o 41 两块无限大接地平行板导体相距为d,其间有一与导体板平行的无限大

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1、O4.1两块无限大接地平行板导体相距为d,其间有一与导体板平行的无限大电荷片，其电荷面密度为，如图所示。试通过拉普拉斯方程求两导体之间导体分布。解：电位仅是的函数，所以可解得题4.1图和满足边界条件于是有由此得到所以4.2设很长的同轴圆柱结构的内、外导体之间填充以电子云，其电荷体密度,其中和分别为内、外导体的半径，为常数。设内导体维持在电位，而外导体接地用解泊松方程的方法求区域内的电位分布。解：由于轴对称性，在圆柱坐标系中，电位仅为的函数，所以由此可解出电位满足边界条件，于是有由此解出于是得到4.3通过解电位的

2、泊松方程和拉普拉斯方程，确定球形电子云内部和外部的电位和电场。已知电子云内部区域，有均匀的体电荷密度；在电子云外部区域中，。解：由于电荷分布的球对称性，在球坐标中，电位仅是的函数，其满足的微分方程为由此解出和满足的边界条件为时，为有限值；时，；于是有,由此得到,,所以4.4一电荷量为质量为的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面距离。求的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡。(设)。解：小带电体可视为一点电荷，它所受静电力，来自导体平板的感应电荷，也就是镜像电荷(平面上方处，)对它的作用力。吸力，向上。

3、令与重力大小相等，有解得4.5一个点电荷与无限大导体平面距离为，如果把它移到无穷远处，需要做多少功？解：当点电荷移动到距离导体平面为的点处时，其像电荷，与导体平面相距为为，如图所示。像电荷在点处产生的电场为所以将点电荷移到无穷远处时，电场所做的功为题4.5图外力所做的功为4.6两点电荷和位于一个半径为的导体球直径的延长线上，分别距球心和。(1)证明：镜像电荷构成一偶极子，位于球心，偶极矩为(2)令和分别趋于无穷，同时保持不变，计算球外的电场解：(1)如图所示，设为的镜像：为的镜像：可见二像电荷等值异号，与球心等

4、距离，构成位于球心的偶极子，其电偶极矩题4.6图(2)球外电场是由四个点电荷产生的合成场。当时，和在导体球及邻域的场变化缓慢，是均匀场，可用球心处的场表示(不变)其电位表达式电偶极矩(、)在球外的电位为故球外电位为4.7半径为的长导线架在空中，导线和墙和地面都相互平行，且距墙和地面分别和，设墙和地面都视为理想导体，且，。试求此导线对地的单位长电容。解：设导线单位长带电荷为，如图所示。墙和地面的感应电荷可由三个镜像电荷代替，因，，则像电荷的大小和位置为位于(，)位于(，)位于(，)导线的线电荷(在其轴线上)以及镜

5、像题4.7图线电荷、、在导线表面上产生的电位为故导线对地的单位长电容为4.8半径为的接地导体球，离球心()处放置一个点电荷，如图所示,用分离变量法求电位分布。解：设其中是点电荷的电位，是导体球上的感应电荷产生的电位。电位满足的边界条件为(1)时，(2)时，由式(1)可得的通解为题4.8图为了确定系数，利用的球坐标展开式将在球面上展开为代入式(2)，有比较的系数，得到故得到球外的电位为4.9在一个半径为的圆柱面上，给定其电位分布：求圆柱内、外的电位分布。解：本题的电位与坐标无关。除了圆柱面上的已知电位以外，根据问

6、题本身的物理含义，可以得出，圆柱外部的电位在无穷远出应该等于零，圆柱内部的电位在圆柱中轴线上应该为有限值，根据这一点，可以判断出，在圆柱外，通解中的正幂项的系数为零，在圆柱内部，通解中的负幂项的系数同样为零。于是，柱内电位的通解为待定系数、、可以由界面的电位来确定，即由傅立叶级数的有关知识，可得出即()将这些系数代入上面的通解，得到圆柱内部的电位4.10假设真空中在半径为的球面上有面密度为的表面电荷，其中是常数，求任意点的电位。解：除了面电荷，球内和球外再无电荷分布，虽然可以用静电场的积分公式计算各点的电位，但

7、使用分离变量法更方便。设球内、球外的电位分别是。由题意知，在无穷远外，电位为零；在球心处，电位为有限值。所以可以取球内、球外的电位形式如下：(1)(2)球面上的边界条件为将式(1)和式(2)代入边界条件，得(3)(4)比较式(3)等号的两边，得(5)将式(5)代入式(4)，整理以后变为使用勒让德多项式的唯一性，即将区间内的函数可以唯一的用勒让德多项式展开，并考虑，得()于是我们得到()()4.11一半径为的细导线圆环，环与、平面重合，中心在原点上，环上总量为。证明其电位为解：根据题目给定的坐标，轴与环的轴线重合

8、。场为轴对称，。用环所在球面，把场区分球内和球外两部分，解分别为、。球内不含，球外不含，通解为(1)(2)把环上的线电荷表示为环所在球面上的面电荷为题4.11图(3)其中(4)是环所在的锥面的坐标(即的平面)边界条件为,(5)(6)由式(5)得(7)由式(6)得(8)式(8)两端乘以，从到积分得(9)由式(7)和(9)联立解出(10)(11)(12)将式(10)、(11)、(12)代入