数值分析实验一：误差分析、误差传播及算法稳定性

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1、毕节学院实验报告实验名称：误差分析、误差传播及算法稳定性实验报告序号：1组别姓名朱海涛同组实验者周礼伟实验项目计算并估计误差实验日期2012年9月26日实验类别1、验证性实验或基础性实验；□2、综合性实验□3、设计性实验；□4、创新性实验和研究性实验；教师评语实验成绩指导教师（签名）赖志柱年月日实验目的：通过本实验对求解问题的算法进行好坏判断有一个初步了解，并加强对设计一个好算法的理解，体验数值计算稳定性，从而了解数值计算方法的必要性，体会数值计算的收敛性与收敛速度。实验任务与要求：计算并估计误差（1）建立若干个（不少于两个）计算公式；（2）分析计算公式的理论误差；（3）编写程序

2、（推荐MATLAB）实现（1）中的计算公式、输出结果并比较实际误差；（4）任选正整数，要求既从计算，又从计算，并分析您的结果。这里且。小组分工合作说明：实验过程及内容：解：由分部积分可得计算的递推公式（1）若计算出，代入（1）式，可逐次求出的值。要算出就要先算出，若用泰勒多项式展开部分和并取k=19,用4位小数计算，则得，截断误差.计算过程中小数点后第5位的数字按四舍五入原则舍入，由此产生的舍入误差这里先不讨论。当初值取为时，用（1）式递推的计算公式为，n=1,2，…。计算结果见表1的列。用近似产生的误差就是初值误差，它对后面计算结果是有影响的.从表1中看到出现负值，这与一切相矛

3、盾。实际上，由积分估值得（2）因此，当n较大时，用近似显然是不正确的。这里计算公式与每步计算都是正确的，那么是什么原因合计算结果出现错误呢？主要就是初值有误差，由此引起以后各步计算的误差满足关系由此容易推得，这说明有误差，则就是的n!倍误差。例如，n=19，若，则。这就说明完全不能近似了。它表明计算公式（A）是数值不稳定的。我们现在换一种计算方案。由（2）式取n=19,得，我们粗略取，然后将公式（1）倒过来算，即由算出，，…，，公式为计算结果见表1的列。我们发现与的误差不超过。记，则，比缩小了n!倍，因此，尽管较大，但由于误差逐步缩小，故可用近似。反之，当用方案（A）计算时，尽管

4、初值相当准确，由于误差传播是逐步扩大的，因而计算结果不可靠。此例说明，数值不稳定的算法是不能使用的。程序如下：functionx11=facto(n)%这个函数的功能是求n的阶乘；x11=1;ifn==0x11=1;elsefori=1:nx11=x11*i;endendfunctione_1=telor(k)%这个函数的功能是求e^(-1);用泰勒多项式展开式进行计算的，%k是代表展开到第k+1项e_1=1;ifk==1e_1=1;elsefori=1:ke_1=e_1+(-1)^i/facto(i);endendfunctionjifen(m)I0=1-telor(19);%

5、第一种算法I(1)=I0;fori=1:mI1=1-i*I0;I(i+1)=I1;I0=I1;end%第二种算法Im=(1/2)*(1/(m+1)+telor(19)/(m+1));B(1)=Im;fori=1:mIn=(1/(m+1-i))*(1-Im);B(i+1)=In;Im=In;enddisp('n第1种算法第2种算法');fori=0:(length(B)-1)fprintf('%4d%33.4f%12.4f

6、',i,I(i+1),B(m+1-i));end在Matlab命令窗口输入如下命令即可得到如表1的结果。jifen(19)表1计算结果n第1种算法第2种算法

7、00.63210.632110.36790.367920.26420.264230.20730.207340.17090.170950.14550.145560.12680.126870.11240.112480.10090.100990.09160.0916100.08390.0839110.07740.0774120.07180.0718130.06690.0669140.06270.0627150.05900.0590160.05550.0557170.05720.052718-0.02950.0508191.55960.0342