图式理论在面积解题中的应用

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1、图式理论在面积解题中的应用在近代心理学史上，格式塔心理学最早在一般理论高度上重视图式.康德图式理论直接影响格式塔心理学，从而使得格式塔心理学排斥经验的作用，强调所谓完形的作用.它的所谓完形是指人的心理的一种整体组织结构.而这种心理组织结构就是图式的一种.利用这种心理完形作用，可以填补问题缺口、出现顿悟、获得知识.格式塔心理学的这种心理组织结构不仅带有先验论的性质，而且在运用这种结构解释客体时仅仅停留在一般的描述上.�在初中阶段，学生分析解决一些数学题目过程中，实际上也在自觉与不自觉地应用皮亚杰的图式理论.比如学生在分析解决一些有关面积问题的题目时就无意识的应用了图式理论在面积解题中的应用.下

2、面我们举例说明：�一、用面积法证明线段相等�例1如图1，用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是一个特殊的四边形．�（1）这个特殊的四边形应该叫做；（2）请证明你的结论．�解析12：首先可判断重叠部分为平行四边形；再由两条纸条宽度相同，利用平行四边形的等积转换可得邻边相等，则根据菱形的定义可得重叠部分为菱形．�（1）解：菱形.�（2）证明：过点D分别作DE⊥AB，DF⊥BC垂足分别为E、F,所以DE=DF（两张纸条宽度相同）,�因为四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形,�所以AB∥CD，AD∥BC.�所以四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行

3、的四边形是平行四边形）.因为S��平行四边形ABCD�=S��平行四边形ABCD�，�所以AB×DE=BC×DF所以AB=BC.�所以平行四边形ABCD为菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．�二、用面积法证明两角相等�例212如图2所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC.试说明：OC平分∠BOE.�解析：按照正常思维方式，要想证OC平分∠BOE，就要证∠BOC=∠EOC，根据证相等找全等的方法，我们就要想办法构造两个全等的三角形.事实上，这两个角所在的三角形均不全等.怎么办？我们

4、可以先证△BCD与△ACE全等，然后根据全等三角形的面积相等，可以证明全等三角形对应边上的高相等，从而可以证明CH=CI，再根据到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，就可以证明OC平分∠BOE了.�证明：过C作CH⊥BD于点H，CI⊥AE于点I，垂足分别为H、I，�因为△ABC和△DCE均是等边三角形，所以BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，�所以∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°.所以△BCD≌△ACE.�所以BD=AE，S��△BCD�=S��△ACE��又因为CH⊥BD，CI⊥AE.所以12BD•CH=12AE•CI�因

5、为BD=AE,所以CH=CI,又因为CH⊥BD，CI⊥AE所以OC平分∠BOE.�三、用面积法解决实际问题� 12例3如图3所示，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为7米，宽为4米，一个人从入口点A处沿着道路中央走到终点B处，他共走了�（）���(A)27.5米〖WB〗(B)28米�(C)28.5米〖DW〗(D)29米��解析：把自己想象成宽为1米的除草机，则你每除草1平方米就走1米长，而整个图形的面积是28平方米，所以你就走了28米，故选(�B�).�四、用面积法证明含有线段的等式�例4阅读材料：如图4，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r�1

6、,r�2，腰上的高为h，连结AP，则S��△ABP�+S��△ACP�=S��△ABC�.即：12AB•r�1+12AC•r�2=12AB•h,所以r�1+r�2=h（定值）.�（1）理解与应用�12如图4，在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且BE=BC，F为CE上一点，FM⊥BC于M，FN⊥BD于N，试利用上述结论求出FM+FN的长.�（2）类比与推理�如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：�已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r�1，r�2，r�3，等

7、边△ABC的高为h，试证明：r�1+r�2+r�3=h（定值）.�（3）拓展与延伸�若正n边形A�1A�2…A�n内部任意一点P到各边的距离为r�1，r�2，…，r�n,请问r�1+r�2+…+r�n是否为定值，如果是，请合理猜测出这个定值.�解析：（1）连接BF，已知BE=BC，采用面积分割法，根据S��△BEF�+S��△BCF�=S��△BEC�，从而得出三角形高的数量关系.� 12（2）连接PA，PB