浙江省舟山中学2023-2024学年高二上学期第一次素养测评数学 Word版含解析.docx

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舟山中学高二第一学期第一次素养测评数学试卷（分数：150分时间：120分钟）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若，则方程表示的圆的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由圆的一般方程表示圆的条件计算即可.【详解】由题意可知：，解之得，又，所以.故选：C2.已知方程表示的曲线是椭圆,则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】因为方程表示的曲线是椭圆，所以，解得且，即实数的取值范围是，故选B.3.点是圆内不为圆心的一点，则直线与该圆的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.相切或相交【答案】C 【解析】【分析】先根据点在圆内，得到，再计算圆心到直线的距离为d，并与半径作比较，即可得到答案．【详解】M在圆内，且不为圆心，则，则圆心到直线的距离为，所以相离．故选：C．4.若圆上至少有三个不同的点到直线l：的距离为2，则c的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式数形结合计算即可.【详解】由，所以，半径，过圆心作直线的垂线交圆分别于A、B两点，易知，当圆心C到的距离时可得，此时圆上恰有三个不同的点到直线l：的距离为2，满足题意，如图所示，可知到的距离为：. 故选：A5.已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是A.B.[,]C.D.）【答案】D【解析】【分析】由题意结合几何性质可知点P的轨迹方程为，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k的不等式即可求得实数k的取值范围.【详解】圆C（2,0），半径r＝，设P（x，y），因为两切线，如下图，PA⊥PB，由切线性质定理，知：PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四边形PACB为正方形，所以，｜PC｜＝2，则：，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆. 直线过定点（0，－2），直线方程即，只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即：，解得：，即实数的取值范围是）.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.已知原点到直线的距离为1，圆与直线相切，则满足条件的直线有A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】C【解析】【详解】试题分析：由已知，直线满足到原点的距离为，到点的距离为，满足条件的直线即为圆和圆的公切线，因为这两个圆有两条外公切线和一条内公切线.故选C.考点：相离两圆的公切线7.椭圆C：的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P为椭圆C上的任意一点，且P在第一象限，O为坐标原点，为椭圆C的右焦点，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的定义及椭圆的定义先计算，利用三角换元设点坐标，结合二次函数的单调性计算范围即可.详解】由题意可知，即，结合题意不妨设， 则，所以，由题意得，令，则由二次函数的单调性知当时，上式取得最大值，当时，，故.故选：C8.如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，．若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由切线的性质，可得，，再结合椭圆定义，即得解【详解】因为过点的直线圆的切线，，，所以．由椭圆定义可得，可得椭圆的离心率．故选：A二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求） 9.已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，为椭圆上一点（异于左，右顶点），且的周长为6，则下列结论正确的是（）A.椭圆的焦距为1B.椭圆的短轴长为C.面积的最大值为D.椭圆上存在点，使得【答案】BC【解析】【分析】根据，解得可判断AB；设，由知当点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C；假设椭圆上存在点，设，求出、，可看作方程，求出判别式可判断D.【详解】由已知得，，解得，，对于A，椭圆的焦距为，故A错误；对于B，椭圆的短轴长为，故B正确；对于C，设，，当点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时，所以面积的最大值为，故C正确；对于D，假设椭圆上存在点，使得，设，所以，，，所以是方程，其判别式，所以方程无解，故假设不成立，故D错误.故选：BC.10.圆和圆的交点为A，B，则有（）A.公共弦AB所在直线的方程为B.公共弦AB所在直线的方程为C.公共弦AB的长为D.P为圆上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为【答案】AD 【解析】【分析】根据公共弦方程的求法计算即可判定A、B选项，利用圆的弦长公式计算可判定C选项，利用圆的性质及点到直线的距离公式可判定D项.【详解】由两圆的方程作差可知公共弦AB方程为：，故A正确，B错误；由，易知，半径，则点到的距离为，故弦长，故C错误；当，并在如下图所示位置时，P到直线AB的距离的最大，为，故D正确；故选：AD11.“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆的方程为，半椭圆的方程为 ．则下列说法正确的是（）A.点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB面积的最大值为6B.曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7C.若，P是半椭圆上的一个动点，则cos∠APB的最小值为D.画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆扩充为整个椭圆：后，椭圆的蒙日圆方程为【答案】ABD【解析】【分析】选项A，易得，，从而判断；选项B根据椭圆的性质解决椭圆中两点间距离问题；选项C由椭圆定义可得到|PA|、|PB|之和为定值，由基本不等式可以得到、|PB|乘积的最大值，结合余弦定理即可求出cos∠APB的最小值；选项D中分析蒙日圆的关键信息，圆心是原点，找两条特殊的切线，切线交点在圆上，求得圆半径得圆方程．【详解】解：对于A，因为点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，则，，则，当位于椭圆的下顶点时取等号，所以△OAB面积的最大值为6，故A正确；对于B，半圆上的点到点的距离都是，半椭圆上的点到点的距离的最小值为，最大值为，所以曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7，故B正确； 对于C，是椭圆的两个焦点，在△PAB中，，由余弦定理知：，当且仅当时取等号，所以cos∠APB的最小值为，故C错误；对于D，由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点(0，0)，在椭圆：中取两条切线：和，它们交点为，该点在蒙日圆上，半径为此时蒙日圆方程为：，故D正确．故选：ABD．12.已知F为椭圆的左焦点，直线与椭圆C交于A、B两点，，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（）A.的最小值为2B.的面积的最大值为C.直线BE的斜率为D.为直角【答案】BCD【解析】【分析】根据给定条件设出点A、P坐标，结合椭圆定义、均值不等式、斜率坐标公式逐项分析计算作答.【详解】设椭圆C的右焦点，由椭圆对称性知线段AB，互相平分于点O，则四边形为平行四边形，如图， 则，有，当且仅当，即时取“=”，A不正确；设，，则，当且仅当，即时取“=”，即，因，垂足为E，则，B正确；因，有，由椭圆对称性可得，而，则直线BE的斜率，C正确；设，由及得，，即，直线PA，PB的斜率有，而，于是得，有，所以为直角，D正确.故选：BCD【点睛】结论点睛：过椭圆中心的弦(除椭圆长轴外)与椭圆二焦点围成平行四边形.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线，若直线与直线平行，则实数的值为______，动直线被圆 截得弦长的最小值为______．【答案】①.②.【解析】【分析】根据两直线的一般方程，利用直线平行的公式，代入即可求解；首先判断直线过定点，利用直线与圆的位置关系，判断当过点且与垂直的弦的弦长最短.【详解】由题意得，所以．当时，两直线重合，舍去，故．因为圆的方程可化为，即圆心为，半径为5．由于直线过定点，所以过点且与垂直的弦的弦长最短，且最短弦长为．故答案为：；14.若过点作圆的切线有两条，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】先将圆转化成标准方程，得到圆心和半径，通过半径的平方大于0可得到，再通过点能作两条圆的切线，可得到点在圆外，能得到或，即可得到答案【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径的平方为，即，因为过点作圆的切线有两条，所以点在圆外，故点到圆心的距离大于圆的半径，即，解得或， 综上所述，的取值范围是，故答案为：．15.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为，过作直线交于两点，且的周长为，那么的方程为__________．【答案】【解析】【详解】试题分析：依题意：4a＝16，即a＝4，又e＝＝，∴c＝，∴b2＝8.∴椭圆C的方程为考点：椭圆的定义及几何性质16.已知F1，F2是离心率为的椭圆的焦点，M是椭圆上第一象限的点，若I是的内心，G是的重心，记与的面积分别为S1，S2，则___________.【答案】【解析】【分析】先根据离心率确定，再根据条件用表示的面积，然后寻找及与的面积的关系即可得出结果.【详解】由于椭圆的离心率为，所以，即，设的面积为S，内切圆的半径为r，则， 所以，所以，因为G是的重心，所以，所以.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题的关键是及和的面积建立联系.四、解答题（本大题共6小题，共73.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知动圆过定点，并且在定圆：的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．【答案】【解析】【分析】根据椭圆的定义结合圆内切的性质求解即可.【详解】设动圆和定圆内切于点，由得，即动圆圆心到两定点，的距离之和等于定圆的半径，∴动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，且，则，.∴的轨迹方程是． 18.在平面直角坐标系中，已知点，直线设圆C的半径为1，圆心在直线l上.（1）若圆心C也在直线上，过点作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使得，求圆心C的横坐标的取值范围.【答案】（1）所求切线方程为或；（2）【解析】【分析】（1）先求得圆心，再根据半径为1，可得圆的方程.分类讨论斜率不存在和存在时的情况，由圆心到切线的距离等于半径求得切线方程； （2）可设圆心 ，设点，则由可得，设此圆为圆D，由题意可得，圆C和圆D有交点，故两圆相交，由此有，解之可得的取值范围.【详解】（1）由题设，知圆心C是直线和的交点，所以点C的坐标为，圆C的方程为，当过点的切线的斜率不存在时，切线方程为，满足条件；当过点的切线的斜率存在时，设切线方程为，由题意得，解得，所以切线方程为.故所求切线方程为或.（2）因为圆心C在直线上，所以设点C的坐标为，圆C的方程为，设点，因为，所以，化简得，即， 所以点M在以点为圆心，2为半径的圆上.由题意，点在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则，即，解得.所以圆心C的横坐标的取值范围为.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆相切的等价条件和圆与圆相交的等价条件是解题的关键，此题属综合性较强的中档题.19.已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，椭圆C上点M满足．（1）求椭圆C的标准方程：（2）若过坐标原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，求线段PQ长为时直线l的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意可得，即可求出、，即可求出椭圆方程；（2）首先求出直线斜率不存在时弦显然可得直线的斜率存在，设直线方程为、、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再根据弦长公式得到方程，求出，即可得解；【小问1详解】 解：依题意，解得，所以椭圆方程为；【小问2详解】解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，不符合题意；所以直线的斜率存在，设直线方程为，则，消元整理得，设，，则，，所以，即，解得，所以直线的方程为；20.已知椭圆及直线，.（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点；（2）若直线与椭圆交于、两点，且，为坐标原点，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）将直线的方程与椭圆的方程联立，利用可求得实数的取值范围；（2）设点、，列出韦达定理，由，可得出，利用平面向量数量积的坐标运算，并代入韦达定理，进而可计算得出的值，由此可求得直线的方程.【详解】（1）联立直线的方程与椭圆的方程，消去得，由于直线与椭圆有公共点，则，解得，因此，实数的取值范围是；（2）设点、，由韦达定理可得，， ，所以，，解得.因此，直线的方程为.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（5）代入韦达定理求解.21.已知椭圆C：1(a>b>0)的一个顶点坐标为A(0，﹣1)，离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=k(x﹣1)(k0)与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点B(1，0)，求证：点M不在以AB为直径的圆上.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据条件求出，即可写出椭圆方程；（2）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，联立直线与椭圆，写出韦达定理，将用表示出来，证明即可.【详解】（1）解：由题意可知，解得，所以椭圆C的方程为.（2）证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)， 由得，所以.所以当k为任何实数时，都有.所以，.因为线段PQ的中点为M，所以，，因为B(1，0)，所以，.所以.又因为k0，，所以，所以点M不在以AB为直径的圆上.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，属于较难题.22.已知椭圆左、右焦点分别为，，，且．（1）求的方程．（2）若，为上两个动点，过且垂直轴的直线平分，证明：直线过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】【分析】(1)由条件，可得的值，再由条件结合，可得答案.（2）由条件先得出，设，，设直线的方程为，与椭圆方程联立得出韦达定理，代入结论中可求解.【详解】（1）解：因为，所以，所以，又，所以，，故的方程为．（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，，设直线的方程为，设，，由，得，则，，．设直线，的倾斜角分别为，，则，，所以，即，所以，所以，化简可得，所以直线的方程为， 故直线过定点．【点睛】本题考查求椭圆的方程和直线过定点问题，解答本题的关键是根据条件得出，设出直线的方程为，与椭圆方程联立由韦达定理代入解决，属于中档题.