安徽省滁州市定远县育才学校2023届高三下学期第二次模拟数学Word版含解析

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2023年高三第二次模拟试卷数学试题第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合Ⲹ׻ɾⲸln㌳䁩，Ⲹ׻ɾ䁨䁩，则Ⲹ()A.׻ɾ䁩B.׻ɾ൏䁩C.׻ɾ䁩D.׻ɾ䁩2.若复数满足൅㌳Ⲹ൅，则的虚部为()A.൅B.C.൅D.൏3.已知log൏Ⲹ，Ⲹ，Ⲹ，则()൏A.B.C.D.4.数形结合是非常重要的数学思想，以函数为例，数是解析式，形是图象．现有函数㌳Ⲹ㌳，则它的图象大致是()A.B.C.D.5.在三角形中三边上高的交点叫垂心，三条角平线的交点叫内心，三条中线的交点叫重心，三边的垂直平分线的交点叫外心已知点是䁨所在平面内一点，且满足䁨Ⲹ䁨，则动点的轨迹必通过䁨的()A.垂心B.内心C.重心D.外心6.在、、䁨三个地区爆发了流感，这三个地区、、䁨分别有、、的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为ǣǣ，现从这三个地区中任意选取一个人则下列叙述正确的是()A.这个人患流感的概率为䁨B.此人选自地区且患流感的概率为䁨䁨൏

1൏䁨C.如果此人患流感，此人选自地区的概率为D.如果从这三个地区共任意选取䁨䁨人，则平均患流感的人数为人7.设，动直线：Ⲹ䁨过定点，动直线：൏Ⲹ䁨过定点，若直线与相交于点异于点，㌳，则周长的最大值为()A.B.C.D.8.设正项数列׻䁩的前项和满足Ⲹ，记〲表示不超过的最大整数，Ⲹ䁨䁨〲若数列׻䁩的前项和为，则使得䁨൏成立的的最小值为()A.B.䁨C.䁨D.䁨൏二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知正三棱锥䁨的底面边长为，侧棱长为൏，则下列说法中正确的有()A.侧棱与底面䁨所成的角为൏B.侧面与底面䁨所成角的正切值为൏C.正三棱锥䁨外接球的表面积为൏D.正三棱锥䁨内切球的半径为10.已知圆ǣ൏㌳㌳Ⲹ，直线ǣ൏Ⲹ䁨，直线与圆交于ᦙ䁨两点，则下列说法正确的是()A.直线恒过定点ᦙ൏㌳B.ɾACɾ的最小值为C.MA⋅MC的取值范围为ᦙ〲D.当∠䁨最小时，其余弦值为11.已知函数Ⲹsincoscossin，下列关于该函数结论正确的是()A.的图象关于直线Ⲹ对称B.的一个周期是C.的最大值为D.是区间䁨ᦙ上的减函数12.定义：若对于定义域内任意，总存在正的常数，使得㌳㌳恒成立，则称函数㌳为“距”增函数，以下判断正确的有()A.函数㌳Ⲹ∈㌳是“距”增函数B.函数㌳Ⲹ൏∈㌳是“距”增函数C.若函数㌳Ⲹɾɾ∈ᦙ∞㌳㌳是“൏距”增函数，则的取值范围是൏ᦙ∞㌳D.若函数㌳Ⲹ൏∈㌳是“距”增函数，则的取值范围是䁨ᦙ㌳第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20分）

213.已知൏㌳㌳Ⲹ䁨൏൏，则实数的值为．14.定义：记满足下列两个条件的有穷数列，，，Ⲹᦙ൏ᦙᦙ㌳为阶“期待数列”．൏Ⲹ䁨䁖ɾɾɾɾɾ൏ɾɾɾⲸ试写出一个阶“期待数列”；若等比数列是阶“期待数列”，则数列的公比是．15.已知双曲线䁨：Ⲹ䁨ᦙ䁨㌳，直线经过䁨的左焦点，与䁨交于，两点，且，其中为坐标原点．则䁨离心率的取值范围是．16.若直线Ⲹ是曲线Ⲹln的切线，也是曲线Ⲹln㌳的切线，则Ⲹ．四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题䁨分㌳已知数列，满足Ⲹ൏ᦙⲸᦙⲸᦙⲸ．㌳求数列，的通项公式；㌳分别求数列，的前项和，．18.本小题分㌳䁨的内角，，䁨的对边分别为ᦙᦙᦙ其中Ⲹ൏，且൏sinsinⲸsin䁨．㌳求角的大小；㌳求䁨的面积的最大值．19.本小题分㌳如图，已知斜三棱柱ABC䁨，∠BCAⲸ䁨°，ACⲸBCⲸ，在底面ABC上的射影恰为AC的中点，且⊥䁨．㌳求证：平面AC䁨⊥平面BC；㌳求平面与平面BC所成角的大小的余弦值20.本小题分㌳抗癌药在消灭癌细胞的同时也会使白细胞的数量减少一般地，病人体内白细胞浓度低于䁨䁨䁨个൏时需要使用升血药物进行“升血”治疗，以刺激骨髓造血，增加血液中白细胞数量为了解病人的最终用药剂量数剂量Ⲹ㌳和首次用药时的白细胞浓度单位：百个൏㌳的关系，某校研究性学

3习小组从医院甲随机抽取了首次用药时白细胞浓度均分布在䁨䁨䁨䁨个൏的个病例，其首次用药时的白细胞浓度为൅单位：百个൏㌳，最终用药剂量数为൅൅Ⲹᦙᦙᦙ㌳，得到数据൅ᦙ൅㌳൅Ⲹᦙᦙᦙ㌳，数据散点图如图所示他们观察发现，这些点大致分布在一条形折线由线段和组成㌳附近，其中൅Ⲹ൅㌳൅㌳所在直线是由Ⅰ、Ⅱ区的点得到的回归直线，方程为Ⲹ，其中Ⲹ，Ⲹ൅Ⲹ൅㌳䁖所在直线是由Ⅱ、Ⅲ区的点得到的回归直线，方程为Ⲹ䁨䁨以下是他们在统计中得到的部分数据：Ⅰ区：Ⲹ，Ⲹ䁨，Ⲹ䁨，Ⲹ䁨䁖൅Ⲹ൅൅൅Ⲹ൅൅Ⲹ൅൅Ⲹ൅Ⅱ区：൏䁨Ⲹ൏，൏䁨Ⲹ൏，൏䁨Ⲹ，൏䁨Ⲹ．൅Ⲹ൅൅൅Ⲹ൅൅Ⲹ൅൅Ⲹ൅㌳根据上述数据求，的值䁖结果保留两位小数㌳㌳根据形折线估计，首次用药时白细胞浓度单位：个൏㌳为多少时最终用药剂量最少结果保留整数㌳൏㌳事实上，使用该升血药的大量数据表明，当白细胞浓度在䁨䁨䁨䁨个൏时，首次用药时白细胞浓度越高，最终用药剂量越少请从统计学的角度分析㌳的结论与实际情况产生差异的原因至少写出两点㌳䁨൏䁨൏൏䁨൏൏䁨参考数据：䁨䁨䁨，䁨൏䁨，䁨൏䁨൏䁨䁨䁨Ⲹ൏，൏，．21.本小题分㌳已知抛物线䁨ǣⲸ䁕䁕䁨的焦点为，抛物线䁨上的点的横坐标为，且Ⲹ．㌳求抛物线䁨的方程；㌳过焦点作两条相互垂直的直线斜率均存在㌳，分别与抛物线䁨交于､和､四点，求四边形面积的最小值．

422.本小题分㌳函数Ⲹln．㌳若存在单调递减区间，求实数的取值范围；㌳若Ⲹ有两个不同极值点，，求证：൏ln．

5答案和解析1.【解析】ⲸⲸlnⲸᦙⲸ൏，Ⲹ൏．故选．൅㌳2.【解析】由൅㌳Ⲹɾ൅ɾⲸ，得ⲸⲸⲸ൅，的虚部为故选．൅൅㌳൅㌳3.【解析】依题意，Ⲹ൏൏䁨Ⲹ，Ⲹ൏䁨ᦙ，Ⲹlog䁨，故．൏4.【解析】根据题意，㌳Ⲹ㌳，在区间ᦙ䁨㌳上，䁨，䁨，则有㌳䁨，函数图像在轴上方，排除䁨；同理：在区间䁨ᦙ㌳上，有㌳䁨，函数图像在轴下方，在区间ᦙ㌳上，有㌳䁨，函数图像在轴上方，排除；൏㌳因为൏㌳Ⲹ൏ᦙ㌳Ⲹᦙ㌳Ⲹ，即൏㌳㌳，所以㌳在䁨时不是单调递减的，排除．故选D．5.【解析】如图所示：设线段䁨的中点为，则䁨Ⲹ．䁨Ⲹ䁨，䁨㌳䁨㌳Ⲹ䁨，䁨䁨㌳Ⲹ䁨，即䁨㌳Ⲹ䁨䁨Ⲹ䁨，䁨且平分䁨．因此动点的轨迹必通过䁨的外心．故选D．6.䁨【解析】记事件ǣ选取的这个人患了流感，记事件ǣ此人来自地区，记事件ǣ此人来自地区，记事件ǣ此人来自䁨地区，

6则Ⲹ，且、、彼此互斥，由题意可得㌳ⲸⲸ䁨，㌳ⲸⲸ䁨൏，㌳ⲸⲸ䁨，䁨䁨䁨ɾ㌳Ⲹ䁨䁨，ɾ㌳Ⲹ䁨䁨，ɾ㌳Ⲹ䁨䁨，A.由全概率公式可得㌳Ⲹ㌳ɾ㌳㌳ɾ㌳㌳ɾ㌳Ⲹ䁨䁨䁨䁨൏䁨䁨䁨䁨䁨Ⲹ䁨䁨䁖A错误䁖B.㌳ⲸⲸ䁨，ɾ㌳Ⲹ䁨䁨，选自地区且患流感的概率为䁨䁨䁨䁖B错误䁖䁨㌳㌳ɾ㌳䁨䁨䁨൏䁨C.由条件概率公式可得ɾ㌳ⲸⲸⲸⲸ；C正确．㌳㌳䁨䁨D.从这三个地区中任意选取一个人患流感的概率为䁨䁨，任意选取䁨䁨个人，患流感的人数设为，则∽䁨䁨ᦙ䁨䁨㌳，即㌳Ⲹ䁨䁨䁨䁨Ⲹ䁖D错误．7.【解析】直线：Ⲹ䁨过定点ᦙ䁨㌳，直线：൏Ⲹ䁨即㌳Ⲹ൏，可得过定点ᦙ൏㌳，由于㌳Ⲹ䁨，得与始终垂直，又是两条直线的交点，，ɾɾɾɾⲸɾɾⲸ．由，可得㌳㌳，那么ɾɾɾɾ㌳ɾɾɾɾ㌳，即有ɾɾɾɾⲸ，当且仅当ɾɾⲸɾɾⲸ时，上式取得等号，周长的最大值为．故选：．8.【解析】当Ⲹ时，Ⲹ，解得Ⲹ；当时，ⲸⲸ，即ⲸⲸ㌳，又Ⲹ，䁨，，Ⲹ，即Ⲹ㌳，又Ⲹ，故数列׻䁩是以为首项，为公差的等差数列，故Ⲹ，即Ⲹ，

7当时，ⲸⲸ㌳Ⲹ，当Ⲹ时，Ⲹ也成立，故Ⲹ，而Ⲹ〲，䁨䁨当䁨时，䁨䁨䁨䁨，，䁨䁨䁨䁨䁨䁨Ⲹ〲Ⲹ䁨Ⲹ，䁨䁨最大值为䁨Ⲹ䁨Ⲹ䁨，当䁨䁨䁨时，䁨䁨䁨䁨，，䁨䁨䁨䁨䁨䁨Ⲹ〲ⲸⲸ，䁨䁨最大值为䁨䁨Ⲹ䁨䁨Ⲹ，当䁨时，䁨൏䁨䁨൏䁨，，䁨䁨䁨䁨䁨䁨Ⲹ〲ⲸⲸ൏，䁨䁨Ⲹ䁨䁨൏䁨䁨㌳䁨൏，൏൏解得Ⲹ，൏൏故使得䁨൏成立的的最小值为䁨．故本题选B．9.䁨【解析】如图所示，为底面ABC的中心，为AB中点，连接DH，AH，SH，SD，则SH⊥面ABC，设为正三棱锥ABC外接球的球心，为正三棱锥ABC内切球的球心，则，在SH上，൏由题意可知ADⲸ൏，则AHⲸcos൏䁨°Ⲹ൏，DHⲸAHⲸ൏，SHⲸⲸ൏൏Ⲹ，SDⲸⲸ൏．

8因为SH⊥面ABC，所以∠SAH为侧棱SA与底面ABC所成的角，SHtan∠SAHⲸⲸⲸ൏，则∠SAHⲸ，故正确；AH൏൏因为SD⊥ABᦙHD⊥AB，所以∠SDH为侧面SAB与底面ABC所成角，SHtan∠SDHⲸⲸⲸ൏，故错误；HD൏设正三棱锥ABC外接球半径为，则在RtAOH中，Ⲹ൏，解得：Ⲹ，则外接球的表面积为πRⲸ，故䁨正确；设正三棱锥ABC内切球的半径为，因为ABCⲸABSACSCBSABC，൏൏ABC·SH൏所以ⲸⲸ൏Ⲹ，故正确．故选䁨．൏ABS൏ACS൏CBS൏ABC൏൏10.【解析】对于ǣ由ǣmx൏Ⲹ䁨∈㌳整理得㌳൏Ⲹ䁨，所以直线过定点ᦙ൏㌳，故正确；对于ǣ因为直线过定点ᦙ൏㌳，将定点代入圆ǣ൏㌳൏㌳Ⲹ，所以定点ᦙ൏㌳在圆的内部，当直线⊥PM，ɾACɾ取得最小值，而ɾPMɾⲸ൏㌳൏㌳Ⲹ，故ACⲸⲸ，故正确；对于ǣ直线过的定点ᦙ൏㌳，当MP⊥AC时，∠AMC最小，此时ɾACɾⲸ，所以在AMC中，由余弦定理计算可得cos∠AMCⲸ㌳，故错误；Ⲹ对于䁨ǣMA⋅MCⲸMAMCcos∠AMCⲸ×cos∠AMCⲸcos∠AMC，当，，䁨三点共线时，cos∠AMC最小值为，当MP⊥AC时，cos∠AMC最大值为，则MA⋅MC∈−ᦙ〲，故䁨错误．故选．11.【解析】由Ⲹsincoscossin，对于，ⲸsincoscossinⲸsincoscossin，故A不正确；对于，ⲸsincoscossinⲸsincoscossinⲸ，故B正确；对于䁨，cos，所以Ⲹsincos㌳的最大值为sin，

9当cosⲸ时，ⲸcossinⲸcos䁨Ⲹ，取得最大值，所以的最大值为sin，故C不正确；对于，根据符合函数单调性，当䁨ᦙ时，Ⲹcos在区间䁨ᦙ上是减函数，且cos䁨ᦙ䁨ᦙ，所以Ⲹsincos㌳在区间䁨ᦙ上是减函数；Ⲹsin在区间䁨ᦙ上是增函数，且sin䁨ᦙ䁨ᦙ，所以Ⲹcossin在区间䁨ᦙ上是减函数，则是区间䁨ᦙ上的减函数，故D正确；故选BD．12.䁨【解析】对于、因为㌳Ⲹ，䁨，所以㌳㌳Ⲹ㌳Ⲹ䁨，所以㌳㌳恒成立，故函数㌳Ⲹ∈㌳是“距”增函数，故正确；对于、对任意䁨，㌳㌳Ⲹ൏㌳൏㌳Ⲹ൏．因为㌳㌳䁨一定成立，故正确；对于䁨、因为㌳Ⲹɾɾ，∈ᦙ∞㌳是“൏距”增函数，所以时，൏㌳㌳恒成立，即时，൏㌳ɾ൏ɾɾɾ恒成立，所以൏㌳ɾ൏ɾɾɾ．当䁨时，൏㌳൏㌳kx，即൏䁨恒成立，所以൏䁨，得൏；当䁨时，൏㌳൏㌳kx，得kx൏䁨恒成立，所以൏㌳൏㌳䁨，得൏．综上所述，得൏故䁨正确．对于、㌳㌳Ⲹ㌳൏㌳൏㌳Ⲹ൏൏൏．因为㌳是“距”增函数，所以൏൏൏䁨恒成立，因为䁨，所以൏൏xa䁨在∈恒成立，所以Ⲹ㌳䁨，所以，因为䁨，所以，故错误；故选䁨．

1013.䁨【解析】㌳的展开式的通项Ⲹ䁨·Ⲹ䁨，Ⲹ䁨ᦙᦙᦙ൏ᦙ．当൏选取时，应取㌳展开式中含的项，令Ⲹ，则Ⲹ൏，Ⲹ൏䁨൏Ⲹ൏，此时的系数为൏；当൏选取൏时，应取㌳展开式中含的项，令Ⲹ，则Ⲹ，Ⲹ䁨Ⲹ，൏此时的系数为൏Ⲹ；所以Ⲹ൏Ⲹ䁨．故答案为䁨．14.ᦙᦙᦙa㌳【解析】等比数列是阶“期待数列”，由可知Ⲹ䁨ᦙqⲸ写出一个满足条件的数列即可，ᦙᦙᦙ，答案不唯一15.ᦙ൏㌳൏ᦙ㌳【解析】设ᦙ㌳，ᦙ㌳，：Ⲹ−，与䁨的方程联立，消得−㌳−Ⲹ䁨，由题可知−䁨，则，且判别式Ⲹ㌳䁨，则ⲸᦙⲸ．因为，所以Ⲹ䁨，即−㌳−㌳Ⲹ䁨，整理得：㌳−㌳Ⲹ䁨，㌳即−Ⲹ䁨，即㌳−−㌳Ⲹ䁨，化简得：−㌳−Ⲹ䁨，当−㌳−㌳䁨时，解得：Ⲹ，由于，所以，即，即−㌳㌳䁨，所以，所以Ⲹ൏，另一方面，−㌳−㌳䁨，

11即−䁨，所以−，即−−䁨，解得：，且㌳Ⲹ，所以൏，故离心率的取值范围是ᦙ൏㌳൏ᦙ㌳．16.ln【解析】设直线Ⲹ与曲线Ⲹln的切点为ᦙ㌳，与曲线Ⲹln㌳的切点为ᦙ㌳，ⲸlnⲸⲸ则，所以Ⲹln㌳Ⲹ−ⲸⲸlnⲸ所以，所以，所以Ⲹln．ⲸlnⲸlnⲸ㌳17.解：㌳依题意有ᦙⲸ又ⲸᦙⲸ．可得数列为公比为的等比数列，为公差为的等差数列，Ⲹ㌳由ᦙⲸ㌳㌳ⲸⲸ得，解得．ⲸⲸ故数列，׻䁩的通项公式分别为ⲸᦙⲸ．㌳㌳൏㌳ⲸⲸ，㌳㌳൏ⲸⲸ．18.解：㌳䁨的内角，，䁨的对边分别为ᦙᦙᦙⲸ൏，且൏㌳൅൅㌳Ⲹ㌳൅䁨．所以㌳൅൅㌳Ⲹ㌳൅䁨，利用正弦定理得：Ⲹ，即：݋ⲸⲸ，

12由于：䁨，解得：Ⲹ．൏㌳由于Ⲹ൏ᦙⲸ，൏且Ⲹ݋，整理得：ⲸⲸ，当且仅当ⲸⲸ൏的时候等号取得，൏所以：䁨ⲸsinⲸ൏൏．故䁨的面积的最大值为൏൏．19.㌳证明：因为⊥平面ABC，在平面AC䁨内，所以平面AC䁨⊥平面ABC，又因为BC⊥AC，平面AC䁨∩平面ABCⲸAC，所以BC⊥平面AC䁨，因为AC在平面AC䁨内，所以BC⊥䁨．又⊥䁨，∩BCⲸ，䁨、在平面BC内，所以䁨⊥平面BC，又因为AC在平面AC䁨内，所以平面䁨䁨平面BC；㌳取AB的中点，则DEBC．由㌳可知，DE，DC，两两垂直，因为䁨⊥平面BC，所以䁨⊥䁨平面AC䁨是菱形，在底面ABC上的射影恰为AC的中点，所以Ⲹ൏以DE，DC，为，，轴建立空间坐标系xyz，则䁨ᦙ−ᦙ䁨㌳，䁨䁨ᦙᦙ䁨㌳，ᦙᦙ䁨㌳，䁨ᦙ䁨ᦙ൏㌳，䁨䁨ᦙᦙ൏㌳，所以䁨Ⲹ䁨ᦙ൏ᦙ൏㌳，䁨⊥平面BC所以平面BC法向量䁨Ⲹ䁨ᦙ൏ᦙ൏

13设平面AB的法向量为Ⲹᦙᦙ㌳，Ⲹ䁨ᦙᦙ൏㌳，ABⲸᦙᦙ䁨㌳，⋅Ⲹ൏Ⲹ䁨ᦙ则⋅ABⲸⲸ䁨ᦙ令Ⲹ，则Ⲹ൏ᦙ−൏ᦙ㌳．ɾ䁨ɾ平面与平面䁨所成角的大小的余弦值݋ⲸⲸ．ɾ䁨ɾɾɾ20.൏䁨Ⲹ൏䁨Ⲹ൏，൏䁨Ⲹ൏䁨Ⲹ䁨，解：㌳因为൅Ⲹ൅൅൅Ⲹ൅൅൅Ⲹ൅൅൅Ⲹ൅൅Ⲹ൅൅Ⲹ൅൏䁨൏䁨Ⲹ൏䁨൅Ⲹ൅൅Ⲹ൅㌳Ⲹ，Ⲹ൏䁨൅Ⲹ൅൅Ⲹ൅㌳Ⲹ，൏൏䁨所以Ⲹ，䁨൏䁨所以ⲸⲸ，Ⲹ，Ⲹ．㌳由㌳知Ⲹ，Ⲹ，所以的方程为Ⲹ．Ⲹᦙ联立Ⲹ䁨䁨ᦙ解得，所以首次用药时的白细胞浓度为个൏时，最终用药剂量最少．൏㌳本题结论开放，只要考生能从统计学的角度作出合理的分析即可如：一次取样未必能客观反映总体䁖样本容量过小也可能影响估计的准确性䁖忽略异常点的影响也可能导致估计失真：模型选择不恰当，模型的拟合效果不好，也将导致估计失真：样本不具代表性，也会对估计产生影响等等．䁕21.解：㌳由题意知Ⲹ，解得䁕Ⲹ，故抛物线䁨的方程为：Ⲹ．㌳由㌳知：ᦙ䁨，设直线的方程为：Ⲹ䁨，ᦙ、ᦙ，则直线的方程为：Ⲹ，Ⲹᦙ联立得Ⲹ䁨，Ⲹᦙ则Ⲹ䁨，Ⲹ，Ⲹ，ⲸⲸⲸ，同理可得Ⲹ，四边形的面积ⲸɾɾɾɾⲸ㌳㌳Ⲹ㌳，

14当且仅当Ⲹ，即Ⲹ时等号成立，四边形面积的最小值为．22.解：㌳函数㌳的定义域是䁨ᦙ㌳，쳌㌳Ⲹ，因为存在单调递减区间，所以쳌Ⲹ䁨有解，即，min因为䁨，所以Ⲹ，当且仅当Ⲹ时，等号成立，因此，即．故的取值范围是ᦙ㌳；㌳证明：根据题意，令쳌ⲸⲸ䁨，即Ⲹ䁨，因为Ⲹ有两个不同极值点，，Ⲹ䁨所以׻Ⲹ䁨，解得．Ⲹ䁨又ⲸᦙⲸ，故㌳㌳ⲸⲸln㌳㌳㌳ⲸⲸ，，，故൏，故൏ln．

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