重庆市第八中学校2023-2024学年高三下学期入学适应性考试数学试题 Word版含解析.docx

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重庆八中高2024届高三（下）入学适应性考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，记全集，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求，再求.【详解】全集，则.故选：C.2.若复数是纯虚数，则实数（）A.1B.C.D.0【答案】B【解析】【分析】利用复数的定义及乘法法则计算即可.【详解】由，根据题意可知.故选：B3.函数的零点有（）A.4个B.2个C.1个D.0个【答案】B【解析】【分析】结合函数与的图象可得正确的选项.【详解】令，即，可知函数的零点个数即为与的交点个数， 结合函数的图像，可知与的函数图像有两个交点，所以函数有两个零点，即函数的零点有2个.故选：C.4.设集合，那么集合满足条件“”的元素个数为（）A.4B.6C.9D.12【答案】D【解析】【分析】由题意对谁取0分类讨论即可求解.【详解】若，则，即有序数对有4种取法，同理若，则，即有序数对有4种取法，若，则，即有序数对有4种取法，综上所述，集合满足条件“”的元素个数为.故选：D.5.已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据分段函数单调性以及对数函数性质列式求解. 【详解】由题意可得：，解得，所以实数的取值范围是.故选：D.6.已知为正实数，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于（）A.6B.8C.10D.12【答案】C【解析】【分析】根据题意分析可知仅有或构成等比数列，且或构成等差数列，或或构成等差数列，结合等差、等比中项列式求解即可.【详解】因为为正实数，且可适当排序后成等比数列，可知仅有或构成等比数列，可得，又因为这三个数可适当排序后成等差数列，则有：若或构成等差数列，可得，即，解得或（舍去），可得；若或构成等差数列，可得，即，解得或（舍去），可得；综上所述：.故选：C.7.已知球的直径为是球面上两点，且，则三棱锥的体积（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】利用球体的性质先计算球心到平面的距离，再根据棱锥的体积公式计算即可.【详解】由题意可知为正三角形，设其外接圆圆心为M，半径为r，则，且平面，所以，故C到平面的距离为，所以三棱锥的体积为.故选：C8.设为抛物线的焦点，为上一点且在第一象限，在点处的切线交轴于，交轴于，若，则直线的斜率为（）A.－2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设点坐标，利用导数的几何意义求得切线方程可先含参表示N，T坐标，再根据抛物线的定义可判定为等腰三角形，根据其性质计算即可.【详解】易知，设， 则在点处的切线方程为，所以，显然N为中点，由抛物线定义可知，即为以F为顶点的等腰三角形，所以，即，所以直线的斜率为.故选：D【点睛】思路点睛：本题通过设点坐标，利用抛物线的切线方程含参表示N，T坐标，再根据抛物线的定义可判定为等腰三角形，根据其性质计算即可.解析几何问题首先是几何题，所以利用几何特征可减少计算量，提高效率.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分，有选错得0分）．9.已知分别为随机事件对立事件，满足，则下列叙述可以说明事件A，B为相互独立事件的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据事件相互独立的充要条件判断.【详解】对于A，由，得即，所以相互独立，故A正确;对于B，由，得，又，所以， 得即，所以相互独立，所以相互独立，故B正确;对于C，由，，得，由得，故，所以事件A，B相互独立错误，故C错误;对于D，由，得，又，所以，所以相互独立，故D正确.故选：ABD.10.已知函数，则下列关于函数的说法，正确的是（）A.的一个周期为B.的图象关于对称C.在上单调递增D.的值域为【答案】ABD【解析】【分析】利用函数的对称性与周期性结合诱导公式可判定A、B，再根据A、B结论及三角函数的图象与性质可判定C、D.【详解】对于A，根据诱导公式可知：，故的一个周期为，即A正确；对于B，根据诱导公式可知：，所以的图象关于对称，即B正确； 对于C，易知，即为偶函数，当时，，显然此时函数单调递减，由偶函数的对称性可知时函数单调递增，故C错误；由B结论可知为的一个周期，此区间上，故D正确.故选：ABD11.已知正四棱柱的底面边长为1，，点在底面内运动（含边界），点满足，则（）A.当时，的最小值为B.当时，存在点，使为直角C.当时，满足的点的轨迹平行平面D.当时，满足的点的轨迹围成的区域的面积为【答案】ACD【解析】【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用对称性得到的最小值为；B选项，设，表达出，利用得到，方程无解，B错误；C选项，设，表达出，得到轨迹，由线线平行得到线面平行，C正确；D选项，设，表达出，得到轨迹为圆，求出面积.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则， 则点关于平面的对称点为，连接，与平面的交点即为使得取最小值的点，此时，A正确；B选项，当时，，设，则，，，令，即，故，则需满足，不合要求，故不存在点，使为直角，B错误；C选项，当时，，设，则，， 在平面中画出点的轨迹，如图所示，其轨迹为线段，其中分别为的中点，其中，又平面，平面，故平面，当时，满足的点的轨迹平行平面，C正确；D选项，当时，，设，则，则，即，故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，刚好与正方形相切， 故面积为，当时，满足的点的轨迹围成的区域的面积为，D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示与解析几何的相关知识结合即可得解.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12.设向量，若，则______．【答案】【解析】【分析】由向量垂直列方程得参数，进一步由模长公式即可求解.【详解】由题意，因为，所以，解得，所以，从而.故答案为：.13.双曲线的左、右焦点分别为，为原点，为上关于原点对称的两点，若，则______．【答案】【解析】【分析】利用双曲线的定义及性质结合余弦定理计算即可.【详解】如图示，连接，易知四边形平行四边形，， 根据双曲线的性质及已知有，根据余弦定理可知：，又.故答案为：14.已知定义在上的偶函数满足，且当时，．若，则在点处的切线方程为______．（结果用含的表达式表示）【答案】【解析】【分析】利用赋值法分别令，可得，，根据为偶函数得，由，令、可得，为偶函数求出，再由直线的点斜式方程可得答案.【详解】因为，所以，即，令，有，令，有，所以，，因为为偶函数，所以，由，令得，所以，令得，所以，因为为偶函数，所以，所以在点处的切线方程为，即. 故答案为：.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用赋值法、为偶函数求出、，再由直线点斜式方程求解.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差，为监控该产品的生产质量，每天抽取10个产品进行检测，若出现了质量指标值在之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①假设生产状态正常，记表示一天内抽取的10个产品中尺寸在之外的产品数，求②请说明上述监控生产过程方法的合理性．附：【答案】（1）;（2）;说明见解析.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数与方差计算公式计算即可； （2）根据正态分布的定义及性质计算、分析即可.【小问1详解】由题意可知：（），[]，【小问2详解】①由题意可知生产状态正常，此时一个产品尺寸在之内的概率为，所以；②如果生产状态正常，此时一个产品尺寸在之外的概率只有，一天内抽取10个零件中，发现尺寸在之外的概率只有，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常，需要对当天的生产过程进行检查，可见这种监管过程方法合理.16.已知四边形外接圆面积为，且为钝角，（1）求和；（2）若，求四边形的面积．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用外接圆面积求出外接圆半径，进而由正弦定理得到，求出，再利用余弦定理求出；（2）求出，并利用正弦定理和余弦定理求出，，利用三角形面积公式求出，相加后得到答案 【小问1详解】四边形的外接圆面积为,即的外接圆面积为，设的外接圆半径为，则，解得，在中，，即，故，因为为钝角，所以为锐角，故，由余弦定理得，即，故，解得，负值舍去，【小问2详解】，因为，所以，在中，由正弦定理得，又，故，解得，在中，由余弦定理得，即，解得， 故，四边形的面积为.17.在圆上任取一点．过点作轴的垂线，垂足为，点满足．（1）求的轨迹的方程；（2）设，延长交于另一点，过作的垂线交于点，判断与的面积之比是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．【答案】（1）（2）是定值，定值为【解析】【分析】（1）利用相关点法，设，由题意可得，代入圆即可得结果；（2）设，则，根据题意求点的纵坐标，进而可得结果.【小问1详解】设，因为点满足，即点为线段的中点，可知，且点在圆上，则，即，所以的轨迹的方程为.【小问2详解】设，则，则直线的斜率，可知直线的斜率，即直线的方程为， 且直线的方程为，联立方程，消去x解得，且在椭圆上，则，即，可得，即点的纵坐标为，所以（定值）..【点睛】方法点睛：求解定值问题三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．18.在如图所示的几何体中，平面平面，记为中点，平面与平面的交线为．（1）求证：平面；（2）若三棱锥的体积与几何体的体积满足关系为上一点，求当 最大时，直线与平面所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）证明见解析.（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理及性质定理可证.（2）根据条件求出长度，建立空间直角坐标系，用向量法求出直线与平面所成角的正弦值，利用导数求出最大值.【小问1详解】因为平面平面，所以,又平面，平面，所以平面,又平面，且平面与平面的交线为，所以，所以平面.【小问2详解】设，取的中点O，因为，所以，因为为中点，所以到平面的距离为，因为平面，平面，所以平面平面，且平面平面，平面，所以平面，，，又即，解得，，当且仅当，即时取等号，所以当最大时,如图建立空间直角坐标系，则,设，则，， 设平面的一个法向量，因为，所以，令，则，即，设直线与平面所成角为，所以，令，则，令，则，所以，函数y在上为增函数，在上为减函数，所以当时，即，故直线与平面所成角的正弦值的最大值.19.如果函数的导数，可记为．若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积．（1）若，且，求；（2）已知，证明：，并解释其几何意义； （3）证明：，．【答案】（1）（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由基本函数的导数公式和题中定积分的含义得到.（2）先由定积分的预算得到，再分别构造函数和，利用导数分析单调性，证明结论；几何意义由题干中定积分的含义得到.（3）先由二倍角公式化简得到，再由定积分的意义得到，最后根据求导与定积分的运算得到，最后得证.【小问1详解】当时，因为，所以设，又，代入上式可得，所以，当时，；当时，设，同理可得，综上，.【小问2详解】因为，所以，设，则恒成立，所以在上单调递增，所以，故，即；设，，则恒成立，所以在上单调递增，， 所以，综上，.几何意义：当时，曲线与直线（轴），以及轴围成的“曲边面积”大于直线（轴），以及轴，直线围成的矩形面积，小于（轴），以及轴，直线围成的矩形面积.【小问3详解】因为，所以，设，则，所以，故.【点睛】关键点点睛：1、由题干得到求导与定积分互为逆运算；2、证明不等式时可作差构造函数，求导，利用导数分析其单调性；3、利用定积分几何意义得到要证明的不等式间关系，再利用求导与定积分运算得出最后结果.