高中数学（北师大版）选修1-1教案：第3章 导数在实际问题中的应用 参考教案2

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1、www.ks5u.com4．2导数在实际问题中的应用目标认知学习目标：　　1.会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次.　　2.了解函数在某点取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号)和充分条件（）；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次.　　3．会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次.重点：　利用导数判断函数单调性；函数极值与最值的区别与联系.会求一些函数的(极)最大值与(极)最小值难点：　利用导数在解决函数问题

2、时有关字母讨论的问题.知识要点梳理知识点一：函数的单调性(一)导数的符号与函数的单调性：　　一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，若，则在这个区间上为增函数；若，则在这个区间上为减函数；若恒有，则在这一区间上为常函数.反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．　　注意：1.若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）.即在区间(a,b)内，（或）是在(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如：而

3、f(x)在R上递增.　　2.学生易误认为只要有点使，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.3.要关注导函数图象与原函数图象间关系.（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：　　1.确定函数的定义域；　　2.求导数；　　3.在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；　　　当时，在相应区间上为增函数；　　当时在相应区间上为减函数.　　4.写出的单调区间.知识点二：函数的极值（一）函数的极值的定义　一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对

4、于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；　　（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.　　极大值与极小值统称极值.　　在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.　　注意：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着

5、它在函数的整个的定义域内最大或最小.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（5）可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立.即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件.在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平　的，从而有.但反过来不一定.如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点不是函数的

6、极值点.（二）求函数极值的的基本步骤：　　①确定函数的定义域；　②求导数；　③求方程的根；　　④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)知识点三：函数的最大值与最小值（一）函数的最大值与最小值定理　　若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.（二）求函数最值的的基本步骤：　　若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数　（

7、2）求在内的极值；　　（3）求在闭区间端点处的函数值，；　　（4）将的各极值与，比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值.（三）最值理论的应用　　解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：　　（1）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；　　（2）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；　　（3）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点满足，并且在点处有极大（小）值，而所给实际问题又必有最大

8、（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值.规律方法指导　　（1）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D.若由不等式确定的x的取值集合为A，由确定的x的取值范围为B，则应有.如：.　　（2）最值与极值的区