四川省仁寿县第一中学北校区2023-2024学年高一下学期3月月考 数学 Word版含解析.docx

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仁寿一中北校区高2023级第二学期3月质量检测数学试卷卷（Ι）一、单选题（共8个小题，每小题5分）1．如图，四边形ABCD中，AB=DC，则必有（）A.B.C.D.2．等于（）A．B．C．D．3．关于向量a，b下列命题中，正确的是（    ）A．若a=b，则a=bB．若a>b，则a>bC．若a=b，则a∕∕bD．若a∕∕b，则a=b4．（    ）A．B．C．D．5．在ΔABC中，为边上的中线，2AE=ED，则BE=（    ）A．−56AB+16ACB．−16AB−56ACC．−56AB−16ACD．−16AB+56AC6．已知都是锐角，，则（    ）A．B．C．D．7.设，，，则有（   ）A.B.C.D.8.关于函数有下述四个结论： ①是奇函数；②在区间单调递增；③是的周期；④的最大值为2.其中所有正确结论的个数是（）A.4B.3C.2D.1二、选择题：本题共4小题，每小题5分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知向量，则下列结论不正确的是（    ）A．B．与可以作为基底C．D．与方向相同10．下列式子化简正确的是（    ）A．B．C．D．11．已知，则（   ）A．若，则B．若，则C．的最小值为D．若与的夹角为钝角，则的取值范围为12、已知函数，若方程有四个不等的实根，，，且，则下列结论正确的是（　　）A.B.C.D.取值范围为卷（Ⅱ）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知sinα2−cosα2=15，则sinα=.14．已知a=4，e为单位向量，若a，e的夹角为600，则a在e向量上的投影向量为.15．已知为锐角，且，则sinα+76π=.16.已知函数的最大值是3，的图象与y轴的交点坐标为，其相邻两个对称中心的距离为2，则f1+f2+…+f2024=四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或步骤17．（10分）设是不共线的两个向量.(1)若，，，求证：A，B，C三点共线；(2)若与共线，求实数k的值.18．（12分）已知向量满足，，且.(1)若，求实数的值；(2)求与的夹角的余弦值.19．（12分）已知函数fx=Asinωx+φ，A>0,φ<π2的部分函数图像如下右图．（1）求函数的解析式，（2）求最小正周期、对称中心以及对称轴；（3）求的最大值和最小值及取的最值时x的集合。20.（12分）已知函数f(x)=2sinxcosx+23cos2x−3．(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12 ，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求y=g(x)在(−π12,π8)上的值域．21.（本小题满分12分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色。如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30．（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为m，已知H关于t的函数解析式满足（其中），求摩天轮转动一周的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐1号和9号座舱（即甲乙中间间隔7个座舱），在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：m）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．22.（12分）已知函数，，且在上单调递增；(1)若恒成立，求的值；(2)在（1）的条件下，若当时，总有使得，求实数的取值范围。 数学参考答案：1．B【详解】因为AB=DC，所以四边形ABCD是平行四边形，所以有DO=OB故选：B2．D【详解】因为cos(105°)=cos(45°+60°)，所以cos(105°)=cos(45°+60°)=cos45°cos60°−sin45°sin60°=22×12−22×32=2−64，故选：D3．C【详解】A：若a=b，不能推出a=b，其夹角不确定B：向量不能比较大小D：若a//b，则a与b共线，但不能说明a=b,可能是a=−b，也可能存在0故选：C．4．C【分析】利用正切和角公式得到，整理后得到答案.【详解】，，．故选：C5.A【详解】因为在∆ABC中，2AE=ED，所以BE=AE−AB=13AD−AB=16(AB+AC)−AB=−56AB+16AC故选：A6．B【分析】根据，结合同角三角关系以及两角和差公式运算求解. 【详解】因为都是锐角，则，则，所以.故选：B.7．A【详解】因为a=32sin57°−12cos57°=sin(57°−30°)=sin27°b=2tan14°1−tan214°=tan28°c=2sin13°cos13°=sin26°且满足sinxa>c故选：A8．C【详解】故选：C 9．BD故选：BD.10．BCD选项C：sin102°cos48°+cos78°cos138°=cos12°cos48°−sin12°sin48°=cos(12°+48°)=cos60°=12.故选：BCD． 11．ABC故选：ABC12．【答案】ABD【解析】【分析】根据解析式画出函数大致图象，数形结合可得，且，结合对数函数、正弦型函数性质可得、，综合运用基本不等式、区间单调性判断各项正误.【详解】由函数解析式可得函数大致图象如下，由上图，要使方程有四个不等的实根，，，且，则，且，，由，则，A、B对； 所以，又，即等号取不到，又,所以，C错；由图知：在区间、上单调性相同，且，所以随变化同增减，故取值范围为，D对.故选：ABD13．2425故答案为：242514．2e【详解】a在e上的投影向量为acos60°e=2e故答案为：2e.15.−45【详解】因为cos(α+π6)=35，且α为锐角，故π6<α<2π3，所以sin(x+π6)=45所以sin(α+76π)=sin(α+π6+π)=−sin(α+π6)=−45 故答案为−4516．4048所以f(1)+f(2)+...+f(2024)=−(sinπ2+sin2π2+...+sin2024π2)+2×2024=4048故答案为：404817．(1)证明见解析；(2)±4.【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.（2）由共线性质求出参数即可.【详解】（1）由，，，得，，因此，且有公共点B，所以A，B，C三点共线.（2）由于与共线，则存在实数，使得，即，而是不共线，因此，解得或，所以实数k的值是.18．(1) (2)【分析】（1）利用数量积的运算律及向量垂直的充要条件即可求解；（2）先数量积知识求出，的值，然后利用数量积的夹角公式求解即可.【详解】（1）因为，所以，即，解得，若，则，即，即，解得.（2）因为，又，所以，即与的夹角的余弦值为.19.解：(1)由题意知A=2，T4=π3−π12=π4，故T=π，则ω=2令2×π12+φ=π12+2kπ,kϵz,得φ=π3+2kπ,kϵz.因为φ<π12，所以ω=π3.所以fx=2sin2x+π3（2分）(2)最小正周期T=π；对称中心−π6+kπ2,0,kϵz;对称轴x=π12+kπ2,kϵz（6分）(3)最大值fx=2，xx=π12+kπ,kϵz;最小值fx=-2，xx=7π12+kπ,kϵz（4分） 20.21.解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系.（1）设时，游客甲位于，得到以为终边的角为，1分根据摩天轮转一周需要30，可知座舱转动的速度约为，3分由题意可得，，（），5分（2）甲、乙两人的位置分别用点、表示，则，6分经过后，甲距离地面的高度为，7分点相对于始终落后，此时乙距离地面的高度，8分则甲、乙高度差为9分 ，，10分所以当（或）时，的最大值为55，11分所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值为55米12分22．(1)(2)【分析】（1）根据恒成立可得，代入可得，进而根据单调性得，两者结合即可求解，（2）根据题意转化成两个函数的值域问题，利用三角函数的性质可求解,分类讨论求解含参的二次函数的值域即可求解.【详解】（1）由题意得，所以，，解得，.设的最小正周期为.因为在上单调递增，由于故，即，得，所以，经检验满足题意；（2）当时，总有使得，设在上的值域为，在上的值域为，则,由（1）得当时，，.的图象的对称轴为直线当，即时，在上单调递增，.由得，解得，所以.当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由得解得，又因为，所以.当，即时，在上单调递减，由得，解得，又因为，所以.综上，的取值范围为.