高二数学空间距离

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1、题目第九章(B)直线、平面、简单几何体空间距离高考要求　　1理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念2会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算七种距离知识点归纳1点到平面的距离：已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则唯一，则是点到平面的距离即一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离结论：连结平面外一点与内一点所得的线段中，垂线段最短2异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线．

2、3．公垂线唯一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线4．两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；5．公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；6．两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度说明：两条异面直线的距离即为直线到平面的距离即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离7直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离)8．两个平行

3、平面的公垂线、公垂线段：（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段（3）两个平行平面的公垂线段都相等（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长9．两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离10．七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求

4、这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求10用向量法求距离的公式：⑴异面直线之间的距离：，其中⑵直线与平面之间的距离：，其中是平面的法向量⑶两平行平面之间的距离：，其中是平面的法向量⑷点A到平面的距离：，其中，是平面的法向量另法：点平面则⑸点A到直线的距离：，其中，是直线的方向向量⑹两平行直线之间的距离：，其中，是的方向向量题型讲解例1设A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），求D到平面ABC的距离解法一：∵A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），∴设

5、平面ABC的法向量=（x，y，z），则·=0，·=0，∴即令z=－2，则=（3，2，－2）∴由点到平面的距离公式：===∴点D到平面ABC的距离为解法二：设平面ABC的方程为：将A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７）的坐标代入，得，取B＝2，则平面ABC的法向量=(A,B,C)=（3，2，－2）又因为∴由点到平面的距离公式：===∴点D到平面ABC的距离为点评：求点到平面的距离除了根据定义及等积变换外，还可以借用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量的坐标(两种方法)，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向

6、量的坐标，那么P到平面的距离d=

7、

8、

9、cos〈，〉例2如图所求，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点求：（1）与所成的角；（2）P点到平面EFB的距离；（3）异面直线PM与FQ的距离解：建立空间直角坐标系，则D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a），则由中点坐标公式得P（，0，）、Q（，，0）（1）∴=（－，0，），=（，－，－a），·=（－）×+0+×（－a）=－a2，且

10、

11、=a，

12、

13、=a∴

14、cos〈，〉===－故得两向量所成的角为150°（2）设=（x，y，z）是平面EFB的法向量，即

15、

16、=1，⊥平面EFB，∴⊥，⊥又=（－a，a，0），=（0，a，－a），即有，取，则∵=（，0，）∴设所求距离为d，则=a（3）设=（x1，y1，z1）是两异面直线的公垂线的方向向量，则由=（－，0，），=（，－，－a），得取＝－1，则而=（0，a，0）设所求距离为m，则=a例3已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线BD与B1C的距离分析：虽然此题中没有给出表示两异面直线距离的线段，但是容易建立直角坐标系，使它变

17、为坐标系下的异面直线距离的问题，还是属于考试范围的问题解：建立空间直角坐标系（如图），则B（0，0，0），C（1，0，0），D（1，1，0）B1（0，0，1），则设与都垂直的向量为，则由和得，异面直线BD与B1C的距离：小结：1用向量求点到平面的距离的步骤为：先