立体几何中外接球与内切球模型归纳

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立体几何中外接球与内切球模型归纳近年来的高考和各级各类模拟考试中,立体几何的外接球和内切球问题,已成为常考常新试题,通常以选填题的形式出现,主要考查空间中的垂直与平行关系、空间距离、球的表面积和体积等知识。通过梳理高考真题和模拟题,不难发现该类问题可以归结为几类模型问题求解,在高考备考中,只要根据题目条件识别出问题所属模型,就可根据模型快速解题。下面笔者通过一些典型例题对立体几何中有关球的模型进行归纳,与读者交流,以期对同学们的高考备考能提供一些帮助。一、外接球模型模型一:正棱锥模型由于正棱锥顶点的投影是底面的外心,由定心法可知正棱锥的外接球球心在底面的高上。若设正棱锥的高为h,底面外接圆的半径为r,外接球的半径为R,由图1,图2,图3知,对任意正棱锥,有OA=R,O1A=r,OO1=h-R(如图1,图3),或OO1=R-h(如图2)。根据勾股定理,可得到正棱锥外接球半径的通用公式为R2=r2+(h-R)2。图1

1图2图3

2例1所有棱长均为2的正四棱锥的外接球半径为____。解析:易知底面(边长为2的正方形)外接圆的半径r=,正四棱锥的高h=,根据公式R2=r2+(h-R)2,可得R=2。模型二:线面垂直模型众所周知,存在外接球的棱柱均为直棱柱,但直棱柱存在外接球的条件是底面存在外接圆。如图4,若设直棱柱的高为h,即OO1=,设底面外接圆的半径为r,即O1A=r,设外接球的半径为R,即OA=R。由勾股定理知R2=r2+,显然该公式对直棱柱的外接球具有一般适用性。而具有线面垂直特征的棱锥都可以补成一个直棱柱,而且该直棱柱和原棱锥具有相同的外接球。所以公式适用于所有具有线面垂直特征的棱柱与棱锥,其中R是外接球的半径,h是垂线段的长度,r是垂面外接圆的半径。图4模型三:增补成长方体的模型众所周知,长方体的体对角线即为其外接球的直径。将棱锥增补成长方体的操作不仅仅局限于解决外接球问题,在截面等其他问题中也有类似操作。在这里我们主要阐述两种具体模型:对棱相等的三棱锥(如图5)、有三个面是直角三角形的三棱锥(如图6,图7,图8)。

3图5图6

4图7图8例3在三棱锥D-ABC中,∠DAC=∠BCA=∠DBC=90°,BD=BC=5,且直线AC与BD所成角的余弦值为,则该三棱锥的外接球的表面积为____。解析:观察到该三棱锥有三个直角但两两不共顶点,并没有线面垂直的特征,不符合模型二,所以只能增补成长方体(如图9)再作研究。直线AC与BD所成角即∠DBE,由cos∠DBE=知BE=3,DE=4,则外接球的直径为,表面积为4πR2=50π。

5图9模型四:一般模型一般来说,除了上述三种特殊模型,其他均用一般方法——定心法解决。如图10,面ABC和面DEFG均是任意多面体的两个面,而O1,O2是这两个面的外心。由球的性质知过外心O1,O2分别作这两个面的垂线,两条垂线均过球心,即两条垂线的交点为球心,此为定心法。图10例4如图11,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=CC1=1,E,F分别为AB,CD的中点,则三棱锥D1-BEF外接球的表面积为_____。

6图11评注:本题是定心法最一般的情况,也是最繁杂的情况,这种情况下会构造出四边形,而这个四边形的已知角是两个直角和一个二面角的平面角,已知边是二面角的平面角的两边,需要解出两条垂线段中的一条再进一步求半径。例5已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,侧面PCD⊥平面ABCD,∠CPD=60°,AB=PD=2,则四棱锥PABCD的外接球的体积为____。图12评注:本题是将一般题型中的二面角特殊化为直二面角,难度大幅度下降。

7图13评注:本题其中一个面的外心刚好在二个面的交线上,如同例4中的四边形退化成直角三角形。二、切球模型模型一:多面体的内切球如图14,球O为四面体A-BCD的内切球,由球的性质知四面体O-ABC,O-ABD,O-ACD,O-BCD的高均为内切球的半径r,则VA-BCD=VO-ABC+VO-ABD+VO-ACD+VO-BCD不妨设四面体A-BCD的体积为V,表面积为S,则r=。很显然此结论具有一般性,对所有具有内切球的多面体均适用。但应用此结论有两个前提:第一是必须为多面体,第二是必须为内切球。而第二点同学们容易将“几何体能打磨成(装下)最大的球”误以为一定是内切球,这一论断的前提是该几何体必须具有内切球。图14

8例7(1)边长为2的正四面体的内切球的半径为____。模型二:其他切球内切问题内容丰富,除多面体的内切球外,还有旋转体的内切球、棱切球,以及多个球与几何体内切等。解决这类问题的思路基本一致,即探寻球心和切点。例8三个半径为3的球两两相切放置在水平桌面上,则三个球与桌面围成的空间中能放置的最大球的半径为____。解析:显然所求球与三个球和桌面均相切。设三个球的球心分别为O1,O2,O3,与桌面的三个切点分别为A,B,C,则三棱柱是一个底面边长为6,高为3的正棱柱。如图15,设所求球的球心为O,半径为r,与桌面的切点为D,则三棱锥OO1O2O3为正三棱锥,底面边长为6,侧棱长为r+3。根据题意可求三棱锥O-O1O2O3的高为,而根据相切知OD=r,三棱锥O-O1O2O3的高又为3-r,则=3-r,解得r=1。图15评注:解决本题的关键在于确定四个球心和四个切点的位置。关于外接球和内切球问题,解题的关键在于记住几个特征明显的模型,方便快速甄别,其他的模型均用一般方法解决。