湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷 Word版含解析.docx

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株洲市二中2024年上学期高一年级开学考试试卷数学试题时量：120分钟分值：150分一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1.设集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据交集的定义求解．【详解】由已知，故选：B．2.为了得到的图象，只要将函数的图象（）A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】先将写成的形式，根据函数的图像“左加右减”的原则，比较前后变化即得平移变换的方向与长度.【详解】因，将函数的图象向右平移个单位长度即得函数的图像.故选：A.3.已知，且，且，下列运算正确的是（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】根据对数的运算性质，以及换底公式，即可得出答案.【详解】对于A项，根据对数的运算可知，，故A错误；对于B项，根据对数的运算可知，，故B错误；对于C项，根据换底公式可知，，故C正确；对于D项，根据对数的运算可知，，故D错误.故选：C4.设点是线段的中点，点在直线外，若，，则（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据得，由于是线段的中点，故，再结合题意即可求解.【详解】解：，两边平方得，，∴，∴又∵是线段的中点，∴∴.故选：B. 【点睛】本题考查向量的数量积的定义，向量的模的计算，是中档题.5.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先利用已知条件计算，再利用二倍角的余弦公式计算即得结果.【详解】由，，两式平方后相加可得，，即，得，所以，故.故选：C.6.已知函数f（x）=的值域为R，则实数a的取值范围为（　　）A.B.C.，D.【答案】C【解析】【分析】运用一次函数和对数函数的单调性可解决此问题．【详解】解：根据题意得，（1）若两段在各自区间上单调递减，则：；解得；（2）若两段在各自区间上单调递增，则：； 解得；综上得，的取值范围是，故选．【点睛】本题考查一次函数、对数函数以及分段函数单调性的判断，值域的求法,属于基础题．7.已知是方程的两根，有以下四个命题：甲：；乙：；丙：；丁：.如果其中只有一个假命题，则该命题是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】B【解析】【分析】根据韦达定理可得，对乙､丁运算分析可知乙､丁一真一假，分别假设乙､丁是假命题，结合其他命题检验判断．【详解】因为是方程的两根，所以，则甲：；丙：.若乙､丁都是真命题，则，所以， ，两个假命题，与题意不符，所以乙､丁一真一假，假设丁是假命题，由丙和甲得，所以，即，所以，与乙不符，假设不成立；假设乙是假命题，由丙和甲得，又，所以，即与丙相符，假设成立；故假命题是乙，故选：．8.已知，则以下关于的大小关系正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据零点存在性定理可求解，进而根据指数对数的运算性质结合基本不等式求解的范围，即可比较大小．【详解】由，令，则在定义域内单调性递增，且，由零点存在性定理可得，，又，因此，，可得，，，，，，，．故选：D【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据： （1）结合函数性质进行比较；（2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较；（3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.某扇形的半径为2，圆心角的弧度数为，则该扇形的面积为B.已知函数，若，则C.“”是“”的必要不充分条件D.函数只有一个零点【答案】AC【解析】【分析】由扇形的面积公式即可判断A，由函数的奇偶性即可判断B，由充分条件以及必要条件的定义即可判断C，由函数零点的定义即可判断D【详解】因为扇形的半径为2，圆心角的弧度数为，由扇形的面积公式可得，故A正确；函数，则，令，则为奇函数，则，则，即，所以，故B错误；由可得，由可得，即，则是的必要不充分条件，所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确；令，可得，即，显然，所以方程有两个不同实根，所以函数有两个零点，故D错误； 故选：AC.10.若，且，则（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】利用基本不等式及其“1”的代换判断各项正误.【详解】A：由题设，当且仅当时取等号，对；B：由题设，当且仅当时取等号，所以，对；C：，当且仅当时取等号，对；D：，当且仅当时取等号，错.故选：ABC11.已知函数，若函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论不正确的是（　　）A.将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象B.函数的图象关于点对称C.函数在区间上的单调递减区间为 D.若函数为偶函数，则θ的最小值为【答案】CD【解析】【分析】根据图像确定，得到和的解析式，根据平移法则得到A正确，代入验证得到B正确，举反例得到C错误，计算最小值为，D错误，得到答案.【详解】根据图像的最大值为，且，故，，故或（舍），，故，即，，对选项A：，向左平移得到，正确；对选项B：当时，，故关于点对称，正确；对选项C：，，，错误；对选项D：为偶函数，则，，解得，，当时，有最小值为，错误.故选：CD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若幂函数在上是增函数，则__________．【答案】.【解析】【详解】分析：利用幂函数的定义和单调性即可得出.详解：幂函数在上是增函数， ，解得.故答案为.点睛：熟练掌握幂函数的定义和单调性是解题的关键.13.已知，均为锐角，且，，则的值为__________．【答案】.【解析】【详解】分析：由已知及同角三角函数关系式可求cosα，sinβ，由两角和与差的余弦函数公式即可求sin（α﹣β）的值，结合α﹣β的范围即可得解．详解：∵α，β均为锐角，sinα=，cosβ=，∴cosα==，sinβ==，∴sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=，∵﹣＜α﹣β<，∴可解得：.故答案为.点睛：本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式的应用，考查了同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．14.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为______．【答案】12【解析】【分析】由题意求得，，化简，结合基本不等式计算即可求解.【详解】由题意知，在锐角中，，， 等式两边同时除以，得，又，所以，得，且，所以，令，则，故，当且仅当即时等号成立，此时，所以的最小值为12.故答案为：12四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知是定义在上的奇函数，，当时的解析式为.（1）写出在上的解析式；（2）求在上的最值.【答案】（1）（2）最大值为0，最小值为【解析】【分析】（1）先求得参数，再依据奇函数性质即可求得在上的解析式；（2）转化为二次函数在给定区间求值域即可解决.【小问1详解】因为是定义在上的奇函数，所以，即，由，得，由，解得，则当时，函数解析式为设，则，， 即当时，【小问2详解】当时，，所以当，即时，的最大值为0，当，即时，的最小值为.16.已知函数（且），.（1）求使成立的的值；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由结合对数运算可求得的值，可得出函数的解析式，然后解方程，可得出满足条件的的值；（2）分析可知，是上的增函数，根据可得出关于实数的不等式组，解之即可.【小问1详解】解：因为，则，解得，所以，得，即，解得或.【小问2详解】解：由（1）知是上的增函数，又，则，解得. 故实数的取值范围是.17.已知函数（，）的最小正周期为，且的图象过点．（1）求的单调递增区间；（2）若，求的对称中心．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据求出，结合图象过的点求出，进而，利用整体代换法即可求出函数的单调区间；（2）根据两角和差公式、辅助角公式和二倍角公式可得，利用整体代换法即可求出函数的对称中心.【小问1详解】由题意知，，所以，由函数图象过点，得，由，解得，所以.令，得，所以函数的单调递增区间为；小问2详解】由（1）知， ，令，解得，即函数的对称中心为，.18.如图所示，有一条“”形河道，其中上方河道宽，右侧河道宽，河道均足够长.现过点修建一条栈道，开辟出直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，且.点在线段上，且.线段将养殖区域分为两部分，其中上方养殖金鱼，下方养殖锦鲤.（1）养殖区域面积最小时，求值，并求出最小面积；（2）若游客可以在栈道上投喂金鱼，在河岸与栈道上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求出养殖观赏鱼的面积，再由基本不等式求解；（2）由题意，则即可求解.【小问1详解】过作，垂直于，，垂足分别为，， 则，，，，养殖观赏鱼面积，由可得，则，当且仅当即时取等号，故时，最小.【小问2详解】由，可得，则，，，由题意，则，则，结合，则.19.设，函数，.（1）讨论函数的零点个数；（2）若函数有两个零点，，试证明：.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数的零点个数；（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明，即，令，则将原命题转化为证明，显然成立，进而原命题成立得证.【小问1详解】，令，即，当时，令，所以，则即，所以当或时，即或时，无解；当时，即时，仅有一解；当即时，有两解，综上，或时，无零点；时，有一个零点；时，有两个零点.小问2详解】若有两个零点，，令，，则，为两解，则，则，则，由可得，，则，所以，所以， 由可得，所以，则，由在递减，可得，所以，所以令，则要证成立，即证：；即证：，因为显然成立，故原式成立.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．