上海市上海中学高二下学期期中考试（数学）

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1、上海市上海中学高二下学期期中考试（数学）一．填空题：（每小题3分）1.已知直线的一个方向向量为（2，-3），且过点（1，0）求直线的点方向式方程_.2.直线的倾斜角的取值范围是_______________.3.抛物线的准线方程为.4.已知复数满足是虚数单位)，则_____________．5.已知，求=6.在平面直角坐标系中，若曲线与直线有且只有一个公共点，则实数.7.经过点且与圆相切的直线方程是　　　　　．8.若直线与双曲线有一个公共点，求实数k的取值集合9、若为过椭圆中心的一条弦，是椭圆的一个焦点，则△的面积的最大值为10、在平面直角坐标系中

2、，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（－1，3），若点C满足=+，其中∈R，且，则点C的轨迹方程为二、选择题(满分12分,每小题3分)11.若复数(a∈R,i为虚数单位)为纯虚数,则a=（）A2B－2C4D312.若复数z=a+bi(a、b∈R),则下列正确的是（）A>B=C

3、x2+y216},B={（x,y）

4、x2+(y-2)2a-1},且，则a的取值范围是（　　　）A．aBaC．1D．a14.设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若则

5、FA

6、+

7、FB

8、+

9、FC

10、=（　　）(A)9(B

11、)6(C)4(D)3三．解答题：15.（本题8分）已知P是以F1、F2为焦点的双曲线上的动点，求ΔF1F2P的重心G的轨迹方程。16.（本题4+8=12分）已知：点P与点F（2，0）的距离比它到直线＋4＝0的距离小2，若记点P的轨迹为曲线C。（1）求曲线C的方程。（2）若直线L与曲线C相交于A、B两点，且OA⊥OB。求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标。17.（本题4+8=12分）已知抛物线,椭圆经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴。（1）求椭圆的方程；（2）若P是椭圆上的点，设T的坐标为（是已知正实数），求P与T之间的最短距离。1

12、8.（本题4+8=12分）设复数与复平面上点P(x,y)对应。（1）若是关于t的一元二次方程t2-2t+m=0(的一个虚根，且

13、

14、=2，求实数m的值。（2）设复数满足条件

15、a（其中n.常数a当n为奇数时，动点P(x,y)的轨迹为C1,当n为偶数时，动点P(x,y)的轨迹为C2,且两条曲线都经过点D(2,),求轨迹C1与C2的方程？19.（本题4+4+6=14分）双曲线上一点到左，右两焦点距离的差为2．（1）求双曲线的方程；（2）设是双曲线的左右焦点，是双曲线上的点，若，求的面积；（3）过作直线交双曲线于两点，若，是否存在这样的直线，使为矩形？若存在

16、，求出的方程，若不存在，说明理由．参考答案一．填空1.2.3.y=；4答案：.5.506.m=27.3x+4y－２５＝０8.9.1210.x+2y-5=0;二．选择：11A12.B.13.D14.B三．解答题15.设重心G（x,y）,点P（x0,y0），因为F1（-4，0），F2（4，0）则有,，故代入　得所求轨迹方程　（y≠0）16（1）解法（A）：点P与点F（2，0）的距离比它到直线＋4＝0的距离小2，所以点P与点F（2，0）的距离与它到直线＋2＝0的距离相等。由抛物线定义得：点在以为焦点直线＋2＝0为准线的抛物线上，抛物线方程为。解法（B）：

17、设动点，则。当时，，化简得：，显然，而，此时曲线不存在。当时，，化简得：。（2），，，----(1分)，，即，，直线为，所以由（a）（b）得：直线恒过定点。17．解：（1）抛物线的焦点为（1，0），设椭圆方程为，则所以椭圆方程为。（2）设，则。①当时，，即时，；②当时，，即时，；综上，。18解：（1）是方程的一个虚根，则是方程的另一个虚根，……………………2分则，所以……………2分（2）方法1：①当为奇数时，，常数），轨迹为双曲线，其方程为；…………2分②当为偶数时，，常数），轨迹为椭圆，其方程为；…………………2分依题意得方程组解得，因为，所以，

18、此时轨迹为与的方程分别是：，.…………2分方法2：依题意得………………2分轨迹为与都经过点，且点对应的复数，代入上式得，……………………………………………2分即对应的轨迹是双曲线，方程为；对应的轨迹是椭圆，方程为…………2分19.（1）（2）妨设在第一象限，则（3）若直线斜率存在，设为，代入得若平行四边形为矩形，则无解若直线垂直轴，则不满足．故不存在直线，使为矩形．