静电场Electrostaticfield

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第二章静电场Electrostaticfield

1本章研究的主要问题是：在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，如何求解电场。注意两点：①电荷静止，即：②电场不随时间变化，即:本章求解静电场的方法有：①分离变量法;②镜像法；③格林函数法。求解的依据是：唯一性定理。

2本章主要内容静电场的标势及其微分方程唯一性定理拉普拉斯方程，分离变量法镜象法格林函数法电多极矩

3§2.1静电场的标势及其微分方程Scalarpotentialanddifferentialequationforelectrostaticfield

41.静电场的标势和微分方程静电现象满足以下两个条件：即①电荷静止不动；②场量不随时间变化。故把静电条件代入Maxwell'sequations中去，即得电场满足的方程

5这两方程连同介质的电磁性质方程是解决静电问题的基础。根据电场方程（即的无旋性），可引入一个标势。在电磁学中，已知因为相距为两点的电势差为由于所以

6又因为在均匀各向同性的介质中，则有这里，故有即此方程称为泊松方程（Poissonequation).若在无源区域内（），上式化为

7此方程称为拉普拉斯方程（Laplaceequation)在各种不同条件下求解Poissonequation或Laplaceequation是处理静电问题的基本途径。2、静电场的基本问题如果电荷是连续分布的，则观察点处的标势为这个式子只反映了电荷激发电场这一面，而没有反映电场对电荷的作用另一面。如果空间还有导体存在的活，那么物理机制为

8考虑到感应情况，诸问题的模拟是：现在，要找出一个电荷对它邻近的电场是怎样作用的，一点上的电场和它邻近的电场又是怎样联导体++++++++++++----------给定电荷分布求空间一点电场分布而场引起导体上感应电荷分布而感应电荷分布反过来引起

9系的，即要找出电荷和电场相互作用规律的微分形式，而在导体表面或其他边界上场和电荷的相互作用关系则由边值关系和边界条件反映出来，称之为边值问题。（1）在介质的分界面上，电场满足的边值关系为且为电势所满足的边值关系：

10在介质分界面附近取两点1和2，而所以由于，故，且介质2介质12'1'21

11注意：可代替，即可代替证：∵可见而故有即得p2p1P'1P'2

12另外，由方程可得到：即也就是说，在两种不同介质的分界面上，电势满足的关系为

13（2）在介质与导体的分界面上的情况由于静电平衡条件，我们知道：导体内部；导体表面上的场强与表面⊥导体是等势体；导体内无电荷分布（），电荷只分布在导体的表面上（）。因此，在导体与介质的分界面上；导体1自由电荷σε介质2

14即有归纳起来，静电场的基本问题是：求出在每个区域(均匀)内满足泊松方程，在所有

15分界面上满足边值关系和在所研究的整个区域边界上满足边界条件的电势的解。3、利用静电标势来描述静电场的能量已知在线性介质中静电场的总能量为在静电情形下，能量W可以用电势和电荷表出。由得

16因此即若我们考虑的是体系的总能量，则上式的体积分是对全空间进行的。因此上式右边第二项的面积分是对无穷大的面进行的。有限的电荷体系在无穷远处的电势，电场，而面积~r2,故在r→∞时，面积分项的值=0，故有

17讨论：对的使用注意几点：（1）适用于静电场，线性介质；（2）适用于求总能量（如果求某一部分能量时，面积分项）；（3）不能把看成是电场能量密度，它只能表示能量与存在着电荷分布的空间有关。真实的静电

18能量是以密度的形式在空间连续分布，场强大的地方能量也大；（4）中的是由电荷分布激发的电势；（5）在静电场中，电场决定于电荷分布。在场内没有独立的运动。因而场的能量就由电荷分布所决定。（6）若全空间充满了介电常数为ε的介质，且得到电荷分布ρ所激发的电场总能量

19式中r为与点的距离。4、举例讨论[例1]求均匀电场的电势。Solution:因为均匀电场中每一点强度相同，其电力线为平行直线，选空间任一点为原点，并设原点的电势为。yoxpθ

20根据，得到故得到这里有个参考点选择问题[例2]均匀带电的无限长直导线的电荷线密度的λ，求空间的电势。Solution:

21选取柱坐标：源点的坐标为（0,z'），场点的坐标为（R,0），考虑到导线是无限长，电场强度显然与z无关。这里，先求场强，后求电势。场点pRozz'电荷源

22由于电荷元为，因此令

23且

24而故设p0点与导线的垂直距离为R0，则p点到p0点的电势差为

25若选p0为参考点（即），则

26§2.2唯一性定理Uniquenesstheorem

27本节内容将回答两个问题：（1）要具备什么条件才能求解静电问题（2）所求的解是否唯一

281、静电问题的唯一性定理（1）有介质存在的情况把一个区域V找分为许多小区域Vi，每一个小区域内介电常数为，它是各向同性的。每一个区域给定电荷分布SV

29已知：①在每个均匀区域中满足，即有几个区域就是几个泊松方程。②在各个均匀区域的交界面上，满足：至此，不知道边界条件，即不知道区域的边界S上的一些条件。这个问题正是唯一性定理所要解决的，下面讨论之。

30唯一性定理：设区域V内给定自由电荷分布在V的边界S上给定（i）电势或（ii）电势的法向导数，则V内的电场唯一地被确定。

31下面采用的证法：证明：设有两组不同的解和满足唯一性定理的条件，只要让得即可。令在均匀区域Vi内有

32在两均匀区界面上有在整个区域V的边界S上有或者为了处理边界问题，考虑第i个区域Vi的界面Si上的积分问题，根据格林定理,对已知的任意两个连续

33函数必有：令且

34对所有区域求和得到进一步分析：在两个均匀区域Vi和Vj的界面上,由于和的法向分量相等，又有，因此内部分界面的积分为

35(这里）因此故而在S面上，从而有

36由于,而,只有，要使成立，唯一地是在V内各点上都有即在V内任一点上，。由可见，和至多只能相差一个常数，但电势的附加常数对电场没有影响，这就是说静电场是唯一的。（2）有导体存在的情况

37讨论区域是导体外空间V，即V是由导体外表面S1，S2及S包面所围成的空间，当S在无穷远处时，所讨论的区域就是导体外的全空间V。约定：在无穷远处，电场为零，即在S面上或者表示成在此基础上，把问题分为两类：A类问题：已知区域V中电荷分布，及所有SVερS1S2

38导体的形状和排列；每个导体的电势都给定。B类问题：已知区域V中电荷分布，及所有导体的形状和排列；每个导体的总电荷都给定。因为导体面就是边界面，因此上述导体的电势或者总电荷就是边界条件。先用反证法证A类问题。证明：设存在着两个解和,这意味着在区域V内，和都满足泊松方程：

39第i个导体的表面为Si面上，该导体的电势为。那么，在Si面上，和都必须等于。即在S∞面上，令则有应用格林定理：

40令，有式中被积函数，要使上式成立，必然在V中每一点上有于是，V中每一点上，。

41但在导体表面上，，即得到常数=0，即，使得这就说明了对A类问题有唯一解。再用反证法证B类问题也设存在两个解和，则有令代入格林公式中，得

42因为在导体表面Si处，电势并没有给定，但根据电磁学中的知识，导体在静电平衡时为一等势体。虽然与不一定相等，但对同一导体而言，故可从积分号内提出来，于是

43现在分析：因为中，Si表示电场中第i个导体的表面，导体在静电平衡时，在导体外，紧靠导体表面处的场强方向与导体表面垂直，场强的大小与导体表面对应点的面电荷密度成正比，即从而得到

44这样就有式中和都表示第i个导体所带的总电荷，又因为它是给定的，即故对每一个导体表面都有此结论。因此得到

45同理，，要使上式成立，必然是即由于，此常数对电场无影响，所以此时仍说是唯一的。唯一性定理（另外一种证明方法）区域V由封闭面S0、S1、S2、···等所包围，其中S0是最外包围面。如果V内的电荷密度分布已知，并且各边界面满足下列条件之一时：S0VεS1S2

46(i)Si面上电势已知；(ii)Sj面上为等势面。未知常数，并且Sj面上流出的电通量已知。(iii)Sk面上的电场法线分量En已知。则区域V内电场强度被唯一确定。用反证法证明。证明：设有两上电势和，它们都满足场方程

47并满足上述边界条件，则，或者，和不必相等，可以相差一个常数，即要证明场中每一点成立，只需证明这里因为，并。要使其等于0，则必须。而由矢量恒等式

48则有其中因为所以即也就是现在考察上式右边的面积分之值。

49a)设Si面满足(i)类边界条件，则故Si面积分为零。b)设Sj面满足(ii)类边界条件，由于，故可以将从积分号内提出来，则有由于(ii)类边界条件中还包括有给定总通量值，即

50从而使得c)设Sk面满足(iii)类边界条件，则由于在Sk面上En值给定，故则

51由此可见，满足场方程组和边界条件的和必须满足等式即，唯一性定理证毕。2、用唯一性定理解决实际问题[例1]有一半径为a的导体球，它的中心恰位于两种均匀无限大介质的分界面上，介质的介质常数分别是与。若导体球总电荷为Q，求导体球表面处自由电

52荷分布。Solution:设导体球上下两半球各自带电量为q1和q2，则Q=q1+q2又因为导体球是等势体，上下半球电势相等，即Qa

53另外，总电荷Q一定，无限远处电势为0，故满足唯一性定理条件。根据唯一性定理，得到则得

54故即得到：电荷面密度为：

55[例2]两同心导体球壳之间充以两种介质，左半球介电常数为，右半球介电常数为。设内球壳半径为a，带电荷为Q，外球壳接地，半径为b，求电场和球壳上的电荷分布。baS1S2

56Solution:以唯一性定理为依据来解本题。a)写出本题中电势应满足的方程和边值关系以及边界条件此区域V为导体球与球壳之间的空间，边界面有两个，即S1和S2，S1是导体球表面，S2是导体球壳内表面,边界条件为：在S1上总电量是Q，在S2上。在两种介质中，电势都满足Laplace方程，在介质交界面上，电势连续，电位移矢量的法向分量连续（因为交界面上）。

57应满足的定解条件为：现在不论用什么方法，只要求出的点函数能满足上述条件，那么就是本题的唯一解。b)根据已知的定解条件，找出电势的解由于对称性,选取球坐标,原点在球心,直接积分

58可求得解，因为不难看出：在r=b处：

59从而得到同理，在r=b处：即得在两介质的交界面上：

60由此得到A=C又因为在两介质的交界面上，与，但都只与r有关，所以这样，也满足了Dn连续的条件。到此为止，在条件中，除了在S1面上总电量为Q外，也满足了其它全部条件，而也只剩下一个待定常数A。现在用必须满足在S1面上总电量等于Q这个条件来确定A，即

61

62故从而得到：c)电场和电荷分布情况根据电势所得到的结果，有

63相应地，有

64由此可见▲在导体球（r=a）表面上：可见▲在导体球壳内（r=b）处：

65也可看出：▲还可进一步求出束缚电荷（极化电荷）分布：已知所以

66而极化电荷体密度：即在两种介质中，极化电荷体密度都为零。▲在导体球表面上极化电荷面密度分布：

67▲故得到导体球表面上的总电荷分布：可见▲在两种介质交界面处：因为。因而，所以注意：在前面计算过程中，难得出导体球面上

68是常数，但是或在每个半球面上虽然都是常数，但，，即在球面上不是均匀分布的。现在来说明不能均匀分布的原因。假定是均匀分布的，那么由可见，在两个半球面上，因值不同而不同。导体球内的静电场由和共同激发，由于均匀分布，所以在球内的电场为零。但由于非

69均匀分布必将导致它在球内的场不为零，这样导体球就不能达到静电平衡。由此可见，要使导体球达到静电平衡，的分布必须是非均匀的。

70§2.3拉普拉斯方程，分离变量法Laplace'sequation,methodofseparatevariation

71本节内容主要是研讨Poisson方程的求解析方法。众所周知，电场是带电导体所决定的。自由电荷只能分布在导体的表面上。因此，在没有电荷分布的区域V里,Poisson'sequation就转化为Laplace'sequation，即产生这个电场的电荷都是分布于区域V的边界上，它

72们的作用通过边界条件反映出来：①给定②给定或导体总电量因此，讨论的问题归结为：①怎样求解（通解）Laplace'sequation.②怎样利用边界条件及边值关系求出积分常数。Laplace'sequation可以用分离变量法求通解，其求解条件是：①方程是齐次的。②边界应该是简单的几何面。

731、用分离变量法求Laplace'sequation的通解（1）在直角坐标系中设在数学物理方法中，该方程的通解的（A、B、C为待定系数）

74或者写成（2）在柱坐标系中设该方程的通解为

75其中，Jm为m阶第一类贝塞尔函数，Nm为m阶第二类贝塞尔函数。如果考虑与z轴无关（k=0）情况，并讨论的区域是，故通解为

76这里A，B，C，D为待定系数。（3）在球坐标系中设其通解为

77这里为缔合勒让德（Legendre)函数对于具有轴对称的问题，m=0(取此轴为极轴）且这里为勒让德函数，、为待定系数对于球对称的问题，m=0,n=0。且2、利用边界条件定解说明两点：

78第一，如果考虑问题中有i个区域（均匀分布），必须有i个相应的Laplace'sequation.第二，在每个区域的交界面上，应该满足边值关系：边界条件：及导体的总电荷

793、举例说明定特解的方法[例1]一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷为Q。同心地包围着一个半径为R1的导体球（R1

80即故定解条件为：边界条件：(i)因为导体球接地，有(ii)因整个导体球壳为等势体，有

81(iii)球壳带电量为Q，根据Gausstheorem得到第二步，根据定解条件确定通解和待定常数由方程式(1)、(2)可看出，电势不依赖于φ，取n=0；不依赖于θ，取,故得到导体球壳内、外空间的电势：

82由（3）式得从而得到

83由（4）式得由（5）式得即将（13）式代入（12）式，即得

84令因此得到：将A、B、C、D系数代入到（6）、（7）式，即得电势的解：

85导体球上的感应电荷为

86[例2]介电常数为ε的均匀介质球，半径为R，被置于均匀外场中，球外为真空。求电势分布。Solution:第一步：根据题意，找出定解条件。由于这个问题具有轴对称性，取极轴z沿外电场方向，介质球的存在使空间分为两个均匀区域—球内、球外。两区域内都没有自由电荷。因此电势满足Laplace'sequation。以代表球外区域的电势，代表球内区域的电势，故zR

87

88第二步：根据定解条件确定通解和待定常数由于问题具有轴对称性，即与无关，故由（2）式得比较两边系数，得

89由（6）式得从中可见故有：

90再由（3）、（4）式或者（7）、（8）式得到：比较的系数，得

91由（15）、（16）式给出：由（13）、（14）式给出

92由此得到电势为▲相应地，球内、外的电场强度为

93其中第二项和第三项之和实际上是一个等效的放在原点的偶极子在球外产生的电场，其电偶极矩为因此，球外区域的电场为：而

94同理得到

95由此可见，球内的场是一个与球外场平行的恒定场。而且球内电场比原则外场为弱，这是极化电荷造成的。▲在球内总电场作用下，介质球的极化强度的▲介质球的总电偶极矩为

96§2.4镜象法Methodofimages

97根据前面的内容讨论知道：在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用Laplace'sequation求解场分布；在所考虑的区域内有自由电荷分布时，且用Poisson'sequation求解场分布。如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面，这类问题又如何求解？这就是本节主要研究的一个问题。解决这类问题的一种特殊方法—称为镜象法。

981、镜象法的基本问题在点电荷附近有导体或介质存在时，空间的静电场是由点电荷和导体的感应电荷或介质的束缚电荷共同产生的。在所求的场空间中，导体的感应电荷或介质的极化电荷对场点而言能否用场空间以外的区域（导体或介质内部）某个或几个假想的电荷来代替呢？光学理论给我们的启发，看过哈哈镜的人会有这样的印象：平面镜内的象与物大小一样，凸面镜内的象比物小，凹面镜内的象比物大。当我们把点电荷作为物，把导体或介质界面作为面镜，那么导体的感应电荷或介质的极化电荷就可作为我们所说的象，然后把物和象在场点处的贡献迭加起来，就是我们讨论的结果。

992、镜象法的理论基础镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在的“象电荷”来代替真实的导体感应电荷或介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时候，必须保证原有的场方程、边界条件不变，而象电荷的大小以及所外的位置由Poisson'sequationorLaplace'sequation和边界条件决定。这里要注意几点：a)唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分

100布所满足的Poisson'sequationorLaplace'sequation。因此，在所研究的场域内不可放置象的电荷，也就是说，象电荷必须放在研究的场域外。b)由于象电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷的作用，因此放置象电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存在。也就是把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其介电常数应是所研究场域的介电常数。c)象电荷是虚构的，它只在产生电场方面与真实的感应电荷或极化电荷有等效作用。而其电量并不一定与真实的感应电荷或真实的极化电荷相等，不过在

101某些问题中，它们却恰好相等。d)镜象法所适应的范围是：①场区域的电荷是点电荷，无限长带电直线；②导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面（球面、柱面、平面）。3、镜象法的具体应用用镜象法解题大致可按以下步骤进行：a)正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件；b)根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置；

102c)由已知电荷及象电荷写出势的解析形式；d)根据需要要求出场强、电荷分布以及电场作用力、电容等。下面按界面形状的不同分类举例讨论：（1）界面为平面的情况[例1]接地无限大平面导体板附近有一点电荷，其电量为Q，距板a处，求空间中的势分布。ySoaQx

103Solution:根据静电屏蔽可判定接地导体板左半空间没有电场。右半空间的电场是Q及S面上的感应电荷面密度共同产生的。以假想的点电荷Q'等效地代替感应电荷，右半空间的电势必须满足以下条件：

104为了满足方程（1），假想的电荷Q'必须在左半空间内，这样才能使原方程不变，由（2）、（3）可求出Q'的位置及大小，等效图为因此，在右半空间任一点的电势为：θabr'ryxRP(x,y,z)Q(a,0,0)Q'(-b,0,0)

105这里因为：

106故有：由（3）式得到，要使该式成立，只有故得到

107讨论:▲如果导体板不接地，左半空间有电场存在。这时左、右两半空间的电势必须满足以下条件：

108▲现在求无限大接地导体板平面上的感应电荷分布情况：根据导体平衡条件，导体面上有所以其中

109故可见与Q异号，这是合理的。▲进一步求无限大导体面上的总感应电荷Q感：因为S板面在y,z平面上，

110所以yxozdsρθ

111故可见，导体板面上总感应电荷Q感恰好等于点是荷Q的电量。▲最后，求点电荷Q受到的作用力：因为力密度

112而所以总力为故有

113这正好说明是源电荷Q与象电荷的库仑力（吸引力）。

114▲镜象法的图形与光路用此图比较：但要注意：光线是直线传播到导体板面上的。有的地方是与板面⊥，有的地方是与板面有一定夹角；但电力线切线方向是场强的方向，电力线在板面附近处处与板面⊥，这一点通过静电平衡原理可知。Q‘Qba根据光的反射可找到Q'的大小和位置

115[例2]在无穷大空间中充满介电常数为和的两种均匀电介质，其分界面为平面。设在介质中放一点电荷Q，其所在位置距分界面为a，试求二介质中的电势分布。Solution:设中电势的，中的电势为，并满足如下定解条件：Qa

116处理问题的方法是：a)求空间的电势时，设想将半空间换成与半空间一样，而以假想的电荷Q'来代替分界面上极化

117电荷对半空间的场的影响；b)求半空间的电势时，设想将半空间换成半空间一样，而以假想的电荷Q"来代替Q和分界面上的极化电荷对半空间场的影响。由此可见：xxSS右半空间左半空间acbQ'Q"Qr"rr'RooP(x,y,z)yy换成P'换成Rθ

118在x>0的区域，空间一点的电势为在x<0的区域，空间任一点的电势为

119由（5）式得即有

120故得再根据电荷守恒守律：Q=Q'+Q"(9)将（9）式代入（8）式，即有要使该式成立，必有

121b=c=a(10)再根据（4）式，则有即

122由此可见：从而得到：

123故最终得到x>0区域电势为：x<0区域电势为：

124▲分界面为介质时，镜象法与光路图比较：根据光的反射可找到Q'的大小和位置；根据光的折射可找到Q"的大小和位置，（但严格说来光线在不同介质内传播，其方向有所改变。这里仅仅是理想化的，根据实际问题类比思维）。Q‘Qba折射反射

125（2）界面为球面的情况[例3]有一半径为Ro的接地导体球，距球心为a(a>Ro)处有一点电荷Q，求空间的电势分布。Solution:取球心为坐标原点，球心到点电荷Q的方向为x轴，设Q的坐标为（a,0,0)。根据静电平衡条件（现象）。球内的电势为零。故只讨论外空间的电势即可。aQRo

126球外空间的电势由Q及球面上感应电荷共同激发的，其电势所满足的定解条件为：用一个象电荷Q'来代替球面上的感应电荷，为了不改变原方程，Q'必须在球内，并距球心为b，故等效为：

127球外空间一点的电势为RobQ'aQxrr'P(x,y,z)θ

128在b

129移项得到式中，左边为一常数，右边含有变量，对任何值都要使上式成立，只有使两边都等于零，即由（4）式得将（6）式代入（5）式得

130即解此二次方程，得到将此代入（6）式，即有

131分析这里解的形式，可知b=a不符合物理要求，由于此时Q'在球外空间，改变了原方程，故b=a及Q'=±Q应该舍去。又由于（2）式的要求，不符合要求。至此只有解

132才是符合要求的解。因此，球外空间任一点的电势为▲球面上的感应电荷面密度：

133▲总感应电荷为即感应电荷的大小等于象电荷Q'的大小。▲也可以这样证明：根据Gauss定理，对球作Gauss面，即aQRoQ感bQ'

134式中的是象电荷Q'和真实电荷Q共同产生的，即故Q感=Q'即感应电荷的电量Q感等于象电荷的电量Q'。

135▲根据上述例子，作如下几点讨论：a)导体球既不接地又不带电这种情况与[例3]的差别仅在于边界条件，这里导体球不带电，即要求满足电中性条件显然，[例3]的解（8）式不满足电中性的条件，如果在球内再添置一个象电荷，则满足电中性条

136件，为了不破坏导体是等位体的条件，由对称性知道，Q"必须放在球心处，于是再由

137得到b)导体球不带电其电势的U0这种情况与[例3]的差别仍然在边界条件，这里U0是已知常数，导体球的电势为U0，相当于在球心处放置了电量为的点电荷，显然，其解为

138由得到c)若点电荷Q在导体球壳内距球心a处这时与[例3]的情况相比，仅是源电荷的位置由球

139外搬进到球内。此时，接地球壳外无场强，场的区域在球内。故可根据光路可逆性原理来解释：球内的电势等于源电荷Q和球面上的感应电荷（球壳内表面）—象电荷Q'（在球外处）产生的电势：这里要注意：象电荷的电量Q'大于源电荷的电量Q，球内的电势与导体球是否接地、是否带电无关。

140d)若导体球带电q但不接地这种情况的物理模型为：则球心有电荷（q-Q')，则P点的电势为RobQ'aQxrr'Pq-Q'

141由得到

142▲顺便计算导体对点电荷Q的作用力：此时，源电荷Q所受到的作用力来自球面上的电荷，即从而得到

143▲当a>>R0，，即近似为两点电荷作用，作用力为排斥力；▲当Q靠近球面时，，此时不论q与Q是否同号，作用力永远为引力，这可由在Q附近的感应电荷与其反号来解释。

144ooaaQ'Q'QQ点电荷Q在球内点电荷Q在球外bb▲镜象法与光路图比较

145[例4]均匀场中的导体球所产生的电势由于静电屏蔽，场区域只能在球外。Solution:本题的物理图象是在原有的均匀电场中放置一中性导体球。此时导体球上的感应电荷也要在空间激发场，故使原来的场空间电场发生了变化，如图所示。由此可见，球外空间任一点的场将是一个均匀场和一个球体感应电荷等效的偶极子的场的迭加。R0------++++++

146第一步：用两个点电荷±Q激发一均匀场点电荷±Q放在对称轴z=±a处，a很大，Q也很大，在坐标原点附近的区域内。第二步：将一中性导体球放在均匀场中+Q-Qzaao

147这样一来，±Q相当于两个场源电荷，球面上将出现感应电荷，由象电荷来代替它，即此时+Q在球面上感应的电量为，-Q在球面上感应电量为，这仍然保持导体球为电中性（不管导体球接地与否）。根据唯一性定理，导体球外的+Q-QzaaR0bbo

148电势就是这四个点电荷分别在某点产生的电势的迭加，即因为a>>R，则选略去和

149即又因为皆为小量，应用展开式

150则有

151令则的第一项恰好等于一个原均匀场以o点为参考点电势。第二项恰好等于位于o点的电偶极矩为的电偶极子的电势。（3）界面为柱面的情况[例5]有一线电荷要密度为η的无限长带电直线与半径为R0的接地无限长导体园柱轴线平行。直线与园柱轴

152线的距离为a(a>R0),试求空间的电势分布。Solution:由于导体柱面把整个空间分成柱内、柱外两个区域，而柱内有，柱外区域电势满足定解条件：yaaηxηR0R0

153处于带电直线的电场中的导体园柱，其柱面上要出现感应电荷，空间任一点的电势就是带电线和感应电荷分别产生的电势的迭加。现在，假定导体园柱面的感应电荷密度为，到轴线的距离为b，由于原带电直线不仅带电（均匀）而且是无限长的，导体园柱也是无限长的，故垂直于柱轴的任何平面上的电势分布是完全相同的，即是一个二维场，因此可取一个垂直于柱轴的平面来讨论

154即若取oa连线与圆柱面的交点为电势参考点。则园柱外空间任一点的电势为Robλ'aηxrr'P(x,y)θR0

155其中由（2）式得

156即要使该等式成立，必有由（4）式，即有

157比较两边系数，即由（6）式得化简（7）式得到：解这下一元二次方程得到

158其中b1=a不符合物理要求。故有：因而柱面外任一点的势为

159（4）界面为劈形的情况[例6]有两个相交的接地导体平面，其夹角为，若在所夹区域内有一电量为Q的点电荷，求下列情况下所夹区域内的电势：

160Solution:从上面的例子可以看出，用镜象法处理问题时，只要象电荷都放在所考虑的区域之外，就不会改变电势在该区域内所满足的泊松方程。故检验解是否正确的关键是看它能否满足全部边界条件。Q

161▲下面按夹角不同情况分别讨论其电势分布情况。a、APB-QQ-QQorr1r2Rr3132

162所考虑的区域内，势满足定解条件。为了使A板的电势为零，应在以A板为对称面，将A板上的感应电荷以象电荷-Q放置在与源电荷Q对称的位置“1”处，要使B板的电势为零，应以B板为对称面，将B板上的感应电荷以象电荷-Q放置在与源电荷Q对称的位置“2”处，而且还需在“1”相对于B板的对称位置“3”处放置+Q的象电荷，才能保证，不难看出，此时也满足于是所考虑区域内任一点

163的电势为b、BAQ+Q+Q-Q-Q-Q12345

164要保证上则必须有5个象电荷，其位置，大小和符号如图示，于是所求区域内电势为c、BAQ+Q+Q-Q-Q-Q123452-Q+Q

165要保证则必须有7个象电荷，故电势为一般说明：只要满足偶数的情形，都可用镜象法求解，此时象电荷的个数等于，加上原来的电荷总共有个，这些点电荷都在过原点电荷与两导体面的交线垂直面内。而且都在此垂面与交线的交点为圆心，交点到原点电荷处的距离为半径的圆周上。若不满足该条件，则象电荷在所求区域内，改变了原方程，否掉。

166§2.5格林函数法MethodofGreenfunction

167本节要介绍的是一种用Green定理来求解静电边值问题的方法。即给定区域V内电荷分布，和区域V的边界面S上各点的电势或电势法向导数，求区域V内各点的电势值。如果边界条件是给定S上的电势，这类边值问题称为第一类边值问题，也称狄利克莱边值问题；如果边值（界）条件是给定S上的，这类边值问题称为第三类边值问题，也称诺埃曼边值问题。

168在这里，我们将要讨论这些边值问题是怎样借助于有关点电荷的较简单的边值问题而得到解决的。1、点电荷密度的函数表示因为点电荷分布的特点是在点电荷所在处的电荷密度变为无穷大，而在其他地方电荷密度为零。若在处有一点电荷Q，则电荷密度可写为显然

169对于单位点电荷而言，Q=1，其密度为2、Green函数一个处在点上的单位点电荷，它所激发的电势方程为假设有一包含点的某空间区域V，在V的边界S上有如下边界条件

170则把满足边界条件（4）式的（3）式的解称为泊松方程在区域V的第一类或第二类边值问题的Green函数。Green函数一般用表示，表示单位电荷所在的位置，代表观察点，在（3）式和（4）式中，把换成G，即Green函数所满足的方程和边界条件为3、Green公式和边值问题的解

171在这里，将用Green公式把一般Poisson方程的边值问题的解用Green函数联系起来。（1）先看Green公式的两种形式根据Gauss定理，知道当均为连续，可微的标量点函数，故

172又于是，有式中V为包围面S所围的面积，该式称为Green第一公式。如果上式中的对调，即，同理得到

173将（6）式减去（7）式，得该式称为Green第二公式Green第一、第二公式是等价的。同时，视方便而选取之。Green公式对解静电问题的意义是：在区域V内找一个待定函数（为待求），通过这个公式从已知确定未知。（2）边值问题的解给定一个区域V，其中给定了

174且待求的边值问题：相应的Green函数问题是：边界条件：现在，取满足V给定了S

175取满足代入Green第二公式，有因为Green公式中积分，微分都是对变量进行的，由于Green函数关于源点和场点是对称的，即，为方便起见，把变量换为，故有改为，即得

176该式左边第二项为得到

177故得到这就是用Green函数求解静电问题的一种形式解。讨论几点：a)在区域V中，任一点的势唯一地决定电荷分布及边界的值

178b)如果所取的Green函数属于第一类问题，即这时则有这实质上就是第一类边值问题的解c)如果所取的Green函数属于第二类问题，即在这里要说明一点的是：对第二类静电边值问题不能用第二类齐次边界的Green函数，即，因

179为Green函数所代表的物理意义是在处存在一个单位电荷在空间所激发的电势。因此即代表单位电荷在边界上所激发的电场，由Gauss定理知道由此可见故

180从而，Green函数在边界上的最简单的形式是取这样且有第二类静电边值问题的Green函数解的形式：式中为在边界面S上的平均值。

181在实际问题中，常遇到这类问题：在所考察的区域包含有无穷大的边界面，假如，考察一导体球外的空间电势分布问题，这时所考察的区域是球面和无穷大曲面间包围的区域，所以这时边界面S→∞故有于是故得到

182此式称为外问题的Green函数解的形式。4、Green函数的制作以上的讨论，表面上制裁似乎把静电边值问题的解找到了，其实并作为此，因为只有把问题的Green函数找到了，才能对表达式（第一类边值问题的形式解和第二类边值问题的形式解）作出具体的计算。实际求Green函数本身并不是件容易的事，所以以上解的形式只具有形式解的意义。当然，它把唯一性定理更具体地表达出来了。在这里介绍几种不同区域的Green函数的制作方法。

183（1）无界空间的Green函数即在无穷大空间中放一个单位点电荷，求空间某处的电势，也就是Green函数。其中，代表单位电荷的所在位置（源点坐标），代表观察点坐标（场点坐标）。现在，证明上述Green函数是否满足Green函数所满足的微分方程。证明：选电荷所在处为坐标原点，即，在球坐

184标系中考虑球对称性，得到而当r=0时，取一小球面S包围着原点，取对小球体积V积分，即

185从函数性质可知，保持小体积V的面积为1，从而有故得到

186与微分方程比较，即有这里把与互换，不变，即有这就说明Green函数具有对称性。（2）上半空间的Green函数即在接地导体平面的上半空间，由于，属于第一类边值问题。

187根据镜象法得到：yzor2r1

188这也可看到（3）球外空间的Green函数即在接地导体示外的空间，由，属于第一类边值问题。yzxRR'R0r'αθθ'o

189其中：根据镜象法得

190在制作Green函数时，必须注意：求Green函数本身不是很容易的，只有当区域具有简单几何形状时才能得出解析的解，如果时，Green函数法也可以用来解Laplaceequation的边值问题。5、Green函数法的应用举例[例]在无穷大导体平面上有半径为a的园，园内和园外用极狭窄的绝缘环绝缘,设园内电势为V0，导体板其余部分电势为零，求上半空间的电势。

191Solution:静电问题：axyzRP(ρ,φ,z)P'(ρ',φ',z')V0

192此题Green函数满足的形式为相当于无穷大金属平板旁边放置单位电荷求电势问题

193其Green函数为其中：换为柱坐标，且有故Green函数为

194又∵电荷密度，还有故得到因为积分面S是z'=0的无穷大平面，法线沿-z'方向，而

195由于S上只有园内部分电势不为零，因此式子中的积分只需对r≤a积分，即可。

196故在很远处，(R2+z2>>a2)的电势可以展开成幂级数，积分的被积函数分母展开

197其中注意到cos(φ-φ')对φ'一个或数个2π周期的积分为零，故

198§2.6电多极矩Electricmultipolemoment

199本节所要讨论的问题是：在真空中，假若激发电场的电荷全部集中在一个很小的区域（如原子、原子核内），而要求的又是空间距场源较远的场，这时可以采用多极矩近似法来解决问题。1、多极矩的概念对于带电体系而言，若电荷分布在有限区域V内，在V中任取一点o作为坐标原点，区域V的线度为l，场点P距o点为R。多极矩法是讨论R>>l情况下的场分布问题。

200以一个最简单的例子来说明：假设V中有一个点电荷Q，位于（a,o,o）点上，如果对远处产生的电势来说，相当于xyzoQa=xyzoQ+xyzoQaxyzoQa-QxyzoQ零级近似

201如果作为一级近似，且o=+o+xyzQaxyzoQxyzoQa/2-Qxyz-Q-QQ+Q

202如果作二级近似，同理得到xyzoQ+xyzo+Q-Q一级近似xyzoQa=xyzoQ+xyzoQa/2-Q

203xyzo-QQQxyzo-Q-Q-Q-Qa/4Q-QQQQxyzoxyzo+-QQQa/2二级近似

204总之，移动一个点电荷到原点，对场点产生一个偶极子分布的误差；移动一个偶极子到原点，对场点产生一个电四极子分布的误差；移动一个电四极子到原点，对场点产生一个电八极子分布的误差；……。xyzo-QQQ-Q-Qa/4+

2052、点电荷系的多极展开式假定V内都是点电荷，其中第i个点电荷qi位于点A处，如图所示。符合R>>l的条件，P点的电势为zxPyAqjqiqkol

206因为令，则相对于原点，有

207其中表示在点o处的电荷的电势；

208表示在点o处的电偶极矩的电势；表示在点o处的电四极矩的电势。各个包含cosθ的因式就是级数的勒让德多项式Pn(cosθ)。实际上，通过这个多极子的展开式，P点的电势可写为

2093、连续分布电荷体系的多极子展开式若区域V内电荷是连续分布的，且电势为由于源点到场点的距离远大于带电区域V的线度，故可将对在原点附近作泰勒级数展开。zxPyVoρ

210在一元函数f(x)情况下，在原点x=0邻域的泰勒级数为：如果在x=a邻域展开，泰勒级数是：对于三元函数f(x,y,z)，在原点x=0,y=0,z=0邻域的泰勒级数是：

211如果在x=a,y=b,z=c点邻域展开，且展开式为

212有了以上泰勒级数展开式，把代替f(x)，因r是的函数，即。把场点固定不变。而让源点变化，并把在原点o附近展开，且有

213因为

214

215所以从而得到令

216故得到讨论展开式的每项物理意义：▲展开式的第一项：

217表示体系总电荷集中于原点的势，它作为小区域带电系在观察点的势的零级近似。▲展开式的第二项：表示体系总偶极子集中于原点处，对场点产生的势，它作为体系在观察点的势的一级近似。▲展开式的第三项：

218表示体系总四极矩集中于原点处，对场点产生的势它作为体系在观察点的势的二级近似。综上所述，展开式表明：一个小区域内连续分布的电荷在远处激发的场等于一系列多极子在远处激发的场的迭加。讨论：（1）如果带电体系的总电荷为零，计算电势时必须考虑偶极子，只有对原点不对称的电荷分布才有电偶极矩；如果带电体系的总电荷为零，总电偶极矩也为零，计算电势时必须考虑电四极矩。只有对原点不是球对称的电荷分布才有电四极矩。

219（2）对电四极矩的进一步认识电偶极矩是一个张量，有9个分量，即也可以写成其中i,j=1,2,3

220▲下面主要证明电四极矩的9个分量，只有5个分量是独立的：a）因为，，。则的9个分量只有6个分量独立。b)又因为即这里的为单位张量。

221现在，选择一个量乘以故有将此式加到中去，并不改变的值，即

222重新定义：或者

223根据的重新定义式可以看到：

224即由此可见，张量的9个分量只有5个分量是独立的。（3）几种典型的多极矩产生的场a）分析：体系可看成小区域（R>>l），体系对原点而言是不对称的，总电荷为零，故没有零级近似。但是，zP(x,y,z)-q(o,o,-z´)oq(o,o,z´)lθRr-r+

225总偶极矩不为零，即则

226b）分析：体系为小区域（R>>l），体系内总电荷为零，总偶极矩为零，故没有零级近似和一级近似。由于电荷分布不具有球对称性，可见有电四极矩存在。故有zP(x,y,z)-qolθRr-r+qq-qba

227这里即

228c)半轴为a,b,c椭球体内均匀带电，总荷为Q，求它相对于椭球中心的电偶极矩、电四极矩以及准确到二级近似的在远处的电势，并讨论旋转椭球(a=b)和球体(a=b=c)的情况。分析：体系总电荷为Q，其密度为，由于积分都是对椭球进行的，为此引入广义球坐标变换：

229由其中雅可比行列式为

230

231故得体积元为▲对于广义球坐标是从原点积分到椭球面上，应决定于椭球面：即

232可见r'=1所以，对于r'积分区域：r':0→1.即是说，这个变换是把半轴为a,b,c的椭球变在单位球，于是积分区间为该电荷系统电偶极矩各分量为

233

234故，这说明均匀带电椭球相对于原点的偶极矩为零。▲对于电四极矩，由于

235从而有其中

236故

237同理：

238另外：

239至此，根据电势的表达式，即有

240当a=b时，是回转椭球，此时x2+y2=R2-z2，则故当a=b=c时，是均匀带电球体，此时

241故4、电荷体系在外电场中的能量设电荷系建立的电势为，另一个电荷系建立的电势为，分布于，分布于总电荷分布为总电场能量为

242显然，该式意义为：第一、二项分别是.单独存在时的能量，常称为自作用能Wm；第三项表示两电荷系间相互作用Wi能，因此电荷体系在外电场中的能量为

243因为所以

244交换积分次序，故得到该式即为电荷体系在外场中的能量。假设电荷系分布的区域V是外场中一个小区域，在其中外场的势变化不大，取其中一点为坐标原点，则可对在原点附近作泰勒级数展开：则得

245其中：展开式第一项表示把体系电荷集中于原点时，一个点电荷在外场中的能量，作为零级近似的结果。展开式第二项：表示把体系的电偶极矩集中到原点时，一个电矩在外场中的能量，作为一级近似的结果。

246展开式的第三项：表示把体系的电四极矩集中到原点时，一个电四极矩在外场中的能量，作为二级近似的结果。综上所述，一个小区域内连续分布的电荷在外场中的能量等于一系列多极子在外场中的能量之和。5、电偶极子在外场中所受到的力和力矩一个电偶极子在外场中的能量为

247若电偶极子相对外场有一平移或转动，而偶极矩的大小和外场保持不变，则由平移或转动引起的系统能量的变化也就等于相互作用能的变化，即若偶极矩平移，则从能量守恒得即利用而为常矢，即得

248同理，将偶极矩转动一个，力矩作的功为故因为的大小不变，仅改变方向，故这样，且有即得到