函数的奇偶性与单调性

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1、函数的奇偶性与单调性【基础训练】1．在下列命题中，正确的是（）A．函数y=是奇函数，且在定义域内为减函数B．函数y=3x3(x-1)0是奇函数，且在定义域内为增函数C．函数y=x2是偶函数，且在（-3，0）上为减函数D．函数y=ax2+c（ac≠0）是偶函数，且在（0，2）上为增函数2．定义在（a，c）上的函数f(x)，在区间（a，b）及（b，c）上均为增函数，函数f(x)在区间（a，c）上是否为增函数如何？请举例说明．3．下列函数中是偶函数的为（）A．f(x)=x2

2、x

3、（x∈（-1，1]）B．f(x)=C．f(x)=lgD．f(x)=4．给出下列四个

4、函数：①f(x)=1-x2；②f(x)=-3x+1；③f(x)=；④f(x)=．其中既是奇函数又是定义域上的减函数的函数个数是（）A．0B．1C．2D．35．已知是奇函数，则=．【例题讲解】例1试判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=

5、x+2

6、+

7、x-2

8、；（2）f(x)；（3）．变题1函数是（）A．奇非偶函数B．偶非奇函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数变题2：定义在R上的任意函数f(x)都可以表示为一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，若f(x)=lg(10x+1)，则（）A．g(x)=x，h(x)=lg(10x+10–x+2)B．g(x)=，

9、h(x)=C．g(x)=，h(x)=lg(10x+1)-D．g(x)=-，h(x)=lg(10x+1)-例2已知定义在（-∞，+∞）上的函数f(x)的图像关于原点对称，且当x＞0时，f(x)=x2-2x+2，求函数f(x)的解析式．变题1已知函数是奇函数，则实数的值为（）A．B．1C．D．变题2是定义域为R的奇函数，方程的解集为M，且M中有有限个元素，则M（）A．可能是B．中元素个数是偶数C．中元素个数是奇数D．中元素个数可以是偶数，也可以是奇数例3函数f(x)=log3(x2-2x-8)的单调减区间为__________。例4若奇函数f(x)是定义在（

10、-1，1）上的增函数，试解关于a的不等式：f(a-2)+f(a2-4)＜0．变题1如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)在区间[-7，-3]上是（）A．增函数且最小值是-5B．增函数且最大值是-5C．减函数且最小值是-5D．减函数且最大值是-5变题2已知定义在区间（-1，1）上的函数f(x)，求函数G(x)=f(1-x)+f(1-x2)的定义域．又当f(x)为奇函数且减函数时，求G(x)＜0的解．例5、试证明函数在区间上是增函数。变题1试讨论函数在区间上的单调性。例6、已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x、y，恒有f(

11、x)+f(y)=f(x+y)，且当x＞0时，f(x)＜0，又f(1)=-．（1）求证：f(x)为奇函数；（2）求证：f(x)在R上是减函数；（3）求f(x)在[-3，6]上的最大值与最小值．【训练反馈】1、对于定义域为R的偶函数，下列不等式恒成立的是（）A．f(x)+f(-x)＞0B．f(x)-f(-x)＝0C．f(x)f(-x)＞0D．f(x)f(-x)≤02、若定义在[-a，a]上的奇函数f(x)同时也是减函数，则函数y=f(-x)在[-a，a]上（）A．既是奇函数又是增函数B．既是奇函数又是减函数C．是偶函数且先增后减D．是偶函数且先减后增3、函数

12、f(x)的图象关于原点对称，且当x≥0时，f(x)=x2-2x，则当x∈R时，函数f(x)的表达式为（）A．x(x-2)B．x(

13、x

14、-2)C．

15、x

16、(x-2)D．

17、x

18、(

19、x

20、-2)4、设函数在R上是减函数，则有（）A、B、C、D、5、若函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在区间上（）A、必是增函数B、是增函数或减函数C、必是减函数D、未必是增函数或减函数6、函数在上递减，在上递增，则实数＝　　.7、函数在上是减函数，那么______。8、函数f(x)=的递减区间是．9、若f(x)是偶函数，则f(1+)-f()=．10、已知f(x)=ax4

21、+bx2+2x-8，且f(-1)=10，则f(1)=．11、判断符号函数sgn(x)=的奇偶性．12、设f(x)是（-∞，+∞）上的偶函数，且f(x+2)=-f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)=x，则f(5.5)的值为__________________。13、已知函数f(x)=(a＞0，且a≠1)．（1）判断f(x)的奇偶性；（2）讨论f(x)的单调性．14、已知函数求a的取值范围。15、设是定义在上的增函数，满足，且.（1）求；（2）若，求的取值范围.