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1、精品文档高等代数考研教案pdf第一章多项式关键知识点：最大公因式,互素,不可约多项式,重因式,高斯引理,艾森斯坦因判别定理,对称多项式基本定理.1.1设f?x3?x2?2x?2u,g?x3?tx?u的最大公因式是一个二次多项式,求t,u的值.详解作辗转相除得如下关系式:f?q1g?r1,g?q2r1?r2,其中q1?1,r1?x2?x?u,q2?1t?2,x?1?t2?t2?t?u2??t?2???r2???x?1?2??2??u.?1?t????为使最大公因式是二次,必须:r2?0,解得u?0,t??4.1.证明:h,gh)?,g)h,的首项系数等于1
2、).略证
3、f,
4、g?h
5、fh,h
6、gh,又设?
7、fh,?
8、gh,2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创22/22精品文档则?uf?vg?h?ufh?vgh??
9、h.1.证明:若,g)?1,,h)?1,则,gh)?1.提示u1f?v1g?1,u2f?v2h?1?uf?vgh?1.1.设,gj)?1,,求证:f2?fm,g1g2?gn)?1.详证先证,g1g2?gn)?1??.对n作归纳.n?1时成立.假设n?1时成立.下证n时也成立,设,gj)?1,,由归纳假设,则,g1g2?gn?1)?1,由题1.3,则成立.同理,g1g2?gn)?
10、1,.最后,对于m,仍用最先所证方法即得要证问题.或提示反证,设,?gii?1j?1mnj)?d?1,存在不可约多项式p
11、d,推出矛盾.1.证明:若,g)?1,则g,f?g)?1.提示证,f?g)?1.问题,f?g)?,g)?.1.求多项式详解f?x3?px?q有重根的条件.2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创22/22精品文档f’?3x2?p,由于f是一个三次多项式,那么f有重根?f有重因式?,f’)?1.作辗转相除得:f?q1f’?r1,f’?q2r1?r2,其中12927q27q2q1?x,r1?px?q,q2?,r2?p?.
12、x?332p4p24p2上述运算中,若p?0,则必须q?0,f’)?1),若p?0,可运算到最后,为使27q2,f’)?1,必须r2?0,即p??0.4p2总之,必须4p3?27q2?0.x2xn???1.证明:f?1?x?不能有重根.!n!略证反证,设有重根为??f?0,f’?0???0?f?1,矛盾.问题nx2nx???f?1?x?是否有重根?!n!2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创22/22精品文档x2xpf?1?x?在Q上是否不可约?.1.若a是f’’’的一个k重根,证明:a是g的一个k?3重根,其中g?x?a[f’?f’
13、]?f?f.x?a1f’’?f’??f’),略证g’?22g’’?则g有重根,设重数为s则a:g’’的kx?a2f’’’,g?g’?0,?a:g’’的s?2重根,又由题设,?1重根,则s?2?k?1,s?k?3.?1重根?问题a:g’的k重根?a:g的k1.证明:a是f的k重根?而f?f’???f?0,f?0.略证由定理6推论1.f?f’?0,则a为f的重根,设重数为s,则a为的s?k重根,又由条件,a为以s?k?0,即s?k.1.102016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创22/22精品文档证明:如果f的0重根,所?x?1)
14、f1?x
15、f2,那么
16、f1,
17、f2.详证设?是x?x?1的一根,则?是其另一根.由于22x2?x?1?,并且
18、f1?xf2,那么
19、f1?xf2,
20、f1?xf2,则f1??f2?0,f1??2f2?0,即f1??f2?0,f1??2f2?0,所以f1?0,f2?0,即
21、f1,
22、f2.问题x2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创22/22精品文档4?x3?x2?x?1
23、x3f1?x2f2?xf3?f4?fi?0,?x3?x2?x?1
24、x4k?x4m?1?x4n?2?x4l?3?.提示利用4次单位根讨论.1.11判定多项式可约?略解作变换x?y?1,
25、则f?xp?px?1在有理数域上是否f?p?p?1p?1p?22?yp?C1y???Cy?2py?p?g,pp又p
26、Cip,,利用艾森斯坦因判别法即可.f?x5?x4?6x3?14x2?11x?3的有理根.r,r,s?Z,s?0,?1,则r
27、,s
28、1,那么可能的有理根为s1.1求多项式详解设其有理根为-1,1,-3,3.由综合除法则知f的有理根为-1,3.问题试在Q上分解多项式f?x5?2x4?4x3?4x2?5x?6.2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创22/22精品文档1.1用初等对称多项式表示如下对称多项式:f?222.详解f
29、是3元6次齐次对称多项式,首项为x1x2,利用基本定理的作法,则中间产生的序列.
