湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考(二)数学（原卷版）.docx

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大联考长郡中学2024届高三月考试卷（二）数学试题本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则的元素个数为（）A2B.3C.4D.52.设，若复数的虚部为3（其中为虚数单位），则（）A.B.C.D.33.已知非零向量，满足，，若，则向量在向量方向上的投影向量为（）A.B.C.D.4.设抛物线：的焦点为，在上，，则的方程为（）AB.C.D.5.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.6.直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件7.已知，且，则（）A.B.C.D.18.若实数满足，则的最小值是（）A.8B.9C.10D.11 二､多选题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.关于下列命题中，说法正确的是（）A已知，若，则B.数据的分位数为77C.已知，若，则D.某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现按年级分层，用分层随机抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人10.已知函数，则（）A.函数的最小正周期为B.若函数为偶函数，则C.若，则函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到D.若，则函数的图象的对称中心为11.如图，四棱锥的底面是梯形，，，，，平面平面，，分别为线段，的中点，点是底面内包括边界的一个动点，则下列结论正确的是（）A.B.三棱锥外接球的体积为C.异面直线与所成角的余弦值为D.若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 12.已知定义在上的函数满足：对于任意的，都有，且当时，，若，则下列说法正确的有（）A.B.关于对称C.在上单调递增D.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.展开式中，的系数为__________．14.已知是数列的前项和，，数列是公差为1的等差数列，则__________.15.已知双曲线左､右焦点分别为，过双曲线上一点向轴作垂线，垂足为，若且与垂直，则双曲线的离心率为__________.16.如图，有一半径为单位长度的球内切于圆锥，则当圆锥的侧面积取到最小值时，它的高为______．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知等比数列的第二､三､四项分别是等差数列的第二､五､十四项，且等差数列的首项，公差.（1）求数列与的通项公式；（2）设数列对任意均有成立，求的值.18.在锐角中，内角的对边分别为，已知. （1）求；（2）若，求的取值范围.19.如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为的正方形，为中点，且.（1）求证：平面；（2）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.20.第19届杭州亚运会-电子竞技作为正式体育竞赛项目备受关注.已知某项赛事的季后赛后半段有四支战队参加，采取“双败淘汰赛制”，对阵表如图，赛程如下：第一轮：四支队伍分别两两对阵（即比赛1和2），两支获胜队伍进入胜者组，两支失败队伍落入败者组.第二轮：胜者组两支队伍对阵（即比赛3），获胜队伍成为胜者组第一名，失败队伍落入败者组；第一轮落入败者组两支队伍对阵（即比赛4），失败队伍（已两败）被淘汰（获得殿军），获胜队伍留在败者组.第三轮：败者组两支队伍对阵（即比赛5），失败队伍被淘汰（获得季军）；获胜队伍成为败者组第一名.第四轮：败者组第一名和胜者组第一名决赛（即比赛6），争夺冠军.假设每场比赛双方获胜的概率均为0.5，每场比赛之间相互独立.问：（1）若第一轮队伍和队伍对阵，则他们仍能在决赛中对阵的概率是多少？（2）已知队伍在上述季后赛后半段所参加的所有比赛中，败了两场，求在该条件下队伍获得亚军的概率. 21.已知椭圆的左右焦点分别为是椭圆的中心，点为其上的一点满足．（1）求椭圆的方程；（2）设定点，过点的直线交椭圆于两点，若在上存在一点，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求的范围．22.函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，若，求证：；（3）求证：对于任意都有.