学好概念才能学好数学——以函数的对应关系为例

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1、发表于《数学通讯》2014年第10期学好概念才能学好数学——以“函数的对应关系”为例李素波山西省阳泉市平定一中045200学好概念是学好数学的内在要求,概念学不好，数学课程目标的实现就失去了根基.李邦河院士指出，“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！”因此，作为学生必须重视数学概念的学习.而函数概念又是高中数学中的重中之重，尤其是三要素之一的对应关系不易理解.一问题提出在我校组织的一次观摩课上，教师在课上讲到如何判断两个函数相等.在互动环节，教师让学生甲讲解了课本例题：引例下列函数中哪个与函数相等？(1);(2);(3);(4).为便于讨论，下面给出学生甲对(

2、1),(2)两个问题的解析学生甲剖析：学生甲首先指出教材中判断两个函数相等的依据，指的是它们的定义域相同，对应关系也相同.而后分析了课本例题：(1)，这个函数与函数虽然解析式相同，但是定义域不相同.所以，这个函数与函数不相等.(2),这个函数与函数的定义域都是实数集，但是当时，它的解析式与函数不相同.所以，这个函数与函数不相等.该教学片断给笔者留下印象最深的是，学生甲多次强调“函数的对应关系即为函数解析式”，从上文教师例题的过程中也可以证实这一点.然而在场的所有学生却均未提出异议，可以看出，有此认识的学生应不在少数.4笔者却认为这一观点还有待商榷.那么究竟什么是对应关系？

3、又何为对应关系相同呢？二举证反驳有很大一部分学生不自觉地将对应关系与函数解析式等同起来.正如在引例的解析中，将两个函数对应关系相同认为是指两函数的解析式相同，在这里包括将解析式化简后相同.真是这样吗？那么请看这个例子：函数和这两个函数相等吗？显而易见，这两个函数有相同的定义域，那么问题的关键就在于两个函数的对应关系是否相同.但在这里若将对应关系视为解析式，那么结论就是这两个函数不相等.然而换另一个角度考虑，在同一坐标系中作出这两个函数的图像却是完全相同的.毋庸置疑，两个图像完全相同的函数一定是相等的.由此例可知，函数的对应关系并不完全等同于函数解析式.那么对应关系该怎么理

4、解呢？更何况，并非每个函数都可以用解析法表示，尤其是在实际问题中，函数多用列表法和图像法表示，这其中的对应关系又该如何看待？请再看下面的例子下表为某天一昼夜温度变化情况时刻0:004:008:0012:0016:0020:0024:00温度/(℃)-2-5498.53.5-1实际上，在本例中，温度就是时刻的一个函数，那么此时的对应关系又指什么？对于由图像法表示的函数对应关系又如何体现呢？三概念解读对应关系，在一些教材上也称为对应法则，通常被理解为施加在自变量上的运算关系.比如：在函数中，对应关系可叙述为“乘2再加1”.在其它的函数中，对应关系还可以是“取倒数”、“求平方”

5、、“取不超过的最大整数”等等.然而这仅仅是一个层面的理解.仍以“函数和这两个函数相等吗？”为例来说，前者的对应关系为取的倒数，而后者的对应关系为求的立方.在本例中，极易理解为两者的对应关系不同，而这与两个函数相等的事实是矛盾的.可见这种用文字叙述的作用在自变量上的运算规则还不是对应关系的真意所在.4在函数中，笔者认为若将对应关系叙述为更能揭示本质，即将实数对应到实数.具体体现为如图1所示的箭头图：又如在函数中，对应关系就是，即使任意实数都对应1.而在“某天一昼夜温度随时刻变化情况”的例子中，对应关系可用如图2所示的箭头图表示：其实，用列表法表示的函数较解析法更加直观，不必

6、通过计算就能知道两个变量之间的对应关系.在如上的箭头图中，实际上已经内隐了函数的对应关系.在用图像法表示的函数中，对自变量的某一取值，过轴这一点作轴的垂线与的图像交于点A，然后过点A作y轴的垂线，与y轴交点的纵坐标即为函数值y(如图3).这样就找到了图像法中函数的对应关系.在日常生活以及生产实践中，大多函数都不能用解析法表示，在列表和图像中各变量大多已经“天然地”建立了对应关系.用德国数学家狄里克莱的观点：“怎样去建立与之间的关系无关紧要，只要对于的每一个值，总有完全确定的值与之对应，这就是对应关系.事实上，函数和有着异曲同工之妙，两者的函数解析式虽然不同，然而对应效果却

7、是一样的，均为，.因此，笔者认为两个对应关系相同的本质是指对自变量的同一个取值，都有相同的函数值与之对应.换句话说，对于函数和，若对任意实数，都有成立，那么就可以称这两个对应关系和是相同的.4同样的例子不胜枚举，再比如：函数和；和；和，这里每组的两个函数都是相等的.所以，更深一层理解，对应关系强调的是对应结果，或者说对应效果，即使解析式不同，也有可能达到同样的对应效果.之所以许多学生会形成这种错误认识，笔者分析这跟高中阶段主要研究的是连续函数有关.而对于两个连续函数而言，它们相等，当且仅当定义域和解析式完全相同，相同的解析式必