y-9xy5=xy(x2+3y2)(x+y)(x-y).3.x5y-9xy5=xy(x+yi)(x-yi)(x+y)(x-y).二.(本题满6分)O33312O1O212半径为1、2、3的三个圆两两外切证明:以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形证:设⊙O1⊙O2⊙O3的半径为1、2、3因这三个
2、圆两两外切,故有O1O2=1+2=3,O2O3=2+3=5,O1O3=1+3=4,则有O1O22+O1O32=32+42=52=O2O32根据勾股定理的逆定理,△O1O2O3为直角三角形三.(本题满分10分)用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点YA(0,)EDB(b,0)OC(c,0)X证:取△ABC最长一边BC所在的直线为X轴,经过A的高线为Y轴,设A、B、C的坐标分别为A(0,)、B(b,0)、C(c,0),根据所选坐标系,如图,有>0,b<0,c>07AB的方程为,其斜率为AC的方程为,其斜率为高线CE的方程为
3、高线BD的方程为解(1)、(2),得:(b-c)x=0∵b-c≠0∴x=0即高线CE、BD的交点的横坐标为0,也即交点在高线AO上因此,三条高线交于一点四.(本题满分10分)证明对数换底公式:解:见课本五.(本题满分10分)直升飞机上一点P在地面M上的正射影是A,从P看地面上一物体B(不同于A)直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N(如图)证明:平面N必与平面M相交,且交线垂直于ABPNMBAL证:用反证法假如平面N与平面M平行,则PA也垂直于N,因此PA与PB重合,B点与A点重合,但这与题设矛盾,所以平面N与平面M相交设平
4、面N与平面M的交线为L∵PA⊥平面M,∴PA⊥L又∵PB⊥平面N,∴PB⊥L7∴L⊥平面PAB,∴L⊥AB六.(本题满分12分)设三角函数其中k≠01.写出f(x)极大值M、极小值m与最小正周期;2.试求最小的正整数k,使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m解:1.M=1,m=-1,2.f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m而任意两个整数间的距离都≥1因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m,必须且只须使f(x)的周期≤1即:可
5、见,k=32就是这样的最小正整数七.(本题满分14分)CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高,已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比数列,求∠B(用反三角函数表示)CADB解:设CD=h,AB=c,BD=x,则AD=c-x因此,△ACD的面积为,△CBD的面积为,7△ABC的面积为,依题意,∵取负号不合题意,∴取正号,得又依直角三角形的性质,有AC2=AD·AB=c(c-x).但x2=c(c-x)∴AC2=x2∴AC=x=DB=在直角三角形ABC中,故八.(本题满分14分)已知0<α<π,证明:并讨论α为何值时等号成
6、立解:即证:两端乘以sinα,问题化为证明2sinαsin2α≤1+cosα.而2sinαsin2α=4sinαcos2α=4(1-cos2α)cosα=4(1-cosα)(1+cosα)cosα所以问题又化为证明不等式(1+cosα)[4(1-cosα)cosα-1]≤07(1+cosα)≤0∴不等式得证∵0<α<π,∴等号成立当且仅当cosα-=0即α=600九.(本题满分18分)抛物线的方程是y2=2x,有一个半径为1的圆,圆心在x轴上运动问这个圆运动到什么位置时,圆与抛物线在交点处的切线互相垂直(注:设P(x0,y
7、0)是抛物线y2=2px上一点,则抛物线在P点处的切线斜率是)解:设圆的方程为(x-k)2+y2=1再设圆与抛物线的一个交点为P(x0,y0)在P点圆半径的斜率=.Yy=2x2P(x0,y0)·K(K,0)OX在P点抛物线的切线斜率=在P点抛物线的切线与圆的切线垂直,必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切因P(x0,y0)是圆与抛物线的交点,∴y02=2x0,(2)(x0-k)2+y02=1.(3)由(1)、(2)式消去y0,得x0=-k,7将(2)代入(3),得(x0-k)2+2x0-1=0,将x0=-k代入,得4k2-2
8、k-1=0,∴由于抛物线在y轴的右方,所以k=-x0≤0故根号前应取负号,即故所求圆的方程为由对称性,圆与抛物线的另一交点(x0,-y0)处的切线也互相垂直附加题(成绩不计入总分,只作参考)设直线(L)的参数方程是(t是参数)椭圆(E)的参数方程是(θ是参数)问、b应满足什么条件,使得对于任意m值来说,