5. grid 一、主題 a plastic grid covers the open of a cylindrical

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1、5.Grid一、主題Aplasticgridcoverstheopenofacylindricalvesselcontainingwater.Thegridiscoveredandthevesselisturnedupsidedown.Whatisthemaximalsizeofholesinthegridsothatwaterdoesnotflowoutwhenthecoverisremoved?一片塑膠網格覆蓋於裝滿水的圓筒之開口端上，先將網格孔洞遮蔽，再將圓筒倒置，當遮蔽移開後，能保持水不流出的網格孔洞最大尺寸為多少？二、理論[1,2]由17世紀托里切利的實驗

2、可知，大氣壓力可支撐約等同於10公尺高的水柱重。但是從我們日常經驗裡，當一杯水倒置的時候，甚至連只有幾公分高的水都會立即由杯中流出。這經驗與理論上似乎存在的矛盾是可以解釋的，主要的原因是當水杯倒置時，系統乃為一個典型的不穩定平衡結構，即，密度大的流體(水)置於密度小的流體(空氣)之上。在力學系統中，不穩定平衡狀態是非常常見的，但是在流體中，不穩定平衡的現象表現形式與其背後的物理機制常常不是那麼可直覺判斷。一個密度大的流體在重力場中處在一個密度小的流體上所構成的不穩定現象，被稱做Rayleigh–Taylorinstability.使現象最早於1883年由Raylei

3、gh提出描述，而Taylor在1950年也論證了此不穩定的現象也可發生在流體處於加速度座標系統中，而於同年Lewis以實驗證明了此現象。1.Rayleigh–TaylorinstabilityRayleigh–Taylorinstability所描述的問題如圖一(a)所示，在一重力場g下，密度較大(ρ2)的流體置於在密度較小(ρ1)的流體之上，兩流體的介面位於y=0的位置。如果液體的介面一開始是平衡的，在此介面上的每一點P1＝P2＝P0。當介面處一旦引進一個微小的擾動ξ(x)，使原本ｙ＝０變成ｙ＝ξ(x)，將會產生局部壓力差，且此壓力差對介面的施力方向傾向使擾動繼續

4、擴大，因此稱原本的狀態處於不穩定平衡。壓力在不可壓縮流體中，是正比於流體深度的，故在較深的點(ξ>0)其壓力會大於P0，在位置ξ>0時，其壓力會正比於密度，如圖一(b)，在介面兩端的壓力分別為：P1'＝P0＋ρ1gξ,P2'＝P0＋ρ2gξ,壓力差∆P=(ρ2-ρ2)gξ,(1)此壓力差使ξ往變大的方向運動，由牛頓第二運動定律可知：mξ=ΔPA,(2)式子中的A是介面面積，m是受介面壓力差影響而產生移動液體的質量。要估計質量m，假設Rayleigh–Taylorinstability產生一個基本表面波，位移量ξ會由介面隨距離y以e-ky形式衰減，其中k=2p/l為波

5、數，而λ為擾動的波長。流體的運圖一兩密度不同的流體介面示意圖。(a)平衡狀態介面;(b)受微擾影響的介面。[1]動程度亦隨y衰減，故估計擾動會影響的流體深度約為k－1，受擾動影響的有效質量為：m＝ｍ1＋ｍ2＝ρ1Ａk＋ρ2Ａk，(3)式中m1與m2分別是較輕和較重的流體質量。指數函數遞減的特徵長度為k－1是因為非黏滯性的流體速度場不具旋度且不可壓縮，故可以用正則模態分析而得。由式子(1)~(3)可以得到流體定點的運動方程式：(ρ2+ρ1)kξ=(ρ2-ρ1)gξ→ξ=ATkgξ(4)其中AT=(ρ2-ρ1)(ρ2+ρ1)，即為Atwoodnumber。由(4)式可解

6、得ξ=ξ0cosh(γt)+ξ0γsinh(γt),γ=ATkg(5)其中ξ0是介面微擾初始位移，ξ0是介面微擾初始速度。由式(5)可知，當介面在任何情況下一旦有小微擾位移，則此位移會持續以g的比率隨時間以指數型成長，直至介面完全被破壞。1.表面張力的影響由前面的討論可知，Rayleigh–Taylorinstability將破壞任何倒置水面的穩定存在，但若加上水的表面張力的影響，則系統可在特定的條件下處於穩定平衡。因表面張力的方向將與微擾位移反向，對有限的位移之貢獻如同提供了彈性的回復力。假設圖一中的介面有一個表面張力，其表面張力係數為σ，則運動方程式(2)的右邊

7、須外加一表面張力FST：FST＝ＡΔPST＝AσＲc，(6)其中Rc是水與空氣介面曲率的半徑。介面曲線函數為ξ(x)，數學幾何上可以求得其曲率半徑為Rc=1+(dξdx)23/2d2ξ/dx2，(7)如前假設表面波唯一正則模態，則ξ(x)~eikx，當微擾位移很小時，kξ遠小於1，則式(7)所得曲率會近似於－1/xk2。故式(4)須修正為ξ＝（ATkg－σk3ρ2+ρ1）ξ，(8)由(8)式可解得ξ=ξ0exp(γSTt)，(9)γST=ATkg－σk3ρ2+ρ1(10)可知ξ為一個指數函數，gST為實數隨時間為遞增波，gST為虛數隨時間為震盪波，而兩種狀態間的