解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略

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1、解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？②①③④分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种

2、方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。①②2③④⑤⑥分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有；（4）③与⑤同色、②与④同色，则有；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有；

3、所以根据加法原理得涂色方法总数为5=120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？分析：依题意至少要用3种颜色24315（1）当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，（2）区域3与5必须同色，故有种；（3）当用四种颜色时，若区域2与4同色，1234(4)则区域3与5不同色，有种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有种，故用四种颜色时共有2种。由加法原理可知满足题意的着色方法共有+2=24+224=723、

4、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？分析：可把问题分为三类：（1）四格涂不同的颜色，方法种数为；（2）有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为；（3）两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为，因此，所求的涂法种数为4、根据相间区使用颜色的种类分类

5、ABCDEF例5如图，6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可解（1）当相间区域A、C、E着同一种颜色时，有4种着色方法，此时，B、D、F各有3种着色方法，此时，B、D、F各有3种着色方法故有种方法。（2）当相间区域A、C、E着色两不同的颜色时，有种着色方法，此时B、D、F有种着色方法，故共有种着色方法。（3）当相间区域A、C、E着三种不同的颜色时有种着色方法，此时B、D、F各有2种着色方法。此时共有种方法。故总计有108+43

6、2+192=732种方法。说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。⑤⑤⑤⑤⑤如：如图，把一个圆分成个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种染色方法？⑤解：设分成n个扇形时染色方法为种（1）当n=2时、有=12种，即=12（2）当分成n个扇形，如图，与不同色，与不同色，，与不同色，共有种染色方法，但由于与邻，所以应排除与同色的情形；与同色时，可把、看成一个扇形，与前个扇形加在一起为个扇形，此时有种染色法，故有如下递推关系：二、点的涂色问题方法有：（1）可根据共用了多少种颜

7、色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。例6、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。（1）若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有种方法。（2）若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜

8、色可以交换，故有种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有种方法。（3）若恰用五种颜色染色，有种染色法综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。解法二：设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有种染色方