1-10系列论文12篇之10：微积分的新体系

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1、师子说理三部曲(1)：师子高谈微积分第10篇系列论文12篇之10：微积分的新体系1,2师教民（1.石家庄广播电视大学科学技术部，河北石家庄050081；2.石家庄经济学院信息工程学院，河北石家庄050031）摘要：变量在任一点处开始变化时已经具有的变化的迹象或在变化结束时仍然保留的变化的痕迹叫做该变量的变化趋势．带有变化趋势的数叫做变数．带有变化趋势的0叫做无穷小变数，简称为无穷小数．宽度为无穷小数的区间叫做瞬间．时间的瞬间叫做瞬时．把某种特殊函数的无穷小增量定义为该函数的微分，把函数的微分和该函数的自变量的微分之比定义为该函数的分微分（俗称为导数或微分商），把

2、微分的无限积累定义为积微分（俗称为积分）．关键词：变化趋势；无穷小数；变数；瞬间；瞬时；连续；微分；分微分（微分商，导数）；积微分（微分和，积分）中图分类号：O172文献标识码：A我们已经从系列论文12篇之01中知道，牛顿、莱布尼茨创立的微积分理论——无穷小量分析法或第一代微积分存在微分之谜或微积分之谜或贝克莱悖论或第二次数学危机这个著名于天下的世界数学大难题．为了解决第二次数学危机这个世界数学大难题，法国数学家柯西（AugustinLouisCauchy，公元1789.8.21～1857.5.22）等人创立了标准分析法或极限理论或第二代微积分，形成经典微积52

3、第10篇微积分的新体系分理论．但是从系列论文12篇之01～09知，极限理论存在八大科学错误，致使世界集合论最高权威之一、以色列数学家弗朗克尔（AbrahamAdolfFraenkel，公元1891.2.17～1965.10.15），针对极限理论中的微积分理论与无穷小概念脱节的现状，表达了“要想检验无穷小量的功能，只须看它能否应用到微积分里去”的美好愿望．其实，早在柯西等人创立标准分析法之前，世界四大数学家之一、瑞士数学家、力学家、物理学家欧拉（LeonhardEuler，公元1707.4.15～1783.9.18），就提出发明既等于0而又不同于0的新数的伟大设想

4、，以便解决第二次数学危机这个世界数学大难题．但是他没有成功.然而人们普遍认为，这种新数一旦发明，第二次数学危机这个世界数学大难题便会迎刃而解．因此，我们应该继承欧拉的这一工作，完成他的遗愿．1无穷小数新定义理论来源于实践，因此，我们就从实践原型中抽出欧拉想发明的既等于0而又不同于0的新数以及有关的概念：一节废电池输出的电流是0．而一节新电池未接负载时，输出的电流虽然也是0，但是在电动势的作用下有流出的趋势．即这节新电池输出的电流有两项内容：①在数值上为0，②在变化上有流出的趋势．从这一实践原型出发，我们把所取数值变化的物理量叫做变量；把变量在任一点处开始变化时已

5、经具有的变化的迹象或在变化结束时仍然保留的变化的痕迹叫做该变量的变化趋势；把带有变量的变化趋势的0叫做无穷小变数，简称为无穷小数，记做0．其中“0”表示无穷小数0的数值大小，0头顶上的“·”表示无穷小数0的变化趋势．这样，我们定义的无穷小数就成了既等于0（在数值大小上）而又不同于0（在变化趋势上）的新数，从而完成了世界四大数学家之一、瑞士数学家欧拉希图“发明既等于0而又不同于0的新数”的伟大设想．53师子说理三部曲(1)：师子高谈微积分如果用上述的无穷小数代替极限理论的无穷小量，那么我们就知道了无穷小量究竟小到多少，从而为定义新的瞬时、瞬时速率以及准确的、

6、合理的、科学的、名符其实的微分、导数、积分等概念打下了基础．我们继续扩大战果，把带有变量的变化趋势的实常数（包括在数值上为0的实常数）叫做实变数，简称为变数，记做x，其中的“x”表示变数x的数值大小，x头顶上的“·”表示变数x的变化趋势．如果要分出变数x在x的左、右两边变化的情形，那么：把在x的左边变化的变数x记做x，把在x的右边变化的变数x记做x，把在x的左、右两边都变化的变数x记做x．这样，我们定义的新变数就成了具有“变化”和“数值”双重内容的数，从而恢复了变数的本来面貌．这样，无穷小数就成为变数数值为0时的特例．因此，这新变数的定义，

7、就为准确的、合理的、科学的、名符其实的微积分的新理论的创立打下了基础．2瞬间瞬时新定义像由实常数组成的数轴叫做实常数轴那样，由实常数以及在其左右变化的实变数组成的数轴叫做实变数轴，简称为变数轴或数轴．把实变数轴上任意两点a，b(ab)间的一段长度叫做实变数的一个区间，简称为实变数区间或变区间或区间．把这任意两点a，b叫做这个区间的两个端点．把ba的差叫做这个区间的宽度，宽度的数值部分叫做宽度值．区间的宽度值越大，这个区间内包含的不同的实常数就越多．但是，只要区间的宽度值不为0，这个区间内就包含无穷多个不同的实常数．如果区间的两个端点a，b

8、(ab)都包含在该