江苏省南通市如东县2022-2023学年高二上学期10月份阶段测试解析版

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高二年级上学期10月份阶段测试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.过，两点的直线的倾斜角是（）A.45B.60°C.120°D.135°【答案】D2.设a∈R，则“a＝－2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若a＝－2，则直线l1：－2x＋2y－1＝0与直线l2：x－y＋4＝0平行；若“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”，∴，解得a＝－2或a＝1，∴“a＝－2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的充分不必要条件．故选：A3.点到直线的距离大于5，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【详解】因为点到直线的距离大于5，所以，解得：或，所以实数的取值范围为.故选：B4.由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线－＝1(a>0，b>0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为(　　)　　　　A.y＝±xB.y＝±xC.y＝±xD.y＝±2x

1【答案】B【解析】　因为－＝1(a>0，b>0)，所以下焦点为(0，－c)，渐近线方程为y＝±x，即ax±by＝0，因为e＝＝＝2，解得＝，即＝，所以渐近线方程为：y＝±x.故选B.5.已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（　　）A．6B．5C．4D．3【答案】D【解析】，设椭圆的右焦点为，，当在的正上方时，等号成立.故答案为：D6.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【解】直线恒过定点，曲线表示以点为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆（包括点，．当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为；当与半圆相切时，由，得，切线记为．分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，7.已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由，消去参数得，所以在以为圆心，为半径的圆上，又点B是圆上的动点，此圆圆心为，半径为，，∴的最大值为．故选：C.

28.已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点，，若，在第一象限内的交点为P，且满足，设，分别是，的离心率，则，的关系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为，所以，所以所以，记椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，则由椭圆和双曲线定义可得：…①…②①2+②2可得由勾股定理知，，代入上式可得整理得，即所以故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若直线过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为（）A.B.C.D.【答案】ABC【详解】A：显然在上，且在x、y轴上的截距均为1，符合；B：显然在上，且在x、y轴上的截距均为3，符合；C：显然在上，且在x、y轴上的截距均为0，符合；D：不在上，不符合.故选：ABC10.已知，则下述正确是（）A.圆C的半径B.点在圆C的内部C.直线与圆C相切D.圆与圆C相交

3【答案】ACD【详解】由，得，则圆心，半径，所以A正确，对于B，因为点到圆心的距离为，所以点在圆C的外部，所以B错误，对于C，因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆C相切，所以C正确，对于D，圆的圆心为，半径，因为，，所以圆与圆C相交，所以D正确，故选：ACD11.已知双曲线C：的离心率为，且其右顶点为，左，右焦点分别为，，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（）A.双曲线C的方程为B.点A到双曲线C的渐近线的距离为C.若，则D.若，则的外接圆半径为【答案】ABD【解析】由离心率为，右顶点为可得，，故双曲线C的方程为，A正确；双曲线的渐近线为，故点A到双曲线C的渐近线的距离为，B正确；由双曲线的定义，，则或10，C错误；

4，则，的外接圆半径为，D正确.12.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F（0，2），椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（）A．椭圆的长轴长为B．线段AB长度的取值范围是C．△ABF面积的最小值是4D．△AFG的周长为【答案】ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且l经过点，则直线l的方程为▲．答案：14.经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是▲．答案：15.已知在平面直角坐标系xOy中，点A(－2,0)，B(4,0)，点P满足＝.则当P，A，B三点不共线时，△PAB面积的最大值为▲．【解析】　设P(x，y)，则|PA|＝，|PB|＝，因为＝，所以2＝，即4[(x＋2)2＋y2]＝(x－4)2＋y2，整理可得x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，如图所示：当P在圆心Q(－4,0)的正上方或正下方时，P到AB的距离最大，且为半径4，

5所以△PAB面积的最大值为×|AB|×|PQ|＝×6×4＝12.16.已知椭圆内一点，过点的两条直线，分别与椭圆交于，和，两点，且满足（其中且，若变化时直线的斜率总为，则椭圆的离心率为▲．【解答】解：设，，，，，，，，，，，，即，，同理可得，，，，，两点均在椭圆上，，两式相减整理得，，即，①，同理可得，②，①②得，，又，，即，离心率．故答案为：．四、解答题，本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（满分10分）已知直线l经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且________．

6（1）求直线l的方程；（2）求直线l与坐标轴围成的三角形面积．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．①与直线2x－y－1＝0平行；②直线l在x轴上的截距为－.【解析】　选①：(1)∵直线l经过直线l1：x＋y－4＝0与直线l2：x－y＋2＝0的交点P，∴解方程组解得即P(1,3)．………………2分∵直线l平行于直线2x－y－1＝0，∴设直线l的方程为2x－y＋m＝0，m≠－1把P(1,3)代入，得2－3＋m＝0，解得m＝1，………………4分∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.……………5分(2)在直线l：2x－y＋1＝0中，令x＝0，得y＝1；令y＝0，得x＝－.……………8分∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积：S＝×1×＝.……………10分选②：(1)∵直线l经过直线l1：x＋y－4＝0与直线l2：x－y＋2＝0的交点P，∴解方程组解得即P(1,3)，………………2分由题意知直线l的斜率存在，设为k，且k≠0，则l为y－3＝k(x－1)．∵直线l在x轴上的截距为－，∴＝－，∴k＝2，………………4分∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.………………5分(2)在直线l：2x－y＋1＝0中，令x＝0，得y＝1；令y＝0，得x＝－.…………8分∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积：S＝×1×＝.…………10分18.（满分12分）已知双曲线的两个焦点分别为，，且过点.（1）求双曲线C的虚轴长；（2）求与双曲线C有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程.【解析】（1）由题意，易知，，且.在中，………………1分由双曲线的定义可知，，，即.………………2分∵双曲线C的两个焦点分别为，，∴.………………4分

7又∵，∴故双曲线C的虚轴长为………………6分（2）解：由（1）知双曲线C的方程为.设与双曲线C有相同渐近线的双曲线的方程为………………8分将点的坐标代入上述方程，得………………10分故所求双曲线的标准方程为………………12分19.（满分12分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.军营所在区域可表示为.（1）求“将军饮马”的最短总路程；（2）因军情紧急，将军来不及饮马，直接从A点沿倾斜角为45°的直线路径火速回营，已知回营路径与军营边界的交点为M，N，军营中心与M，N连线的斜率分别为，，试求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）若军营所在区域为，圆：的圆心为原点，半径为，作图如下：设将军饮马点为，到达营区点为，设为A关于直线的对称点，因为，所以线段的中点为，则，………………1分又，………………2分联立解得：，即，………………3分

8所以总路程，要使得总路程最短，只需要最短，……4分即点到圆上的点的最短距离，即为.………………6分（2）过点A倾斜角为45°的直线方程为：，设两个交点，联立，消去y得.………………8分（3）由韦达定理，，………………9分………………10分.………………12分20.（满分12分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝4与x轴的正半轴交于点A，以A为圆心的圆A：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)与圆O交于B，C两点．（1）求·的最小值；（2）设P是圆O上异于B，C的任一点，直线PB，PC与x轴分别交于点M，N，求S△POM·S△PON的最大值．【解析】　(1)由对称性，设B(x0，y0)，C(x0，－y0)，则x＋y＝4，所以·＝(x0－2)2－y＝(x0－2)2－(4－x)＝2(x0－1)2－2，………………3分因为－2＜x0＜2，所以当x0＝1时，·取得最小值为－2.………………5分(2)设P(x1，y1)(y1≠±y0)，则x＋y＝4，直线PB的方程y－y1＝(x－x1)，令y＝0，得xM＝，直线PC的方程y－y1＝(x－x1)，令y＝0，得xN＝，……………7分

9分别所以xMxN＝＝＝4，……………9分于是S△POM·S△PON＝|OM|·|ON|·y＝|xMxN|·y＝y，……………11分因为－2≤y1≤2，所以当y1＝2或y1＝－2时，S△POM·S△PON取得最大值为4.……12分21.（满分12分）已知曲线上动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，若过的动直线与曲线相交于两点．（1）说明曲线的形状，并写出其标准方程；（2）是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)曲线为椭圆，标准方程为：；(2)存在定点，使得恒成立【详解】（1）设，则，………………2分整理可得：，………………4分曲线为椭圆，标准方程为：.………………5分(2)①当直线与轴垂直时，即，由椭圆对称性可知：，，点在轴上；………………6分②当直线与轴垂直时，即，则，，若存在定点，则由①知：点在轴上，可设，由得：，解得：（舍）或，；则若存在定点满足题意，则点坐标必然是，………………8分只需证明当直线斜率存在时，对于，都有成立即可.设，，，由得：，其中恒成立，，

10，………………10分设点关于轴的对称点为，则，，，，即三点共线，；综上所述：存在定点，使得恒成立.………………12分（另解：证得QA、QB的斜率相等，说明y轴是∠AQB的角平线，从而得证，同样给分）22.（满分12分）已知椭圆与直线有且只有一个交点，点P为椭圆C上任一点，，且的最小值为．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C交于不同两点A，B，点O为坐标原点，且，当△A0B的面积S最大时，求的取值范围．

11设，从而，T的取值范围是。………………12分