甘肃省武威市天祝一中民勤一中2023-2024学年高二下学期第一次月考 数学 Word版含解析.docx

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2023~2024高二第二学期第一次月考试卷数学试题全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5．本卷主要考查内容：湘教版选择性必修第二册第一章~第二章2.3．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间四边形中，等于（）AB.C.D.2.设，若，则（）A.B.C.D.3.空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（）A.B.C.D.4.已知函数在处的导数为3，则（）A.3B.C.6D.5.为空间任意一点，若，若、、、四点共面，则（）A.B.C.D.6.函数图象连续的函数在区间上（）A.一定存在极小值B.一定存在极大值C.一定存在最大值D. 极小值一定比极大值小7.已知，，则在上的投影向量为（）A.B.C.D.8.已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（）A.B.CD.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（）A.B.C.D.10.已知空间向量，则下列说法正确的是（）A.B.C.与夹角的余弦值为D.若，则共面11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.极值点为B.的最小值为C.有两个零点D.直线是曲线的一条切线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：）与时间t（单位： ）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为______.13已知，则______．14.已知函数，若成立，则实数t的取值范围为_____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出，，，，五点的坐标；（2）求．16.已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的最值．17.如图，在半径为4m的四分之一圆（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为V．（1）求出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域； （2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？18.已知函数．（1）若，证明：：（2）若，都有，求实数的取值范围．19.已知函数．（1）若恰有两个极值点，求实数的取值范围；（2）若两个极值点分别为，证明:． 2023~2024第二学期第一次月考试卷高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5．本卷主要考查内容：湘教版选择性必修第二册第一章~第二章2.3．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间四边形中，等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的加法运算法则，即可求解.【详解】.故选：C2.设，若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据导数值直接构造方程求解即可.【详解】，，解得：.故选：A. 3.空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据对称的性质即可求解.【详解】点关于xOz平面的对称点是,故选：B4.已知函数在处的导数为3，则（）A.3B.C.6D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件及函数在导数的定义即可求解.【详解】因为函数在处的导数为3，所以，所以．故选：B.5.为空间任意一点，若，若、、、四点共面，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用空间向量共面基本定理的推论可求出的值.【详解】空间向量共面基本定理的推论：，且、、不共线，若、、、四点共面，则，因为空间任意一点，若，且、、、四点共面， 所以，，解得.故选：C.6.函数图象连续的函数在区间上（）A.一定存在极小值B.一定存在极大值C.一定存在最大值D.极小值一定比极大值小【答案】C【解析】【分析】根据函数最值和极值的定义即可得解.【详解】由函数的最值与极值的概念可知在上一定存在最大值．故选：C．7.已知，，则在上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的投影向量公式进行求解.【详解】，故在上的投影向量为.故选：D8.已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（）A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】由题意的值域包含于 的值域，再分别求导分析函数的单调性与最值，进而根据值域区间端点满足的不等式列式求解即可.【详解】，，令，解得，令，解得，所以上单调递减，在上单调递增，又，所以的值域为.当时，，所以在上单调递增，又，所以的值域为，又，使得，所以，解得，即实数的取值范围是．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】由导函数大于0求出单调递增区间，得到答案.【详解】因为的定义域为R，，令得：或，所以在区间，上单调递增．故选：AC．10.已知空间向量，则下列说法正确的是（）A.B. C.与夹角的余弦值为D.若，则共面【答案】BCD【解析】【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示即可判断ABD；根据空间向量数量积的定义计算即可判断C.【详解】A：，又，故A错误；B：，则，故B正确；C：因为，所以，所以，故C正确；D：因为，故D正确.故选：BCD.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的极值点为B.的最小值为C.有两个零点D.直线是曲线的一条切线【答案】BD【解析】【分析】利用导数与函数的极值（最值）的关系可判断AB；结合函数的单调性与函数零点的知识可判断C；利用导数的几何意义求得在处的切线方程，从而得以判断.【详解】因为，所以，令，得；令，得；所以在上单调递减；在上单调递增； 所以在处取得唯一极小值，也是的最小值，所以的极值点为，，故A错误，B正确；因为，结合在上的单调性，可知是在上的唯一零点；当时，恒成立，故恒成立，所以在上没有零点；综上：只有一个零点，故C错误；因为，，所以在处的切线方程为，即，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：）与时间t（单位：）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为______.【答案】##【解析】【分析】将函数关于求导，再将代入上式的导函数，即可求解．【详解】因为，所以，，故在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为.故答案为：.13.已知，则______．【答案】【解析】【分析】根据结合数量积与模长的公式求解即可. 【详解】由，有．故答案为：14.已知函数，若成立，则实数t的取值范围为_____________．【答案】【解析】【分析】由函数解析式可知函数是奇函数，利用导数可判断函数在上单调递增，利用函数单调性可知等价于，解出不等式即可求得实数t的取值范围.【详解】由题得函数的定义域为，因为，所以函数是奇函数．又恒成立，所以函数在上单调递增；不等式等价于，所以，即，解得．所以实数t的取值范围为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出，，，，五点的坐标；（2）求．【答案】（1），，，，（2）【解析】【分析】(1)根据点的位置写出各点的坐标；(2)先求向量的坐标，再结合向量的坐标运算公式求解.【小问1详解】由题可知，，，，，【小问2详解】由（1）可知，，，则，则.16.已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的最值．【答案】（1）；（2），．【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义及点在曲线上，结合函数极值的定义即可求解；（2）利用导数法求函数的最值的步骤即可求解.【小问1详解】因为，所以，由题意可知，，，， 所以，解得，，，所以函数的解析式为，经检验适合题意，所以；【小问2详解】由（1）知，令，则，解得，或，当时，；当时，；所以在和上单调递增，在上单调递减，当时，取的极大值为，当时，取得极小值，又，，所以，．17.如图，在半径为4m的四分之一圆（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为V．（1）求出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？【答案】（1），定义域为； （2）当时，圆柱形罐子的体积V最大，最大体积是【解析】【分析】（1）利用勾股定理及圆的周长公式，结合圆柱的体积公式即可求解；（2）根据（1）的结论及导数法求函数的最值的步骤即可求解【小问1详解】在中，因为，所以，设圆柱的底面半径为r，则，即，所以，定义域为【小问2详解】由（1）得，，，令，则，解得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.当时，圆柱形罐子的体积V最大，最大体积是18.已知函数．（1）若，证明：：（2）若，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）由导数判断单调性后求最小值证明，（2）转化为在上单调递增，分类讨论单调性后求解．【小问1详解】证明：若，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故；【小问2详解】不妨设，所以，即，所以函数在上单调递增，令在上恒成立，令．当时，在上恒成立，又，不符合题意；当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，此种情况无解，当时，在上单调递增，， 在上恒成立，综上所述，的取值范围为．19.已知函数．（1）若恰有两个极值点，求实数的取值范围；（2）若的两个极值点分别为，证明:．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意导函数在上恰有两个不同的解，再根据二次函数的区间端点值，对称轴与判别式列式求解即可；（2）根据题意可得是方程的两个不同的根，所以再代入化简，进而构造函数，再求导分析的单调性与最值，进而可证明不等式.【小问1详解】在上恰有两个不同的解，令，所以解得，即实数的取值范围是；【小问2详解】证明：由（1）知是方程的两个不同的根，所以所以，令， 令在上恒成立，所以在上单调递减，即在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以，所以．