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1、第24卷第12期大 学 物 理Vol.24No.122005年12月COLLEGEPHYSICSDec.2005教学经验交流 大学物理中微积分思想和方法教学浅谈黎定国,邓玲娜,刘义保,潘小青(东华理工学院物理系,江西抚州 344000) 摘要:分析了微积分思想和方法在大学物理教学中需要讲清的有关问题.关键词:大学物理教学;微积分;思想和方法中图分类号:O411文献标识码:B文章编号:100020712(2005)1220051204 大学物理与中学物理相比,其中一个很大的变限地变小,因此近似处理也就变
2、得越来越精确,这样化就是微积分的分析方法已经成为解决物理问题的从理论上也就能得到精确的结果.通过微积分方法基本方法.从质点运动学到质点动力学,从功和能到中有限向无限的转化,来实现由近似到精确的分析刚体转动,从静电场到稳恒磁场,都要遇到用微积分过程.这正是微积分思想和方法的精妙之处.来解决的问题.由于学生在中学阶段主要应用代数在物理学中,近似处理就是要抓住问题的主要运算来分析简单的物理问题,进入大学阶段学习大方面而忽略次要方面,从而使得问题的研究简单可学物理时,感到困难最大的可能莫过于用微积分的行.所以在大
3、学物理中采用微积分方法来分析问题,方法来分析解决问题.要尽快地使大学生理解微积其目的就是选取微分元后,在微元范围内能够把复分思想,熟练地运用微积分方法来分析物理问题,应杂问题近似成简单、基本、可研究的问题.从以下方面来把握微积分思想和方法.例如,功的分析计算就运用了微积分的分析方法.在力作功中,最简单的情形就是:一个质点在一1 为什么要用微积分方法恒力F的作用下作直线运动,若质点的位移为Δr,物理现象和规律的研究都是以最简单的现象和则力在这段位移内对质点所作的功A=F·Δr.对规律为基础的,例如运动学是从
4、匀速、匀变速直线运于一般情况,一个质点在变力F作用下作曲线运动开始,带电体产生的电场是以点电荷为基础.对于动,从a点到b点,力所作功的分析求解步骤是:首实际中的复杂物理问题,则可以化整为零,把它分割先选取微元,将质点的运动分为许许多多的运动小成许多在较小时间、空间等范围内的相应局部问题,段(微元段),只要分得的运动小段足够小,便可作两只要局部范围被分割到足够小,小到对于这些局部个近似:范围内的问题都可以近似处理为简单、基本、可研究1)把变力F近似为恒力,大小方向都不变.的问题了,最后再积零为整,把所有局部
5、范围内研究2)把曲线轨迹近似为直线轨迹,即看成直线运的结果累积起来,就可以得到问题的结果.在理论分动,其位移记为dr.析时,把分割过程无限地进行下去,局部范围便无限这样,便把每段内的功的分析计算近似为最简地小下去,称为微分.把所有的无限多个微分元中的单的情况———恒力作用下做直线运动的功的计算.结果求和,便是积分.这就是微积分思想和方法.因此在这运动小段内,力所作的功(元功)为微积分思想和方法是一种辩证的思想和分析方dA=F·dr(1)[1]法,包含了有限与无限的对立统一,近似与精确然后再把沿整个路径的所
6、有运动小段内力所作的元的对立统一.它把复杂物理问题进行时间、空间范围功加起来,就得到整个过程中力对质点所作的功.由上的有限次分割,在有限小的局部范围内进行近似于dr表示位移趋于零,对元功的求和就写成积分处理.然后让分割无限地进行下去,局部范围也就无形式:收稿日期:2005-05-18作者简介:黎定国(1973—),男,江西崇仁人,东华理工学院物理系讲师,主要从事大学物理、大学物理实验的教学及仪器的开发与研究.52大 学 物 理 第24卷bA=∫F·dr(2)3 如何选取合适的微元a在应用微积分方法分析物
7、理问题时,微元的选2 在微元内如何近似取非常关键,并且可能不是唯一的,选得恰当有利于一般来说,选取微元作近似的目的都是把变化问题的分析和计算.这里要从两个方面来考虑:其一的物理量近似为不变的物理量,把不均匀的近似成要保证在所选取的微元内能够近似处理成简单基本均匀的,把不规则的近似为规则的,或者近似为一定的物理模型,以便于分析问题,这是最基本的一条.的物理模型.在不同的物理问题中,近似的物理模型其二要尽量把微分元选取得大,这样可使积分(求也不相同,要具体问题具体分析.在微元内进行近似和)计算更加简单.因为微
8、分和积分互为逆运算,微分析时,首先要抓住问题的主要方面,也就是问题的分微得越细,则近似越精确,但积分越繁.在理论分焦点,同时又要尽量多地忽略次要方面,这样既可以析中,它体现为一元积分比二元积分简单,二元积分满足问题分析的需要,又可以使问题的分析尽量简比三元积分简单.在数值计算中是有限次分割,分割单可行.得越多,精确度越高,但求和项也就越多,计算工作例如:在研究质点运动中的速度和加速度时,我量也越大.所以必须在微分和积分这对矛盾
