教学资料-课标--初读新课标

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说明：本文非原创，组合了网上儿位朋友的文章，供群内学习参考。新修订课标主要呈现以下九大变化:6条”改“5条”:现在的“两句话”:人人都能获得良好的数学教育不同的人在数学上得到不同的发展1.基本理念“三句”变“两句”,原来的“三句话”：人人学有价值的数学人人都能获得必需的数学不同的人在数学上得到不同的发展（修订后与过去的提法相比：有更深的意义和更广的内涵，落脚点是数学教育而不是数学内容，有更强的时代精神和要求（公平的、优质的、均衡的、和谐的教育。）“6条”改“5条”：原课标：修改后：数学课程——数学——数学学习——数学课程——课程内容——教学数学教学——评价——信息技术活动——学习评价——信息技术在结构上由原来的6条改为5条，将原《标准》第2条关于对数学的认识整合到理念之前的文字之中，新增了对课程内容的认识，此外，将“数学教学”与“数学学习”合并为数学“教学活动”。2.理念中新增加的提法：要处理好四个关系有效的教学活动是什么数学课程基本理念（两句话）数学教学活动的本质要求培养良好的数学学习习惯注重启发式正确看待教师的主导作用处理好评价中的关系注意信息技术与课程内容的整合

11.关于数学观的修改:原课标：•数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。・数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。・数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。课标修改稿：•数学是研究数量关系和空间形式的科学。•数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具•数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。•要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用树立正确的数学教学观：教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。数学教学中最需要考虑的是什么？数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。2.“双基”变“四基”。“双基”：基础知识、基本技能；“四基”：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验“四基”与数学素养：•掌握数学基础知识•训练数学基本技能•领悟数学基本思想•积累数学基本活动经验《国家数学课程标准》制定组组长、东北师大校长史宁中教授提出了“数学教学的四基”，引起了数学教育界的广泛关注。以前强调的双基是指基础知识、基本技能，双基教学重视基础知识、基木技能的传授，讲究精讲多练，主张'练中学'，相信'熟能生巧'，追求基础知识的记忆和掌握、基本技能的操演和熟练，以使学生获得扎实的基础知识、熟练的基本技能和较高的学科能力为其主要

2的教学目标。现在提出的四基不但包括了基础知识、基本技能、还增加了基本思想、基本活动经验。史宁中教授指出：基本思想'主要是指演绎和归纳，这应当是整个数学教学的主线，是最上位的思想。”数学思想方法的四大育人功能：一是有利于完善学生的数学认知结构；二是可以提升学生的认知水平；三是可以发展学生的思维能力；四是有利于培养学生解决问题的能力。1~9年级涉及到的数学思想方法,比如分类、转化、归纳、数形结合、数学建模、猜想、符号化、方程与函数、极限等数学思想方法。“双基”变“四基”，为数学教师提出了更高的耍求，要求数学教师必须为儿童的学习和个人发展提供了最基本的数学基础、数学准备和发展方向，促进儿童的健康成长，使人人获得良好的数学素养，不同的人在数学得到不同的发展。“双基”变“四基”，任重而道远。常用的小学数学思想方法：对应思想方法、假设思想方法、比较思想方法、符号化思想方法、类比思想方法、转化思想方法、分类思想方法、集合思想方法、数形结合思想方法、统计思想方法、极限思想方法、代换思想方法、可逆思想方法、化归思维方法、变中抓不变的思想方法、数学模型思想方法、整体思想方法等等。5.关于设计思路的修改：•学段划分保持不变；•对课程目标动词及水平要求的设计基本保持不变，增加了目标动词的同义词；•对四个学习领域的名称作适当调整；•对学习内容中的若干关键词作适当调整对其意义作更明确的阐释。6.四个领域名称的变化：原课标：修改后：数与代数、空间与图形、统计与概率、数与代数、图形与儿何、统计与概率、实践与综合应用综合与实践7.主要的关键词的变化：原课标：数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力修改后：数感、符号意识、运算能力、模型思想、空间观念、几何直观、推理能力、数据分析观念，应用意识、创新意识。符号感为何改为符号意识？符号感(SymbolSense)原课标：“符号感”主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。”

3修改稿：“符号意识”主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行•般性的运算和推理。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。”符号感与数感都用“感”，“感”的表述过多。符号感主要的不是潜意识、直觉。符号感最重要的内涵是运用符号进行数学思考和表达，进行数学活动。“意识”有两个意思：第一，用符号可以进行运算，可以进行推理；第二，用符号进行的运算和推理得到的结果具有一般性。所以这是一个“意识”问题，而不是“感”的问题。数学的本质是概念和符号，并通过概念和符号进行运算和推理。所以只能用“意识”。6.关于课程目标的修改：在总体目标中突出了“培养学生创新精神和实践能力”的改革方向和目标价值取向。课程目标提法上的一些变化：——明确了使学生获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（数学“四基）。一提出了培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题能力。一目标具体从“知识技能”“数学思考”“问题解决"''情感态度"四个方面阐述。—学段目标的表述方式有所改变7.关于内容标准的修改结构上的变化：数与代数的变化：（在内容结构上没有变化。）第一学段：①增加'‘能进行简单的整数四则混合运算（两步）”②使•些目标的表述更加准确。例如将“能灵活运用不同的方法解决生活中的简单问题，并能对结果的合理性进行判断”，修改为“能运用数及数的运算解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释”。第二学段：①增加的内容：•增加“经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法”。•增加“了解公倍数和最小公倍数；「解公因数和最大公因数”。

4•增加“在具体情境中，了解常见的数量关系：总价=单价?数量、路程=速度？时间，并能解决简单的实际问题”。•增加“结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示"。②调整的内容：•将“理解等式的性质”，改为“了解等式的性质”•将“会用等式的性质解简单的方程(如3x2=5,2x-x=3)”，改为“能解简单的方程(如3x2=5,2x-x=3)"o③使一些目标的表述更加准确和完整。例如将“会用方程表示简单情境中的等量关系”，改为“能用方程表示简单情境中的等量关系，了解方程的作用”。图形与儿何的变化：第•学段①删除的内容•删除“能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形”,并将相关要求放在第二学段。•删除“能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形”，并将相关要求放在第二学段。•删除“会看简单的路线图”，相关要求放入第二学段。•删除“体会并认识千米、公顷”，相关要求放入第二学段。②降低要求对于“东北、西北、东南、西南”四个方向，不要求给定一个方向辨认其余方向，降低要求为知道这些方向。③使一些目标的表述更加准确和完整。例如将“辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状”改为“能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体的形状”。第二学段：

5①删掉“了解两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点”。②增加“知道扇形”。③使一些目标的表述更加准确和完整。例如将“探索并掌握圆的周长公式”改为“通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式”。统计内容主要变化如下：•第一学段与《标准》相比，最大的变化是鼓励学生运用自己的方式（包括文字、图画、表格等）呈现整理数据的结果，不要求学生学习“正规”的统计图（-格代表一个单位的条形统计图）以及平均数（这些内容放在了第二学段）。•第二学段与《标准》相比，在统计量方面，只要求学生体会平均数的意义，不要求学生学习中位数、众数（这些内容放在了第三学段）。•加强体会数据的随机性。在以前的学习中，学生主要是依靠概率来体会随机思想的，《标准（修改稿）》希望通过数据分析使学生体会随机思想。概率内容主要变化如下：•第一学段、第二学段的要求降低。在第一学段，去掉了《标准》对此内容的要求。第二学段，只要求学生体会随机现象，并能对随机现象发生的可能性大小做定性描述。•明确指出所涉及的随机现象都基于简单随机事件：所有可能发生的结果是有限的、每个结果发生的可能性是相同的。第一学段：①鼓励学生运用自己的方式（包括文字、图画、表格等）呈现整理数据的结果，删除“象形统计图、一格代表一个单位的条形统计图”、“平均数”的内容，相关要求放在了第二学段。②删除“知道可以从报刊、杂志、电视等媒体中获取数据信息”。③删除“不确定现象”部分，相关要求放在了第二学段。第二学段：①删除“中位数”、“众数”的内容，相关要求放在了第三学段。②删除“体会数据可能产生的误导”。③降低了“可能性”部分的要求，只要求学生体会随机现象，并能对随机现象发生的可能性大小做定性描述，定量描述放入第三学段。加强体会数据的随机性•这是修改后的•个重要变化。原来，学生主要是依靠概率来体会随机思想的，现在希望学生通过数据来体会随机思想。•这种变化从“数据分析观念”核心词的表述也可以看综合与实践的变化：•统•了三个学段的名称，进一步明确了其II地和内涵。・“综合与实践”是一类以问题为载体，学生主动参与的学习活动，是帮助学生枳累数学活动经验、培养学生应用意识与创新意识的重要途径。45中高级教师

6数学教研组组长辽宁省骨干教师梁君新课标数学方面，梁君老师指出了其中发生的九大方面变化，分别是基本理念“三句”变"两句“；理念中新增加的提法；关于数学观的修改“双基”变“四基”：关于设计思路的修改；四个领域名称的变化；主耍的关键词的变化；关于课程目标的修改；关于内容标准的修改。基本理念：表述更精准与原课标相比，新课标表述更为精准：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。修订后与过去的提法相比，它有更深的意义和更广的内涵，落脚点是数学教育而不是数学内容，有更强的时代精神和要求。同时新课标要求，要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用，树立正确的数学教学观：教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。数学教学中最需要考虑的是什么？数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。内容标准：有增加有调整在内容标准变化部分，梁君老师分别从''增加部分”和“调整部分”分别进行解读。第一学段：①增加“能进行简单的整数四则混合运算（两步）②使一些目标的表述更加准确。例如将“能灵活运用不同的方法解决生活中的简单问题，并能对结果的合理性进行判断”，修改为“能运用数及数的运算解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释”。第二学段:①增加的内容:・增加“经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法・增加“了解公倍数和最小公倍数；了解公因数和最大公因数”。・增加“在具体情境中，了解常见的数量关系：总价=单价X数量、路程=速度X时间，并能解决简单的实际问题・增加“结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示"。

7②调整的内容：・将“理解等式的性质”，改为“了解等式的性质・将”会用等式的性质解简单的方程(如3x+2=5,2x-x=3)”,改为“能解简单的方程(如3x+2=5,2x-x=3)”。③使一些目标的表述更加准确和完整。例如将“会用方程表示简单情境中的等量关系“，改为“能用方程表示简单情境中的等量关系，了解方程的作用”。图形与几何：增加“知道扇形”第一学段：①删除的内容・删除“能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形”，并将相关要求放在第二学段。・删除“能在方格纸上画出简单图形的轴时称图形“，并将相关要求放在第二学段。・删除“会看简单的路线图”，相关要求放入第二学段。・删除“体会并认识千米、公顷”，相关要求放入第二学段。②降低要求对于“东北、西北、东南、西南”四个方向，不要求给定一个方向辨认其余方向，降低要求为知道这些方向。③使一些目标的表述更加准确和完整。例如将“辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状”改为“能根据具体事物、照片或宜观图辨认从不同角度观察到的简单物体的形状第二学段：①删掉“了解两点确定•条直线和两条相交直线确定•个点②增加“知道扇形”。③使一些H标的表述更加准确和完整。例如将“探索并掌握圆的周长公式”改为“通过操作,了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式记者李春红整理总体目标通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：•获

8得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能；•初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识：•体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心：•具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和般能力方面都能得到充分发展。具体阐述知识与技能•经历将些实际问题抽象为数「J代数问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。•经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握空间与图膨的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题.•经历提出问题、收集和处理数据、作出决通过义务教育阶段的数学学习，学生能：1.获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。2.体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。3.了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和实事求是的科学态度。策和预测的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。・经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能。・经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能。・经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统数学思考•经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。•卜富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。•经历运用数据描述信息、作出推断的过程,发展统计观念。•经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。计与概率的基础知识和基本技能。•参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法等解决简单问题的数学活动经验。•建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。・体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象。

9•在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。•学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。解决问题•初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。•形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。•学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。问题解决•初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。•获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。•学会与他人合作交流。•初步形成评价与反思的意识。•初步形成评价。反思的意识•

10情感与态度•能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲。•在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建M自信心。•初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。•形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。•积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。・在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心。•体会数学的特点，了解数学的价值。・养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯，形成实事求是的科学态度。学段目标：（7〜9年级）知识与技能•经历从具体情境中抽象出符号的过程，认识仃理数、实数、代数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运尊（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能运用代数式、方程、不等式、函数等进行描述.•经历探索物体与图形的基本性质、变换、位置关系的过程，掌握三角形、四边形、圆的基本性质以及平移、旋转、轴对称、相似等的基本性质，初步认识投影与视图，掌握法本的识图、作图等技能：体会证明的必要性，能证明三角形和四边形的基本性质，掌握基本的推理技能。・从事收集、描述、分析数据，作出判断并进行交流的活动，感受抽样的必要性，体会用样本估计总体的思想，掌握必要的数据处理技能；进-步丰富对概率的认识，知道频率与概率的关系，会计算一些事件发生的概率1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法。2.探索并掌握相交线、平行线、三角形、四边形和圆的基本性质与判定，掌握基本的证明方法和基本的作图技能；探索并理解平面图形的平移、旋转、轴对称；认识投影与视图；探索并理解平面直角坐标系，能确定位置。数学思考•能对具体情境中较大的数字信息作出合理的解释和推断，能用代数式、方程、不等式、函数刻画事物间的相互关系。

11•在探索图形的件质、图形的变换以及平面图形与空间几何体的相互转换等活动过程中，初步建立空间观念，发展儿何百觉。•能收集、选择、处理数学信息，并作出合理的推断或大胆的猜测。•能用实例对一些数学猜想作出检验，从而增加猜想的可信堤靡橘嵯勘程度或推翻猜想。•体会证明的必要性，发展初步的演绎推理能力。问题解决•能结合具体情境发现并提出数学问题。3.体验数据收集、处理、分析和推断过程，理解抽样方法，体验用样本估计总体的过程；进•步认识随机现象，能计算-一些简单事件的概率。1.通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识；在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念；经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。2.了解利用数据可以进行统计推断，发展建立数据分析观念：感受随机现象的特点。3.体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。4.能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。・尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，々试评价不同方法之间的差异。•体会在解决问题的过程中与他人合作的市要性。

12・能用文字、字母或图表等清楚地发达解决问题的过程，并解释结果的合理性，•通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。1.初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。2.经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的情感与态度•乐于接触社会环境中的数学信息，愿意谈论某些数学话题，能够在数学活动中发挥积极作用。•敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心。•体验数、符号和图形是仃效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的丽耍工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。•认识通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性.•在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解：能从交流中获益。多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。3.在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。4.能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识。1.积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。2.感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。3.在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。4.敢于发表自己的想法、勇于质疑，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成实事求是的科学态度。第三部分：内容标准（7〜9年级）数与代数在本学段中，学生将学习实数、整式和分式、方程

13和方程组、不等式和不等式组、函数等知识，探索数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律，初步掌握一些有效地表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具，发展符号感，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数知识与方法解决问题的能力。在教学中，应注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重使学生经历从实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程，应加强方程、不等式、函数等内容的联系，介绍有关代数内容的几何背景；应避免繁琐的运算。（•）具体目标1.数与式（1）有理数①理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）.③理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）。④理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。⑤能运用有理数的运算解决简单的问题。⑥能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断。[参见例1]（2）实数①了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。②了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。③了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。④能用有理数估计•个无理数的大致范围。[参见例2]⑤了解近似数与有效数字的概念；在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值。1.有理数（I）理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小.（2）借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道IaI的含义（这里a表示有理数）。（3）理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）。（4）理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。（5）能运用有理数的运算解决简雅的问题（参见例47）.2.实数（1）了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根•（2）了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求白以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根。（3）了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点•对应，能求实数的相反数与绝时值。（4）能用有理数估计一个无理数的大致范F司（参见例48）。（5）了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。（6）了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）力口、减、乘、除运党法则，会用它们进行有关的简单四则运算（参见例49）。3.代数式（I）借助现实情境了解代数式，进一步理解用

14⑥了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）。（3）代数式①在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义。②能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示。[参见例3与例4]③能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义。[参见例5]④会求代数式的值；能根据特定的问题杳阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。（4）整式与分式①了解整数指数靠的意义和基本性质，会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）.②了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）。③会推导乘法公式：（a+b）（a-b）=a2-b2；（a+b）2=a2+2ab+b2,了解公式的几何背景，并能进行简单计算。④会用提公因式法、公式法（宜接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）.⑤了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算。[参见例6]字母表示数的意义（参见例5（））。（2）能分析简单问题中的数量关系,并用代数式表示.（3）会求代数式的值；能根据特定的问题告阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。2.整式与分式（I）了解整数指数幕的意义和基本性质；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）.（2）理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算：能进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指•次式之间以及一次式与二次式相乘）.（3）能推导乘法公式：（a+b）（加=a?-人（a±b）2=a2±2ab+b2,了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算（参见例51）.（4）能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。（5）了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算。（-）方程与不等式1.方程与方程组（I）能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数昂:关系的有效模型（参见例52）。（2）经历估计方程解的过程（参见例53）。（3）掌握等式的基本性质。（4）能解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程。（5）掌握代入消元法和加减消元法,能解二元一次方程组.（6）德能解简单的三元一次方程组。（7）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。（8）会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。凡是打星号的内容是选学内容，不作考试要求。

151.方程与不等式（1）方程与方程组①能够根据具体问题中的数量关系，列出方程,体会方程是刻画现实世界的•个有效的数学模型。②经历用观察、的图或计算器等手段估计方程解的过程,[参见例7]③会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为•元次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）。④理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。⑤能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。99）了解一元：次方程的根与系数的关系（不要求应用这个关系解决其他问题）。（I0）能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。10不等式与不等式组（1）结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质（参见例54）.（2）能解数字系数的元•次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。（3）能根据具体问题中的数后关系，列出一元•次不等式，解决简单的问题。（三）函数1.函数（I）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义.（2）结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例。（3）能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析（参见例55）。（4）能确定简单实际问题中函数门变植的取值范围，并会求出函数值。（5）能用适当的函数表示法刻词简单实际问题中变量之间的关系（参见例56）。（6）结合时函数关系的分析，能对变楠的变化情况进行初步讨论（参见例57）。2.一次函数（I）结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式（参见例58）.（2）会利用特定系数法确定一次函数的表达式。（3）能画出一次函数的图像，根据一次函数的图像和表达式y=h+b（AHO）探索并理解A>0和*<0时，图像的变化情况。（4）理解正比例函数。（5）体会•次函数与二元一次方程的关系。（6）能用一次函数解决简单实际问题。3.反比例函数（1）结合具体情境体会反比例函数的意义，能

16根据已知条件确定反比例函数的表达式。(2)不等式与不等式组①能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。②会解简单的•元•次不等式，并能在数轴上表示出解集。会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。③能够根据具体问题中的数量关系，列出一元•次不等式和•元•次不等式组，解决简单的问题。3.函数(1)探索具体问题中的数量关系和变化规律[参见例8](2)函数①通过简单实例，了解常量、变量的意义。②能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例。③能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。[参见例9]④能确定简单的整式、分式和简刖实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求出函数值。⑤能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系。[参见例10]⑥结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测。[参见例11](2)能画出反比例函数的图像,根据图像和表k达式y=—("#()廨索并理解*>0和KV0时，X的变化情况。(3)能用反比例函数解决简单实际问题。4.二次函数(1)通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。(2)会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质。(3)会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。(4)会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似(5)*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。(3)一次函数①结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定•次函数表达式。②会画一次函数的图象，根据一次函数的图象和解析表达式丫=4+6(kwo)探索并理解其性质(k>0或k<0时，图象的变化情况=。③理解正比例函数。④能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。⑤能用一次函数解决实际问题.（4）反比例函数①结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式。②能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式丫=收（k*0）探索并理解其性质（k>0或k<0时，图象的变化）。③能用反比例函数解决某些实际问题。

17（5）二次函数①通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。②会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。③会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题。④会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。（二）案例例1一次水灾中，大约有20万人的生活受到影响，灾情将持续个月。请推断：大约需要组织多少顶帐篷？多少吨粮食？说明假如平均一个家庭有4口人，那么20万人需要5万顶帐篷；假如一个人平均一天需要05千克的粮食，那么一天需要10万千克的粮食..…例2估计（V5-1）/2与0.5哪个大例3在某地，人们发现某种蟋蟀叫的次数与温度之间有如下的近似关系：记录蟋蟀每分叫的次数，用这个次数除以7,然后再加上3,就得到当时的温度。温度CC）与蟋蟀每分叫的次数之间的关系是：温度=蟋蟀每分叫的次数+7+3。试用字母表示这一关系。

18例4观察卜列图形并填表:空间与儿何(新课标改为图形与几何)二、空间与图形在本学段中，学生将探索基本图形值线形、圆)的基本性质及其相互关系，进一步丰富对空间图形的认识和感受，学习平移、旋转、对称的基本性质，欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用，学习运用坐标系确定物体位置的方法，发展空间观念。推理与论证的学习从以下儿个方面展开：在探索图形性质、与他人合作交流等活动过程中，发展合情推理，进一步学习有条理地思考与表达；在积累了一定的活动经验与掌握了•定的图形性质的基础上，从几个基本的事实出发，证明一些有关三角形、四边形的基本性质，从而体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想。在教学中，应注重所学内容与现实生活的联系，注重使学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程；应注重对证明本身的理解，而不追求证明的数量和技巧。证明的要求控制在《标准》所规定的范围内。(―)具体目标1.图形的认识(1)点、线、面通过丰富的实例，进一步认识点、线、面(如交通图上用点表示城市，屏幕上的画面是由点组成的)。<2)角①通过丰富的实例，进一步认识角。②会比较角的大小，能估计•个角的大小，会计算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行简单换算。③了解角平分线及其性质【1】二、图形与几何(-)图形的性质1.点、线、面、角(1)通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的儿何体、平面、直线和点等(参见例59)。(2)会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义。(3)掌握基本事实：两点确定一条直线。(4)掌握基本事实：两点之间线段最短。(5)理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离.(6)理解角的概念，能比较角的大小。(7)认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算,并会计算角的和、差。2.相交线与平行线(1)理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶加相等、同角(等角)的余角相等,同角(等角)的补角相等的性质。(2)理解垂线、垂线段等概念,能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。(3)理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距考试中，只能用下文出现的基本事实和定理作为证明的依据。

19(3)相交线与平行线注【1】角平分线上的点到角的两边距离相等，角的内部到两边距离相等的点在角的平分线上.①了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。③知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。④了解线段垂直平分线及其性质【1】。⑤知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质.⑥知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条宜线的平行线。⑦体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。(4)三角形①了解三角形有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线)，会画出任意三角离。(4)掌握基本事实：过一点有且只有一条宜线与已知宜线垂直。(5)识别同位角、内错角、同旁内角。(6)理解平行线概念；掌握法本事实：两条代线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行.(7)掌握基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。(8)掌握平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。*了解平行线性质定理的证明(参看例60).(9)能用三角尺和直尺过已知直线外点画这条直线的平行线。(10)探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等(或同旁内角互补)，那么两直线平行：平行线的性质定理：两条平行直线被第：条直线所截，内错角相等(或同旁内角互补)。(11)了解平行于同一条直线的两条直线平行。3.三角形(1)理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。(2)探索并证明一:角形的内角和定理.掌握它的推论：三角形的外向等于与它不相邻的两个内角的和。证明三角形的任意两边之和大于第三边。(3)理解全等二角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角.(4)掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(参见例61)。(5)掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(参见例61)。(6)掌握基本小实：三边分别相等的两个三角形全等。(7)证明定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等。(8)探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等：反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线匕(9)理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段垂宜平分线I:的点到线段两端的距离相等：反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

20形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性。②探索并掌握三角形中位线的性质。③了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件。④了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质【2】和一个三角形是等腰三角形的条件［3］：了解等边三角形的概念并探索其性质。⑤了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质［4］和一个三角形是直角三角形的条件［5］⑥体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。(5)四边形①探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念。②掌握平行四边形、矩形、菱形、1E方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。注【1】线段垂直平分线I:的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。［2］等腰二角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线三线合一。［3］有两个角相等的三角形是等腰三角形。［4］直角三角形的两锐角互余，斜边上的中线等了斜边一半。［5］有两个角互余的三角形是直角三角形。③探索并掌握平行四边形的有关性质［1］和四边形是平行四边形的条件［2］。④探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质［3］和四边形是矩形、菱形、正方形的条件［4］.⑤探索并了解等腰梯形的有关性质［5］和四边形是等腰梯形的条件。［6］⑥探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义(如•根均匀木棒、一块均匀的矩形木重心)。(10)了解等腰角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等：底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰•:角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°,及等边三角形的判定定理：三个角都相等的二角形(或有•个角是60°的等腰二角形)是等边三角形。(11)了解直角三角形的概念，探索并掌握宜角三角形的性角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握仃两个角互余的二角形是直角三角形。(12)探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。33)探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。(14)了解三角形重心的概念。4.四边形(1)了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、时角线等概念：探索并掌握多边形内角和与外角和公式。(2)理解平行四边形、矩形、菱形、1E方形的概念，以及它们之间的关系：了解四边形的不稳定性。(3)探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分；探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形：对角线互相平分的四边形是平行四边形。(4)了解两条平行线之间距高的意义，能度量两条平行线之间的距离。(5)探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等：菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是宜角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形具有矩形和菱形的•切性质(参见例62)。(6)探索并证明三角形的中位线定理。

21⑦通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计.⑹圆①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系。②探索圆的性质，了解恻周角与网心角的关系、直径所对圆周角的特征。③了解三角形的内心和外心。④了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。⑤会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积。5.圆3(1)理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，/解等圆、等弧的概念：探索并「解点与圆的位置关系。(2)探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。(3)探索圆周角与圆心角及其所时弧的关系，了解并证明网周角定理及其推论：圆周角的度数等了它所对弧I:的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90。的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。(4)知道三角形的内心和外心.(4)了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线可过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点而圆1的切线。(6)探索并证明切线长定理：过囤外一点所画的网的两条切线长相等(参见例63).(7)会计算做I的弧长、班形的面积.(8)了解正多边形的概念及正多边形与网的关系.6.尺规作图(1)能用尺规完成以下基本作图：作条线段等于已知线段；作一个加等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过•点作已知直线的垂线。(2)会利用基本作图作三角形：己知三边、两边及其夹角、两角及K夹边作-：角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形：已知一直角边和斜边作直角三角形。(3)会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边(7)尺规作图①完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线。②利用基本作图作三角形：已知三边形.(4)在尺规作图中，/解作图的道理，保留作图的痕迹,不要求写出作法。7.定义、命题、定理(1)通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。(2)结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个可逆的命题，知道原命题作三角形：已知两边及其夹角作三角形：已知两角及其夹边作三角形；己知底边及底边上的高作等腰V角形。③探索如何过•点、两点和不在同•

22（3）知道证明的意义和证明的必要性（参见例75）,知道证明要合乎逻辑（参见例64）,知道证明的过程可以有不同（4）了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题（1）通过具体实例/解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分（2）能画出简单平面图形（点，线段，直线，三角形等）（3）了解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、（4）认识并欣赏门然界和现实生活中的轴对称图形。（1）通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转.探索它的基本性质：•个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等（参见例65）。（2）了解中心对称、中心对称图形的概念,探索它的基本性质：成中心对称的两个图形中，时应点的连线经过对称中（3）探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称（4）认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。（1）通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个直线上的三点作圆。④了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写己知、求作和作法（不要求证明）。（8）视图与投影①会画基本几何体（直棱柱、圆柱、网锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图，能根据二视图描述基本儿何体或实物原型。②了解宜棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。③了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；通过典型实例,知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）O注：[1]平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。[2]一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形。[3]矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分。[4]三个角是直角的四边形，或对角线相等的平行四边形是矩形;四边相等的四边形，或对角线互相垂直的平行四边形是菱形。[5]等腰梯形同•底上的两底角相等,两条对角线相等。[6]同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形。④观察与现实生活有关的图片（如照片、简单的模型图、平面图、地图等），了解并欣赏一些有趣的图形（如雪花曲线、莫比乌斯带）。⑤通过背景丰富的实例，知道物体的阴影是怎么形成的，并能根据光线的方向辨认实物的阴影（如在阳光或灯光下，观察手的阴影或人的身影）。⑥了解视点、视角及盲区的涵义，并能在简单的平面图和立体图中表示。⑦通过实例了解中心投影和平行投影。2.图形与变换（1）图形的轴对称成》:共逆命题不一定成立。的表达形式，会综合法证明的格式。是错误的。（5）通过实例体会反证法的含义。（―）图形的变化1.图形的轴对称（参见例65）。关于给定对称轴的对称图形。菱形、正多边形、圆的轴对称性质。2.图形的旋转心，旦被对称中心平分。3.图形的平移

23图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或①通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对在同一条直线上)且相等(参见例65)。称轴垂直平分的性质。②能够按要求作出简单平面图形经过•次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴。[参见例1]③探索基本图形(等腰-：角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对(2)认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用。(3)运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计。4.图形的相似」(1)了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.(2)通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和称性及其相关性质。④欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计。相似比。(3)掌握基本事实：两条直线被•组平行线所截，所得的对应线段成比例。(4)了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个(2)图形的平移①通过具体实例认识平移，探索它的三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似：三边成比例的两个三角形相似。*了解相似三角形判定定理的证基本性质，理解对应点连线平行旦相等的性质。②能按要求作出简单平面图形平移后的图形。③利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用。(3)图形的旋转明。(5)了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比：面积比等了相似比的平方。(6)了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。(7)会利用图形的相似解决一些简单的实际问题(参见①通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。②了解平行四边形、圆是中心对称图形。③能够按要求作出简单平面图形旋转例75).(8)利用相似的直角三角形,探索并认识锐角三角函数(sinA.cosA,tanA),知道30°,45°,60°角的三角函数值。(9)会使用计算帑由已知锐角求它的三用函数值，由已知三角函数值求它的对应锐用o后的图形.④欣赏旋转在现实生活中的应用。⑤探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合).[参见例2和例3]⑥灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。(10)能用锐角三角函数解百角二角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。5.图形的投影(1)通过丰富的实例,了解中心投影和平行投影的概念。(2)会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体。(3)了解直棱柱、圆锥的侧面展开图,能根据展开图想象和制作实物模型。(4)通过实例，了解上.述视图与展开图在现实生活中的应用。

24(三)图形与坐标1.坐标9图形位置(1)结合实例进一步体会用仃序数时可以表示物体的位置。(2)理解平面直珀坐标系的有关概念，能画出直加坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。(3)在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置(参见例66)。(4)会写出矩形的顶点坐标，体会可以用坐标刻画个简单图形。(5)在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置(参见例67)。2.坐标与图形运动(1)在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。(2)在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。(3)在直角坐标系中，探索并了解将•个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化。(4)在克角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点、有一个边在横坐标轴上.)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形1j原图形是位似的。(4)图形的相似①了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。②通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。③了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。④了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。⑤通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题(如利用相似测量旗杆的高度).⑥通过实例认识锐角三角函数(shA,cosA,tanA),矢谴30°,45°,60。角的•:角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角。⑦运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。3.图形与坐标(1)认识并能画出平面直角坐标系：在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。[参见例4](2)能在方格纸上.建立适当的宜角坐标系，描述物体的位置。[参见例5](3)在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化。[参见例6](4)灵活运用不同的方式确定物体的位置。[参见例7]4.图形与证明(1)了解证明的含义①理解证明的必要性。②通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论。③结合具体例子，了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。④通过具体的例了理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误

25的。⑤通过实例，体会反证法的含义。⑥掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据。（2）掌握以下基本事实，作为证明的依据①一条宜线截两条平行直线所得的同位角相等。②两条直线被第二条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行.③若两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别相等，则这两个三角形全等。④全等三角形的对应边、对应角分别相等。（3）利用（2）中的基本事实证明F列命题[1]1①平行线的性质定理（内错角相等、同旁内向互补）和判定定理（内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行）.②三角形的内角和定理及推论（三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外向大于任何一个和它不相邻的内角）.③直角三角形全等的判定定理。④角平分线性质定理及逆定理：三角形的三条角平分线交于一点（内心）。⑤垂直平分线性质定理及逆定理；三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）。⑥三角形中位线定理。⑦等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理。⑧平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。（4）通过对欧儿里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值（二）案例例1以树干为对称轴，画出树的另一半.例2请说出下面乙树是怎样由甲树变换得到的。例3观察下面的图案，它可以看成是由哪个图形经过怎样的变换产生的？例4在坐标系中描出下列各点，并将各组的点顺次连接起来：①(2,0),(4,0),(6.2),(6,6),(5.8),(

264,6),(2.6),(1,8),(0,6),(0,2),(2,0)；@(1,3),(2,2),(4,2),(5,3)；③(1,4),(2,4),(2,5),(1,5),(1,4)；④(4,4),(5,4),(5,5),(4,5),(4,4)；⑤(3,3).观察这个图形，你觉得它像什么？例5下图是某市旅游景点的示意图。试建立直加坐标系，用坐标表示各个景点的位置：例6如图所示，在宜角坐标系下，图1中的图案“A"经过变换分别变成图2至图6中的相应图案(虚线对应于原图案)，试写出图2至图6中各顶点的坐标，探索每次变换前后图案发生了什么变化、对应点的坐标之间有什么关系.例7张坚在某市动物园的大门口看到这个动物园的平面示意图(如下图)。试借助刻度尺、量角器解决如下问题：(1)建立适当的直角坐标系，用坐标表示猴山、驼峰、百鸟园的位置；(2)填空：百鸟园在大门的北偏东度的方向上，到大门的图上距离约为厘米；熊猫馆在大门的北偏度的方向上，到大门的图上距离约为厘米：驼峰在大门的南偏度的方向上，到大门的图上距离约为厘米.说明本题旨在让学生体会除用直角坐标系描述物体的位置外，还可以选定某个参照物和某个方向，用距离和角度来刻画物体的位置。统计与概率

27在本学段中，学生将体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率.在教学中，应注重所学内容与日常生活、自然、社会和科学技术领域的联系，使学生体会统计与概率对制定决策的重要作用：应注重使学生从事数据处理的全过程，根据统计结果作出合理的判断；应注重使学生在具体情境中体会概率的意义；应加强统计与概率之间的联系：应避免将这部分内容的学习变成数字运算的练习，对有关术语不要求进行严格表述。（一）具体目标1.统计（1）从事收集、整理、描述和分析数据的活动，能用计算器处理较为复杂的统计数据。（2）通过丰富的实例，感受抽样的必要性，能指出总体、个体、样本，体会不同的抽样可能得到不同的结果。[参见例1]（3）会用扇形统计图表示数据。（4）在具体情境中理解并会计算加权平均数：根据具体问题，能选择合适的统计量表示数据的集中程度。（5）探索如何表示一组数据的离散程度，会计算极差和方差，并会用它们表示数据的离散程度。[参见例2]（6）通过实例，理解频数、频率的概念，了解频数分布的意义和作用，会列频数分布表，画频数分布直方图和频数折线图，并能解决简单的实际问题。（7）通过实例，体会用样本估计总体的思想，能用样本的平均数、方差来估计总体的平均数和方差。（8）根据统计结果作出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表达自己的观点，并进行交流。（9）能根据问题杏找有关资料，获得数据信息；对日常生活中的某些数据发表自己的看法。（10）认识到统计在社会生活及科学领域中的应用，并能解决一些简单的实际问题。[参见例3]（-）抽样与数据分析1.经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程：能用计算器处理较为复杂的数据。2.体会抽样的必要性，通过实例了解简单随机抽样（参见例68）。3.会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据。4.理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述（参见例69）.5.体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的方差（参见例70）.6.通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图，能利用频数苴方图解释数据中蕴涵的信息（参见例71）.7.体会样本与总体关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差。8.能解群统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流（参见例71）.9.通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的变化趋势（参见例72）.2.概率（1）在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。[参见例4和例5]（2）通过实验，获得事件发生的频率；知道大（二）事件的概率1.能通过列表、曲树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率（参看例73,例74）。

28量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值。2.知道通过大量地重复试验，可以用频率来估[参见例6]计概率。（3）通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题。[参见例7]（二）案例例1电视台需要在本市调查某节目的收视率，每个看电视的人都要被问到吗？对一所大学学生的调查结果能否作为该节口的收视率？你认为对不同社区、年龄层次、文化背景的人所做的调杳结果会一样吗？例2下面是两个水果店1至6月份的销售情况（单位：千克），比较两个水果店销售最的稳定性。1月2月3月4月5月6J]甲商店450440480420580550乙商店480440470490520520例3统计某商店一个月内几种商品的销售情况,对这个商店的进货提出你的建议o例4一个袋中装有2个黄球和2个红球，任意摸出一个球后放何，再任意摸出一个球，求两次都摸到红球的概率。例5如图转动转盘，求转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率。例6通过实验获得图钉从•定高度落下后钉尖着地的频率。例7一个游戏的中奖率是1%,买100张奖券,一定会中奖吗？综合与实践（原课标为课题学习）四、综合与实践1.结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中，尝试发现和提出问题。2.会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告或小论文，并能进行交流，进•步获得数学活动经验。3.通过对有关问题的探讨，了解所学过知识（包括其他学科知识）之间的关四、课题学习在本学段中，学生将探讨一些具有挑战性的研究课题，发展应用数学知识解决问题的意识和能力；同时，进一步加深对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系。在前两个学段的基础上，教学时应引导学生结合生活经验提出课题、积极地思考所面临的课题、清楚地表达自己的观点并能够解决一些问题。（）具体目标1.经历”问题情境-建立模型-求解-解释与应用”的基本过程。2.体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识。3.获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识.4.通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。联，进一步理解有关知识，发展应用意识（二）案例知华力例用一张正方形的纸制作一个无盖的长方体，怎样制作使得体积较大？（参见例75,例76,例77,例78,例说明这是一个综合性的问题，学生可能会从以下几个方面79,例80）进行思考：①无盖长方体展开后是什么样？②用一张正方形的纸怎样才能制作一个无盖长方体？基本的操作步骤是什么？③制成的无盖长方体的体积应当怎样去表达？④什么情况下无盖长方体的体积会较大？⑤如果是用一张正方形的纸制作一个有盖的长方体，怎样去制作？制作过程中的主要困难可能是什么？通过这个主题的学习，学生进一步丰富自己的空间观念，体会函数思想以及符号表示在实际问题中的应用，进而体验从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型、综合应用已有的知识解决问题的过程，并从中加深对相关知识的理解、发展自己的思维能力。实践建议（新课标部分）

29第三学段（7〜9年级）数与代数例47灾害应对预案。一次水灾中，大约有20万人的生活受到影响。如果灾情持续一个月，大约需要筹集多少顶帐篷？多少吨粮食？［说明］解决此问题需要在一定的假设条件下，进行有理数的运算,最后给出估计。例如，假定一顶帐篷可以住10个人，需要2万顶；假如要保证一个家庭住一顶帐篷，每个家庭4口人，需要5万顶。假定平均每人每天需要0.4千克粮食，可以估计出每天需要的粮食数，10天需要的和一个月需要的粮食数。

30例48估计事与°.5比哪个大？与L。比呢?例49计算(1)V12+V8xV6；(2)［说明］运用二次根式的加、减、乘、除运算法则进行二次根式的四则运算，根号下仅限于数，不要求进行根号下含字母的二次根式的四则运算,如,24a4b+-^=等。例50结合实例解释3a。［说明］希望学生理解用字母表示的代数式是有一般意义的。。可以表示数量，例如葡萄的价格是每千克3元则3a表示买。千克的金额；。可以表示长度，例如，一个等边三角形边长为。，则3a表示这个三角形的周长，等等。例51利用公式证明例29所显示的运算规律。［说明］在第二学段的学习中已经发现了如下的运算规律：15X15=1X2X100+25=225,25X25=2X3X100+25=625,35X35=3X4X100+25=1225。观察后，我们猜测：如果用字母。代表一个正整数，则有如下规律：(aX10+5)2=q(〃+1)x100+25。但这样的猜测是正确的吗？需要给出证明：3x10+5)2=。2X100+2。X10x5+25=4(4+1)x100+25。

31这是一个由具体数值计算到符号公式表达的过程，即由特殊到一般的过程。可以让学生感悟，有些问题是可以通过一般性的证明来验证自己所发现的规律，感悟数学的严谨性，增加学习数学的兴趣。例52在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿和凳子腿数加起来共有60个，有几个椅子和几个凳子？［说明］这个问题与例32是相同的。事实上，这个问题可以用三种方法建立模型。在第二学段讨论过的方法是基于四则运算，还可以用一元一次方程的方法或二元一次方程组的方法解决。启发学生从不同的角度思考同一个问题，有利于学生进行比较，加深对于模型的理解。利用一元一次方程解决此问题时，可以引导学生通过具体列表的方式找出规律、建立方程，这样利于学生理解方程的意义，体会建模的过程。假设椅子数为。，则凳子数为16-a,把例32中的表移过来并用字母代替：椅子数凳子数腿的总数a=1616-a=04a+3(16-a)=64a=1516=14a+3(16-a)=63a=1416=24a+3(16-a)=62这样，合题意的方程为4a+3(16-a)=60,可以通过尝试的方法，解得。=12,也可以解方程求解。对于二元一次方程组，则可以直接列方程。假设椅子数为。，凳子数为b,可以得到两个方程4+6=16和4a+3b=60,用代入法得到4a+3（16-。）=60,求解得到。=12和b=4o

32从上面的讨论可以看到，用四则运算方法，思考最困难，但是结果最直接；用二元一次方程组的方法，思考最简洁，但是计算较繁琐。在教学过程中，可以结合具体的教学内容使用这个例子，最后进行比较，启发学生思考。例53估计方程/+2x-10=0的解。［说明］估计方程的解，不仅仅在于求解，也有利于学生直观地探究方程的性质，初步感悟，通过代入数值进行计算也是求方程解的有效途径。一般来说，如果把一个数代入方程左边得到的值为负，把另一个数代入得到的值为正，则在这两个数之间可能有方程的解。根据这个原理，用二分法可以估计方程的解。分析这个一元二次方程，当％的绝对值较大时，方程的左边必然为正，如-5和3；当x的绝对值较小时，方程的左边必然为负，如2。那么，在-5和2之间，以及在2和3之间方程可能有解。进一步，用同样的道理可以将解的范围缩小，使我们估计的解尽可能精确，如选-5和2的中间值-1.5代入方程的左边进行计算，如果得到的值为正，则在-1.5和2之间有解，否则在-5和-1.5之间有解。可以借助计算器来完成上述的计算过程。进一步，教师引导学生用公式法解出方程的解，然后借助计算器求解的近似值，并将得出的近似值与前面的估计值进行比较。

33例54小丽去文具店买铅笔和橡皮。铅笔每支0.5元，橡皮每块0.4元。小丽带了2元钱，能买几支铅笔、几块橡皮？［说明］对于初中的学生，这个问题是生活常识，但希望学生能通过这个例子学会用数学的思维方式看待生活中的问题。这是一个求整数解的不等式问题，并且问题是开放的，通过列表具体计算，有助于学生直观理解不等式。假设买。支铅笔，b块橡皮，可以得到不等式0.5。+0.4/?<2o当。=1时，计算得到Z?w2-0.5=375,贝ljb=3o这样计算，可0.4以建立下面的表格:1234h53210金额21.71.81.90根据上面的表格，小丽可以选择适当的购买方案。例55小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回。父亲在报亭看了10分报纸后，用15分返回家。下面的图形中哪一个图14

34表示父亲离家后的时间与距离之间的关系？哪一个图形是表示母亲的行走过程？例56某书定价8元。如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折。分析并表示购书数量与付款金额之间的函数关系。［说明］这是一个分段函数，函数的三种表示法均适用于这个例子。一般来说，列表法适用于变量取值是离散的情况；分段函数应当画图，并且关注分段点处函数的变化情况。可以分组讨论三种方法，然后让学生分析比较。例57甲乙两地相距20千米。小明上午8：30骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8千米/时；小丽上午10：00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40千米/时。分别表示两个人所用时间与距离的函数关系，并回答谁先到达乙地。［说明］问题的要点是同时分析两个函数关系。可以启发学生用各种方法来解答第二个问题，在分析、总结学生的解答时，可以把两个函数的图像放在一起进行直观比较。例58温度的计量。世界上大部分国家都使用摄氏(℃),但美、英等国的天气预报仍然使用华氏(°F)O两种计量之间有如下对应：℃01020304050°F32506886104122(1)在平面直角坐标系中描述相应的点，观察这些点是否在一条直线上。(2)如果两种计量之间的关系是一次函数，请给出该一次函数表达式。

35(3)求出华氏0度时摄氏是多少度。(4)华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？［说明］在表中，两个变量对应数值的差之比是一个常数，所以两个变量之间是一次函数关系。摄氏从。度开始，设为横坐标方便。但在求华氏0度对应的摄氏温度时，需要通过函数值来反求自变量的值。在平面直角坐标系中，该一次函数的图像与直线y=x的交点处的值就是华氏温度的值与摄氏温度的值相等时的值。图形与几何例59从一个侧面为正方形的长方体实物中抽象出长方体、长方形、正方形、线段和顶点。［说明］学生在日常生活中见到的物体都是立体的，而在纸上画出的图形都是平面的，这是一类很重要的抽象。特别是把物体表面分解,有利于培养学生的空间观念。例60证明：两直线平行，则同位角相等。

36A1C7DF图15［说明］考虑到学生的实际情况，在教学过程中，给出下面证明方法的时间可以酌情处理。这个证明可以利用反证法完成，一方面使学生了解结论的证明，另一方面可以帮助学生了解反证法。如图15所示，我们希望证明：如果4B〃C£>,那么N1=N2。假设N1WN2,过点0作直线A'B',使NEOB'=/2。根据“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行”这个基本事实，可得A'B'//CD.这样，过点0就有两条直线A'A，B'平行于CE),这与基本事实“过直线外一点有且仅有一条直线与这条直线平行”矛盾，说明N1WN2的假设是不对的，于是有N1=N2。例61直观阐述基本事实：两组对应边及其夹角分别相等的两个三角形全等。［说明］虽然基本事实是不需要证明的，但是启发学生进行直观分析、探索结论的合理性。

37图16-1图16-2如图16-1所示，一个三角形由六个元素构成，即三条边和三个角，因此，两个三角形如果三条边和三个角分别相等，则这两个三角形全等。问题是，最少几个元素就可以确定三角形从而构成全等条件呢？观察图16-1中的△ABC,如果对图中的边BC“视而不见”，这样，对NB和NC也就“视而不见”了（如图16-2）,此哈ABC的形状和大小并不改变。这就是说，AB,AC两条边及它们的夹角确定了△A8C的形状和大小，于是可以推断，两边以及这两边的夹角可以确定一个三角形。因此，可以认同“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”这个基本事实。另外，也可以用图形运动（叠合）的方法确认“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”这个结论。对于基本事实“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”的直观分析可以借助下面的图17-1和图17-2o图17-2可以进一步引导学生思考，为什么”三个角分别相等的两个三角形全等”不能成为基本事实。对于以上事实的认可，也可以从六个元素中的一个出发，即由少到多进行考虑，通过画图探索出需要几个元素即可确定一个三角形。

38例62根据性质对平行四边形、矩形、菱形、正方形分类［说明］在第一和第二学段都讨论过分类的问题，通过分类有助于学生把握问题本质，了解研究对象的共性与差异。特别是对于几何图形分类，有利于培养几何直观性和思维的层次性。分类的关键在于确定分类的标准，在不同的标准下可能会有不同的分类结果。一般来说，分类标准可以由粗到细，即由一个特征发展到多个特征（参见例21）。针对本问题把图形分为两类（其中一类可以是空的，在具体教学过程中不出现空集的概念）的标准可以考虑为：对边平行；对边平行且有一个角为直角；对边平行且四条边相等；对边平行、有一个角为直角、四条边相等。还可以通过对角线建立分类标准，等等。在具体教学过程中，可以启发学生想象，也可以做出实物让学生操作。例63探索并了解：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等。［说明］通过探索和了解此结论的证明，帮助学生体验发现结论到验证结论的过程。教学中可以参考安排如下的过程:

39(1)发现结论。在透明纸上画出如图18-1的图：设PA,PB是。。的两条切线，A，5是切点。让学生操作：沿直线。尸将图形对折，启发学生思考，或者组织学生交流。学生可以发现：PA-PB,Z.XPO=Z.BPOo这是通过实例发现图形性质的过程。启发学生由特殊到一般，通过合情推理推测出切线长定理的结论。图18-1图18-2(2)证明结论的正确性。如图18-2,连接0A和。8。因为PA和PB是。。的切线，所以NPAO=NPBO=90。，即△尸。4和4尸。3均为直角三角形。又因为。4=。8和0P=。尸，所以△POA和△尸。8全等。于是有PA=PB,4尸。=ZBPOo这是通过演绎推理证明图形性质的过程。由此可见，合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式，都是研究图形性质的有效工具。上述证明过程没有采用形式化的三段论，但有利于初学者把握证明的条理和说理的逻辑。例64如果四边形ABC。和8EVC都是平行四边形，则四边形AEFD也是平行四边形。某同学根据下述图形对这个命题给出了证明。图19

40证明：因为ABCZ）是平行四边形所以AD=BC①AB=CD②又因为BEFC也是平行四边形所以BC=EF③BE=CF④由①③得AD=EF⑤由②④得AB+BE=DC+CF⑥因为⑤⑥成立，所以四边形AEF。是平行四边形。他的考虑全面吗？［说明］引导学生判断上述证明过程是否正确，希望学生通过错误的实例，感悟特殊和一般的关系。

41例65下面图20-2中的三个三角形是由图20-1中的三角形经过平移、旋转和轴对称得到的，分别指出图形运动的形式，并标出对应的角。［说明］把运动后的结果归纳在一起让学生辨认，有利于学生理解三种图形运动形式的不同之处，从而把握平移、旋转和轴对称的基本特征，体验图形运动是研究图形的有力工具。例66在直角坐标系中描出下列各点，将各组的点顺次连接起来。观察这个图形，你觉得像什么？(1)(2,0),(4,0),(6,2),(6,6),(5,8),(4,6),(2,6),(1,8),(0,6),(0,2),(2,0)；(2)(1,3),(2,2),(4,2),(5,3)；(3)(1,4),(2,4),(2,5),(1,5),(1,4)；(4)(4,4),(5,4),(5,5),(4,5),(4,4)；(5)(3,3)o［说明］在第二学段已经学习了利用方格纸画直角坐标系，理解整数坐标与格子点的对应关系(参见例38)。在本学段将学习一般的直角坐标系。利用直角坐标系可以把数与图形有机地结合起来，有利于用

42代数方法研究儿何问题，也有利于借助图形直观地探索数量关系的规律性。这个问题可以进一步扩展：把家乡的地图放在直角坐标系的第一象限内，然后等间隔地画出与坐标轴平行的两组平行线，一边用数字表示，一边用字母表示，然后让学生寻找自己熟悉的地点，并用数字和字母表示出该点。让学生理解，坐标的表示可以是多样的，坐标的核心是对应关系而不是具体表示形式。例67如何用方向和距离描述下图21中小红家相对于学校的位北小红家置？反过来，学校相对于小红家的位置怎样描述呢？比例尺：I:100000100200300图21统计与概率例68设计调查方法。了解本年级的同学是否喜欢某电视剧。调查的结果适用于学校的全体同学吗？适用于全地区的电视观众吗？如果不适用，应当如何改进调查方法?

43［说明］对于许多问题，不可能、有时也不必要得到与问题有关的所有数据，只要得到一部分数据（样本）就可以对于总体的情况进行估计。很显然，如果得到的样本能够客观地反映问题，则估计就会准确一些，否则估计就会差一些。因此，我们希望寻找一个好的抽取样本的方法，使得样本能够客观地反映问题。在本学段，主要学习简单随机抽样方法，这是收集数据中通用的方法，在一般情况下，我们都假定样本是通过随机的方法得到的。因为同一个年级的学生差异不大，采用简单随机抽样方法比较合适。可以在上学时在学校门口随机问讯，也可以按学号随机问讯。为了分析方便，需要把问题数字化，如喜欢这部电视剧的记为1,不喜欢的记为0。对于这样的问题，问讯学生数不能少于20人，取40〜50人比较合适，取更多的学生当然更好，但需要花费更多的精力。由此可见，一个好的抽样方法不仅希望“精度高”还希望“花费少二假设问讯的学生数为小记录数据的和为“（显然，机为喜欢这部电视剧的人数），则调查结果说明，学生中喜欢这部电视剧的比例为％。n我们依此估计本年级的同学中喜欢这部电视剧的比例。用这个数据估计全地区的电视观众喜欢这部电视剧的比例是不合适的，因为学生、成年人、老年人喜欢的电视剧往往不同。为了对全地区的电视观众喜欢这部电视剧的情况进行估计，可以采用分层抽样方法，比如依据年龄分层，需要知道各年龄段人口的比例，按照比例数分配样本数，而在各个层内则采取随机抽样；或者依据职业分层，等等。教师应该了解分层抽样，在本学段学生只需学习简单随机抽样方法。例69某个公司有15名工作人员，他们的月工资情况如下表。计算该公司的月工资的平均数、中位数和众数，并分别解释结果的实际意义。职务经理副经理职员人数1212

44月工资/元50002000800［说明］平均数、中位数和众数都是刻画数据的集中趋势的方法，因为方法不同，得到的结论也可能不同。很难说哪一种方法是对的，哪一种方法是错的，我们只能说，能够更客观地反映实际背景的方法要更好一些。在这组数据中有差异较大的数据，这会导致平均数较大,因此，用中位数或众数要比用平均数更客观一些。不难计算出该公司月工资的中位数和众数均为800元。而月工资的平均数=加权平均（可以看成是加权平均）=5000X-L+2000X—+800X乜151515=1240元）o因此，加权平均往往就是总体平均，其中的权是数据对应的比例。例70如果还有一个公司也有15名工作人员，他们的月工资情况如下表。参照例69,比较两个公司的月工资状况。职务经理副经理职员人数1212月工资/元300018001000［说明］容易计算，这个公司的月平均工资也是1240元。但是两个公司月工资的方差相差很大，通过计算可以得到：例69中数据的方差为1174400,本例中数据的方差为294400,两个方差相差4倍。可以让学生知道，进一步学习“统计与概率”，将会得到“两个方差有非常显著的差异”的结论。例71比较自己班级与别的班级同学的身高状况。

45［说明］对于两个班级学生身高状况比较，通常可以通过平均值来判断，但有时候仅仅通过平均数是不够的，如果一个班同学之间身高差异很大，而另一个班同学之间身高差异很小，即使前一个班的平均高一些，也不能说这个班的整体状况很好。因此，在判断身高状况时，不仅要看平均值，还需要参考方差。进一步，可以引导学生逐渐深入地进行数据分析，可以要求学生把身高分段，画出频数直方图，并引导学生讨论，通过直方图是否能得到更多的信息。例72下表给出了我国1992〜2004年国内生产总值（GDP）。第角坐标系上描出坐标（年，GDP）,并试用直线表示发展趋势。1992-2004中国GDP变化表（亿元）年份1992199319941995199619971998GDP23938346344675958478678857446378345年份199920002001200220032004GDP820678946897315105172117390136876［说明］在现实生活中，有许多数据是与时间有关的，因此这些数据会呈现发展趋势。学生应当能够理解报刊书籍中的这类数据的表达,包括表格、描点、折线图、趋势图等，并且尝试自己表达分析。对于上述数据，学生应当会描点，虽然这时直角坐标系的度量单位与书本上教的是不一样的，但是只要刻度之间的比例关系一致，表达就是合理的，让学生感悟到：对于实际问题往往需要具体问题具体分析，而不能单纯地套用书本上学到的知识。因为描点呈现线性增长趋势，可以进一步引导学生利用直线来表示这种趋势、预测未来经济发展，感悟变量的随机性。

46对于“用直线表不发展趋势”的问题，原则上可以画出很多条直线，教师可以引导学生思考和讨论如何画出合适的直线、如何制定“合适直线”的标准，并且告诉学生，在高中阶段“统计与概率”的学习中将会解决这个问题，引发学生的学习兴趣。这个例子可以举一反三，不一定局限与时间有关的数据，比如，学生身高与体重的关系，同一种树的树叶长与宽的关系（参见例79）。也可以组织学生查阅资料，探究进出口总量与GDP的关系，人均收入与GDP的关系，等等。例73将下面这些卡片混在一起，从中任意选取一张卡片，这张持片是船的概率是多少？是车的呢？图23［说明］这是例42的继续。学生已经能够理解：任意选取一张卡片,这张卡片是船的可能性比是车的可能性大，现在应当明确地知道其概率分别是,和24

47这个例子可以举一反三，如转动转盘，当转盘停止时指针指向某一特定部分的概率；一个袋子里有几种颜色、数量不同的球，随机摸出某种颜色球的概率，等等。例74分析掷两个骰子点数之和的可能性的大小。

48［说明］这个问题看起来很难，无从下手。事实上，这也是简单事件的问题，利用例10的图，可以得到结论：对应的格子越多可能性越大。比如，点子之和为7的可能性最大，为2或者12的可能性最小。综合与实践例75直觉的误导。有一张8cmx8cm的正方形的纸片，面积是64cm之。把这张纸片按图24-1所示剪开，把剪出的4个小块按图24-2所示重新拼合，这样就得到了一个长为13cm,宽为5cm的长方形，面积是65cm2。这是可能的吗?图24-2［说明］这是一个直觉与逻辑不符的例子，希望学生通过学习体会到：对于数学的结论，完全凭借直觉判断是不行的，还需要通过演绎推理来验证。一般来说，学生应当是不会相信图24-2中纸片的面积是65cm2,但又无法说明为什么观察的结果是错误的。进一步引导学生思考，如果观察是错误的，那么错误可能出在哪里呢？学生通过逻辑思考，可以推断只有一个可能：图24-2中纸片所示图形不是长方形，因此不能用长方形的面积计算公式来计算面积。然后，可以引导学生实际测量图形左上角或者右下角，发现确实不像是直角。可以告诉学生，这个想法是正确的，但最好能够给出证明，引导学生经历一个由合情推理到演绎推理的过程。

49在实际教学中可以引导学生先看图、再让学生分组将图剪开，动手操作发现矛盾（64=65?）。然后，尝试找出理由并尝试证明，最后表达收获。可以采用如下反证法证明，在证明过程中加深对相似图形的理解。如图25,过。做AC的垂线交AC于F。假定图24-2中的图形是长方形，那么图形的右下角就应当是直角，则在图25中有Nl+N3=90°。因为N2+N3=90°,则N1=N2。由相似三角形的判定定理，两个直角三角形△A8C与aOE/相似。由相似三角形对应边成比例，应当有：，这是不可能的，因此图24-2中的图形看可》2是长方形。由于这个差是很小的，因此会造成我们视觉的误差，3824把图24-2中的图形判断为长方形。3A5B图25教学中可以鼓励学生运用不同的方法对此问题进行解释。例76从年历中想到的。观察几个年份的年历和月历，思考下面几个问题：(1)在同一年的月历中，哪些月份的“月历表”的排列是基本一致的？(2)有一种计算机病毒叫“黑色的星期五”，当计算机的日期是13日又是星期五时，这种病毒就发作。请找出最近的5个使“黑色的星期五”发作的年、月、日。(3)许多人都认为，“办喜事”最好是“6月6日又是星期六”，可是有人说：“这样的日子是千载难逢”，你同意这种说法吗？你能找出几个“6月6

50日又是星期六”的具体年份吗？［说明］这是一个通过对日常生活观察、发现某些规律的开放性问题，可以根据学生的学习情况，提出不同层次的问题。每一个问题的设计，都是为了让学生学会观察、思考和质疑，提高学生学习数学的兴趣，体会模型思想。问题(1)是让学生学会观察、学会提问题。这个问题的入手点低,每个学生都能参与，都能有所发现。并且可以培养学生“分类讨论”的意识，分平年和闰年：平年时，1,10月；2,3,11月；4,7月；9,12月的月历表基本一致；闰年时，1,4,7月；2,8月；3,11月；9,12月的月历表基本一致。引导学生在貌似杂乱无章中发现规律，利用规律感悟周期现象。问题（2）中最近的几个“黑色的星期五”是：2009年2月13日、2009年3月13日、2009年11月13日、2010年8月13日、2011年5月13日（随着时间的推移，这个日期会发生变化）。解决问题的方式较多，可以利用对问题（1）发现的规律来思考。也可以充分利用信息工具，如从网上找一个“万年历”的小软件用于观察发现。I'礴（3）中最近的几个“6月6日星期六”的日子有1992年、1998年、2009年、2015年、2020年，因此“千载难逢”的说法不对。更加理性的思考是：闰年的周期大体上是“4”，星期的周期是“7”，呢年历的变化周期“大体上”不会超过4x7=28。一旦找到了一个“6月6日星期六”的日子，如1992年，“大体上”可以猜测1992+28=2020（年）的6月6日也是星期六。也可以让学生思考：为什么是“大体上”，例外发生的条件是什么？例77包装盒中的数学。

51（1）让学生分组收集一些商品的空包装纸盒，请大家分别计算出它们的体积和表面积。（2）请学生将这些盒子拆开，看一看它们是怎样裁剪和粘接出来的。（3）给一个矩形纸板（如A4纸大小），让学生根据上面的发现，裁剪、折叠出一个无盖长方体的盒子，并计算出它的体积。（4）同组同学之间比较结果，分析谁的体积比较大？分析怎样能作一个体积更大（最大）的盒子？（只是实验、比较，不要求证明）。（5）结合一种具体的待包装物体（如5本书或2个茶杯）设计一个包装盒，使这个盒子恰能包容它们，如有可能实际做出这个盒子。［说明］这是一个过程比较长的活动，可以引导学生体验一个比较完整的问题解决过程。让学生收集包装盒、拆开观察是一个很有益的过程，能很好地启发学生如何寻求解决后面问题的思路。问题（5）是一个实际应用，它的结果不唯一，可以交流展示学生的成果，请学生说明制作过程中的关键数据是如何得到的和裁剪方案是如何形成的。例78看图说故事。如图26,设计两个不同问题情境，使情境中出现的一对变量，满足图示的函数关系。结合图像，讲出这对变量的变化过程的实际意义。

52［说明］通过这个活动，激发学生自己思考并构造出满足特定关系的函数实例，以加深对函数理解。学生可以设计多种情境，比如，把这个图看成“小王跑步的s-t圈，可以说出下面的故事：小王以常速度400米/分，跑了5分，在原地休息了6分，然后以常速度500米/分，跑回出发地。再比如：有一个容积为2升的开口空瓶子，小王以常速度0.4升/秒，向这个瓶子注水，灌了5秒后停水，等6秒后，然后以常速度0.5升/秒，倒空瓶中水。老师可以鼓励学生，创设不同的符合函数关系和实际情况的情境。例79利用树叶的特征对树木分类。(1)收集三种不同树的树叶，每种树叶的数量相同，比如，每种树选10片树叶。(2)分类测量每种树叶子的长和宽，列表记录所得到的数据。(3)分别计算出树叶子的长宽比，估计每种树树叶的长宽比。(4)验证估计的结果。［说明］我们可以抓住树的某些特征对树进行分类，本例是利用树叶的数据特征来对树进行分类。

53本活动适用本学段的各个年级，要求可以不同。学生先通过数据收集和分析知道一些树的树叶的长与宽的比；对于新采集到的树叶，通过长与宽的比来判断这个树叶是属于哪种树。这一学习活动有利于培养学生的数据分析意识，体会有许多事情，通过数据分析可以抓住本质。知道数据不仅仅是别人提供的，还可以自己收集；对于同一种树，叶子长与宽的比也可能是不一样的，进一步感受数据的随机性；体会只要有足够的数据，就能够分析出一些规律性的结论。教学中可以作如下设计：(1)建议采用小组活动的形式，学生通过合作交流可以获得较多的数据和信息。(2)为了使分析的结果更加明显，最好选择树叶区别较大的三种(或者更多)树、而每种树选择的树叶的大小要接近，即区别要小一止匕-*■o(3)“估计每种树树叶的长宽比”的方法可以是多样的，比如，对于每种树的10片树叶都测量了长和宽以后，可以用10个比值的众数，也可以用10个比值的中位数；还可以把长和宽各自相加后，取和的比值，这是10个比值的平均数(教师可以思考：为什么不用通常求平均数的方法计算比值的平均数)。针对这个问题，用平均数是比较合适的。(4)取一片新的树叶，通过这片树叶的长宽之比、参照(3)的估计结果，来判断这片树叶属于哪种树。学生会发现，即使是同一棵树，叶子长与宽的比值恰好等于估计值的可能性也很小，这表现了数据的随机性。可以进一步启发学生考虑一个合理的方案：只要比值大概等于估计值，就可以认为是同一

54种树，也就是说，需要构造一个以估计值为中心的数值区间，当新取的树叶的长宽比值属于这个区间时就认为属于这个树种。如何合理地构造这个数值区间是重要的，区间太短则可能拒绝同类树种，区间太长则判断的精度就要差。可以考虑下面的方法：当估计值是中位数时，区间由比中位数小两位的比值和比中位数大两位的比值构成；当估计值是平均数时，区间的长度为平均数±必或者平均数±2。，其中。是样本标准差。让学生感悟决定数值区间的道理(可以告诉学生，进一步的学习，将会从理论上计算区间的长度)。这个问题可以举一反三。例80利用几何图形研究代数问题。对于给定的两个数％和y，求使得(x-b)2+(y-b)2达到最小的也就是说要找到一个尻，使得对任意的b有(x-瓦)2+(y-bo)2<(x-b)2+(y-b)2。［说明］利用直角坐标系，不仅能够推导出几何图形的代数表达式,还能够利用几何图形来研究代数问题，这是帮助学生建立几何直观的有效途径。图27可以把给定的两个数看作数对，对应于二维平面的点(见图27),用4(%,y)表示。对于任意数b也可以看作数对(b,b),用点b)表示。回忆关于直线的学习，由图27可以看到，点3S，b)是在通过第一象限、与横坐标倾斜45°

55角的直线上。我们的问题用几何语言可以表述为：在这条直线上寻找一点，使得这一点到给定点4(%,y)的距离最短。显然，这一点应当是点A(x,y)到直线的垂足，设其为夕So,b。)。因为(x-b)2+(y-b)2=(x-b0+b0-b)2+(y-b0+b0-b)2=[(x-Z?o)2+(y-bo)2]+2Kx-b0)+(y-Z?o)](如。)+2(g6)2o由图27,我们可以把上式左边看作线段AB长的平方，上式右边第一个中括号中的两项之和看作线段A夕长的平方，最后一项看作线段BB,长的平方，因为夕是A到直线的垂足，由勾股定理，上式右边第一项应当为0,即(x-氏)+(y-bf))=O,口J以得到b()=(x+y)/2。从上面的计算结果可以看到，历正是4和y的算术平均。上面的证明方法和结果可以推广到〃个数据，即对于给定的〃个数即，使得(xrb)2+—+(xn-b)2达到最小的人为，(%]+…+/),这是〃个数据的平均数。在“统计与概n率”中，通常称上式为离差平方和，如果把〃个数据看作样本，那么,样本平均使样本的离差平方和达到最小，因此在“统计与概率”中经常会用到样本平均。实施建议例81“零指数”的教学设计（第三学段）。本实例希望体现课程目标在课堂教学中的整体落实——通过本节课的学习，学生不仅理解和掌握有关的知识技能，而且初步了解指数概念是如何扩充的，感受零指数“规定”的合理性。通过计算2、23提出问题：如果应用同底数幕的运算性质，可以得到

5623+23=27=2。。那么2。有什么意义呢？等于多少呢？我们需要做出解释，数学面临了挑战。我们先回顾简单的事实：2*23=8+8=1,于是可以自然提出猜想:2°=1,然后采用各种途径引导学生感受规定“2。=1”的合理性。例如:用细胞分裂作为情境，提出问题：一个细胞分裂1次变2个，分裂2次变4个，分裂3次变8个……那么，一个细胞没有分裂时呢？观察数轴上表示2的正整数次累16,8,4,2,等等点的位置变化,可以发现什么规律？图28再观察下列式子中指数、塞的变化，可以发现下面的规律:24=1623=822=42'=220=1这样，在学生感受“2。=1”的合理性的基础上，做出零指数事意义的“规定”，即=在规定的基础上，再次验证这个规定与原有“基的运算性质”是无矛盾的，原有的基的运算性质可以扩展到零指数。例如，计算运用幕的运算性质/+Q。=。5.0=根据零指数幕意义的规定笳+。。=。5+1="5综上，学生在学习“零指数”时将经历如下的过程：

57面对挑战进行思考一提出“规定”的猜想一通过各种途径说明“规定”的合理性一做出“规定”一验证这种“规定”与原有知识体系无矛盾一指数概念和性质得到扩展。这样的过程较充分地体现了数学自身发展的轨迹，有助于学生感悟指数概念是如何扩展的，他们借助学习“零指数”所获得的经验，可以进一步尝试对负整数指数募的意义做出合理的“规定二这样的过程较充分地展示了“规定”的合理性，有助于发展学生的理性思维。例82百分数的认识(第二学段)。上课开始，教师与学生共同展示自己收集的生活中的“百分数”例子，比如，在饮料的包装盒上、在衣服的标签上、在报纸上、在玩具的说明书上，学生们发现了很多的百分数。教师要引发学生对这些新认识的数的兴趣，并鼓励学生对于百分数提出问题。比如：(1)人们为什么要用百分数？(2)百分数与分数有什么区别？(3)百分数是什么意思？(4)百分号是怎么写的？(5)百分数是干什么的？在此基础上，教师可以与学生一起把问题归纳为：(1)为什么要用百分数？(2)在什么情况下用百分数？(3)百分数是什么意思？(4)百分数与分数有什么联系？

58在对问题进行归纳后，可以让学生分小组尝试回答这些问题，然后教师和学生共同提炼出本节课所要学习的知识。在这些基础上，教师可以进一步引导学生考虑：还可以创造什么数？如果学生的思维活跃，可能会提到十分数、千分数等。这个过程，不仅促使学生对知识的理解更加深刻，而且也能鼓励学生思维的创新。例83开放式问题及其评价。活动问题：晚会奖品问题：在一次晚会上，6份相同的奖品被藏了起来。请两位同学李明和王佳一起去找这些奖品，直到6份奖品全部被找到。两位同学找到奖品的数量可能是多少？把两个同学找到奖品的数量列在下表中。(表中已经列举了一种可能的情况)李明找到的奖品数0王佳找到的奖品数6请你解释为什么王佳不可能恰好比李明多找到1份奖品。

59解决方案:两个同学找到奖品的数量有下面7种可能的情况:李明找到的奖品数0123456王佳找到的奖品数6543210只有当奖品总数是奇数的时候，两个人所找到的奖品数一个是奇数，一个是偶数，这时王佳才可能比李明多找到1份奖品。由于6是偶数，它是两个奇数或两个偶数的和，因此，王佳不可能恰好比李明多找到1份奖品。评分指南:一级水平二级水平三级水平四级水平数学没有指出李明指出了李明和王指出了李明和王指出了李明和王准确和王佳找到的佳找到奖品的所佳找到奖品的所佳找到奖品的所性和奖品的所有可有可能情况，但有可能情况，运有可能情况，运方法能情况没有系统的方法用了比较系统的用了非常系统的〃法方法解释没有理解问题试图回答问题但解释中涉及了一解释充分说明了的合或者没有认识没有认识到王佳些关于奇数和偶为什么王佳不可理性到王佳不可能不可能比李明多数的内容，但不能比李明多找到比李明多找到1份奖品找到1份奖品清楚1份奖品下面是一个学生的答案，被评为水平三:李明找到奖品的数量王佳找到奖品的数量06335115604224解释为什么王佳找到的奖品数不可能恰好比李明多1份？王佳不可能恰好比李明多找1份，因为6是个偶数，它有许多分解的方法。这个回答运用列举的方式找出了所有可能的组合。学生正确地指出王佳不可能恰好比李明多找到1份奖品，并且认识到了这和奇数、偶数有关。但是，原因说明得不够清楚，也许他还没有完全理解。所以评为水平三。