《建筑力学ppt课件(完整版)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
建筑力学
1本课程内容绪论第1章力、力矩、力偶第2章平面力系的合成与平衡第3章空间力系第4章轴向拉伸与压缩第5章扭转
2第6章梁的应力第7章梁的变形第8章杆件在组合变形下的强度计算第9章压杆稳定第10章平面体系的几何组成分析第11章静定结构的内力分析第12章静定结构的位移计算第13章用力法计算超静定结构第14章位移法和力矩分配法
3第一章绪论（1）与结构专业相适应正确处理建筑与结构的关系，使设计出来的建筑物符合设计原则与规律。（2）注册建筑师考试注册建筑师考试内容：第一部分：建筑设计第二部分：建筑结构第三部分：建筑经济、施工与设计业务管理1.建筑学专业学习建筑力学的必要性
4（3）本门课程将理论力学、材料力学、结构力学三大力学贯通汇成一体。2.力学的发展过程阿基米德·史特芬（公元前287-212年）伽利略（1564-1642）牛顿（1642-1727）……
5力学分支：理论力学、材料力学、结构力学、水力学、土力学、弹性力学、塑性力学、断裂力学、流体力学等。随着近代物理的重大发展，出现了适用于接近光速物体运动的相对论力学和适用于微观粒子运动的量子力学。
63.建筑力学的任务建筑力学的主要任务是讨论和研究建筑结构及构件在荷载或其它因素（支座移动、温度变化）作用下的工作状况：
7⑴力系的简化和力系的平衡问题；⑵强度问题；⑶刚度问题；⑷稳定问题；⑸研究几何组成规则，保证结构各部分不致发生相对运动。
84.荷载的分类主动力:使物体运动或使物体有运动趋势。如：重力、风压力是主动力。约束力:阻碍物体运动。如：柱子对屋架的支承力。荷载：作用在结构上的主动力。反力:约束力。内力:在外力作用下，结构内各部分之间产生的相互作用力。
9（1）荷载按其作用在结构上的时间久暂分为恒载和活载。恒载:指作用在结构上的不变荷载。即在结构建成后，其大小和位置都不再发生变化的荷载。例如：自重和土压力。活载:指在施工和建成后使用期间可能作用在结构上的可变荷载。例如：风荷载、雪荷载。
10（2）荷载按其作用在结构上的分布情况分为分布荷载和集中荷载。①分布荷载：均布荷载（如：梁自重）非均布荷载（如：水池侧壁水压力）②集中荷载:指作用在结构上的荷载一般总是分布在一定的面积上，当分布面积远小于结构的几何尺寸时，则可认为此荷载是作用在结构的一点上，称为集中荷载。
11①静荷载：指荷载从零慢慢增加至最后的确定数值后，其大小、位置和方向就不再随时间而变化，这样的荷载称为静荷载。如：结构自重。（3）荷载按其作用在结构上的性质分为静荷载和动荷载
12②动荷载：是指荷载的大小、位置、方向随时间的变化而迅速变化，称为动荷载。如：动力机械产生的荷载、地震力等。结构的自重既是恒载又是分布荷载，也是静荷载。
132.支座的形式、反力分析及计算简图等（1）支座的形式及反力支座：一个结构物与基础或地面连接的装置（构造形式）称为支座。几种常见的、典型的支座：①活动铰支座（滚轴支座）结构可以绕A转动，也可水平移动。只有垂直于支承面的法向反力RA。
14
15
16例如：在房屋建筑中，某些构件支承处垫上沥青杉板之类的柔性材料，可以看成是活动铰支座。②固定铰支座：支座在垂直和水平方向均不会移动，只允许绕A转动。所以，在A点有水平反力HA和竖向反力RA。
17
18例如：搭在墙上的梁端;插入杯形基础的（填沥青麻丝）柱端;都可视为固定铰支座。
19
20③固定支座：限制水平移动、竖向移动和转动。在A点有水平反力HA竖向反力RA，和反力矩MA。
21例如：房屋雨篷;阳台;插入杯形基础的（细石混凝土填实）柱端;都可视为固定支座。
22
23
24④定向支座：见上图。只允许水平移动，不能发生竖向移动和转动。在A点有竖向反力RA和反力矩MA。常用在对称结构只计算一半时的截开处。
251.2.2结构的计算简图（1）计算简图：用简化的图形代替实际的结构。原则：①忽略次要因素，尽量能反映结构的主要受力情况。②使计算工作尽量简化，计算结果要有足够的精确性。
26（2）杆件及杆与杆之间的连接构造的简化杆件：截面尺寸比长度小得多，在简图中用其纵轴线来表示。如：梁、柱用相应的直线来表示，曲杆则用相应的曲线来表示。
27结点（或节点）：杆件与杆件的连接处。可简化为铰结点和刚结点。铰结点：各杆可以绕结点中心自由转动。例如：屋架（桁架）、木结构中的连接。
28刚结点：结构发生变形时，结点处各杆端之间夹角保持不变。例如：钢筋混凝土框架中的梁与柱的连接就是刚性连接。
29（3）支座的简化根据实际构造和约束情况，按上一节所述的内容进行简化。（4）荷载的简化把实际结构构件受到的荷载，在计算简图中简化为作用在纵轴线上的线荷载、集中荷载和力偶。
30一般情况下：重要的结构，取比较精确的计算简图；初步设计阶段取粗略的计算简图；技术设计阶段取比较精确的计算简图；静力计算时取比较复杂的计算简图；动力计算时取比较简单的计算简图；电算时采用较精确的计算简图。
311.2.3杆系结构的分类（1）杆系结构的分类①按空间观点：可分为平面结构和空间结构。②按几何观点：可分为杆件结构、薄壁结构、实体结构。
32杆件：长度远远大于截面的宽度和厚度。薄壁：厚度远小于其他两个尺度。实体：三个方向的尺寸大约为同量级。如：堤坝、基础和挡土墙等。本课程仅研究和讨论平面杆系结构。
33（2）常见的杆系结构形式①梁（beam）:受弯杆件，有单跨和多跨连续的形式。②刚架（rigidframe）:由直杆组成，各杆主要受弯曲变形，结点大多数是刚性结点，也可以有部分铰接点。③拱（arch）:轴线是曲线，在竖向荷载作用下，不仅产生竖向反力，还产生水平推力。④桁架（truss）:由直杆组成，各结点假设为理想铰接点，荷载作用在结点上，各杆只产生轴力。⑤组合结构（compositetruss）:一部分是桁架杆件，只承受轴力，另一部分是梁或刚架杆件，即受弯杆件，由两者组合而成的结构称为组合结构。
34（3）各向同性假设：材料在各个方向上的力学性能完全相同。各向同性材料：钢材、铸铁、玻璃,混凝土……各向异性材料：木材、复合材料……
35(4)构件在受外力作用时将发生变形①弹性变形：撤除外力后，构件能恢复的变形部分称为弹性变形。②塑性变形：撤除外力后，构件不能恢复的变形部分称为塑性变形。
361.2.5杆件的几何特性与其基本变形形式（1）杆件的几何特性纵向：杆件的长度方向。横向：垂直于长度的方向。横截面：垂直杆件长度方向的截面。轴线：各横截面形心的连线。按杆件轴线的形状分：直杆、曲杆、折杆。等直杆：轴线是直线，且横截面形状、尺寸均不改变的杆件。
37（2）杆件的基本变形形式：
38①轴向拉伸或轴向压缩：在一对大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线相重合的轴向外力作用下，在长度方向发生伸长或缩短变形。②剪切：在一对大小相等、方向相反、作用线相距很近的横向力作用下，横截面沿外力作用方向错动。
39③扭转：在一对大小相等、方向相反、作用面与杆件轴线垂直的外力偶矩T作用下，直杆的相邻横截面绕轴线发生相对转动，而杆件轴线仍保持直线，这种变形形式称为扭转。④弯曲：在杆的纵向平面内，作用一对大小相等、转向相反的外力偶矩,使直杆任意两截面发生相对倾斜，且杆件轴线弯曲变形为曲线，此种变形形式称为弯曲。
40第一章力、力偶、力矩
41力：物体间相互的机械作用，作用效果使物体的机械运动状态发生改变。力的三要素：大小、方向、作用点。力是矢量。力系：一群力。可分为：平面汇交（共点）力系，平面平行力系，平面力偶系，平面任意力系；空间汇交（共点）力系，空间平行力系，空间力偶系，空间任意力系。平衡：物体相对惯性参考系（如地面）静止或作匀速直线运动。
42一、静力学公理和物体的受力分析介绍静力学5条公理，约束和约束力的概念，物体受力分析的方法，对画物体受力图进行练习。1－1静力学公理公理1力的平行四边形法则
43公理2二力平衡条件使刚体平衡的充分必要条件最简单力系的平衡条件合力（合力的大小与）(矢量和)亦可用力三角形求得合力矢此公理表明了最简单力系的简化规律，是复杂力系简化的基础。
44公理3加减平衡力系原理推理1力的可传性作用在刚体上的力是滑动矢量，力的三要素为大小、方向和作用线。
45推理2三力平衡汇交定理平衡时必与共线则三力必汇交O点，且共面。
46公理4作用和反作用定律作用力和反作用力总是同时存在，同时消失，等值、反向、共线，作用在相互作用的两个物体上。在画物体受力图时要注意此公理的应用。
47公理5刚化原理柔性体（受拉力平衡）刚化为刚体（仍平衡）反之不一定成立，因对刚体平衡的充分必要条件，对变形体是必要的但非充分的。刚体（受压平衡）柔性体（受压不能平衡）
48约束：对非自由体的位移起限制作用的物体。约束力：约束对非自由体的作用力。约束力大小——待定方向——与该约束所能阻碍的位移方向相反作用点——接触处1－2约束和约束力
49工程常见的约束1、具有光滑接触面（线、点）的约束（光滑接触约束）
50光滑支承接触对非自由体的约束力，作用在接触处；方向沿接触处的公法线并指向受力物体，故称为法向约束力，用表示。
512、由柔软的绳索、胶带或链条等构成的约束柔索只能受拉力，又称张力。用表示。
52柔索对物体的约束力沿着柔索背向被约束物体。胶带对轮的约束力沿轮缘的切线方向，为拉力。
533、光滑铰链约束（径向轴承、圆柱铰链、固定铰链支座等）（1）、径向轴承（向心轴承）约束特点：轴在轴承孔内，轴为非自由体、轴承孔为约束。
54约束力：当不计摩擦时，轴与孔在接触为光滑接触约束——法向约束力。约束力作用在接触处，沿径向指向轴心。当外界载荷不同时，接触点会变，则约束力的大小与方向均有改变。可用二个通过轴心的正交分力表示。
55光滑圆柱铰链约束特点：由两个各穿孔的构件及圆柱销钉组成，如剪刀。
56约束力：光滑圆柱铰链：亦为孔与轴的配合问题，与轴承一样，可用两个正交分力表示。其中有作用反作用关系一般不必分析销钉受力，当要分析时，必须把销钉单独取出。
57（iii)固定铰链支座约束特点：由上面构件1或2之一与地面或机架固定而成。约束力：与圆柱铰链相同以上三种约束（经向轴承、光滑圆柱铰链、固定铰链支座）其约束特性相同，均为轴与孔的配合问题，都可称作光滑圆柱铰链。
584、其它类型约束（1）、滚动支座约束特点：在上述固定铰支座与光滑固定平面之间装有光滑辊轴而成。约束力：构件受到⊥光滑面的约束力。
59(2)、球铰链约束特点：通过球与球壳将构件连接，构件可以绕球心任意转动，但构件与球心不能有任何移动。约束力：当忽略摩擦时，球与球座亦是光滑约束问题。约束力通过接触点，并指向球心，是一个不能预先确定的空间力。可用三个正交分力表示。
60（3）、止推轴承约束特点：止推轴承比径向轴承多一个轴向的位移限制。约束力：比径向轴承多一个轴向的约束反力，亦有三个正交分力。
61（1）光滑面约束——法向约束力（2）柔索约束——张力（3）光滑铰链——球铰链——空间三正交分力止推轴承——空间三正交分力（4）滚动支座——⊥光滑面
62§1-3物体的受力分析和受力图在受力图上应画出所有力，主动力和约束力（被动力）画受力图步骤：3、按约束性质画出所有约束（被动）力1、取所要研究物体为研究对象（隔离体）画出其简图2、画出所有主动力
63例1-1碾子重为，拉力为，处光滑接触，画出碾子的受力图。解：画出简图画出主动力画出约束力
64例1-2屋架受均布风力（N/m），屋架重为，画出屋架的受力图。解：取屋架画出主动力画出约束力画出简图
65例1-3水平均质梁重为，电动机重为，不计杆的自重，画出杆和梁的受力图。图(a)解：取杆，其为二力构件，简称二力杆，其受力图如图(b)
66取梁，其受力图如图(c)若这样画，梁的受力图又如何改动?杆的受力图能否画为图（d）所示？
67例1-4不计三铰拱桥的自重与摩擦，画出左、右拱的受力图与系统整体受力图。解：右拱为二力构件，其受力图如图（b）所示
68取左拱AC,其受力图如图（c）所示系统整体受力图如图（d）所示
69考虑到左拱在三个力作用下平衡，也可按三力平衡汇交定理画出左拱的受力图，如图（e）所示此时整体受力图如图（f）所示
70讨论：若左、右两拱都考虑自重，如何画出各受力图？如图（g）（h）（i）
71例1－5不计自重的梯子放在光滑水平地面上，画出梯子、梯子左右两部分与整个系统受力图。图(a)解：绳子受力图如图（b）所示
72梯子左边部分受力图如图（c）所示梯子右边部分受力图如图（d）所示
73整体受力图如图（e）所示提问：左右两部分梯子在A处，绳子对左右两部分梯子均有力作用，为什么在整体受力图没有画出？
74二、平面力对点之矩的概念和计算1、平面力对点之矩（力矩）力矩作用面1.大小：力F与力臂的乘积2.方向：转动方向两个要素：
752、汇交力系的合力矩定理即平面汇交力系
763、力矩与合力矩的解析表达式
77三、平面力偶理论1.力偶和力偶矩1）何谓力偶?由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶，记作
78两个要素a.大小：力与力偶臂乘积b.方向：转动方向力偶矩力偶中两力所在平面称为力偶作用面。力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂。2）力偶矩
792.力偶与力偶矩的性质1）力偶在任意坐标轴上的投影等于零。2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。
80力矩的符号力偶矩的符号M
813）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对刚体的作用效果不变。===
82
83====4）力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。
84第二章 平面汇交力系与平面力偶系
85§2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法（图解法）一.两个汇交力的合成力三角形规则
86二.多个汇交力的合成力三角形规则力多边形规则
87.........
88平衡条件力多边形自行封闭力多边形力多边形规则三.平面汇交力系平衡的几何条件
89一.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解§2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法（坐标法）
90二.平面汇交力系合成的解析法因为
91由合矢量投影定理，得合力投影定理则，合力的大小为：方向为：作用点为力的汇交点。
92三.平面汇交力系的平衡方程平衡条件平衡方程
93§2-3平面力对点之矩的概念和计算一、平面力对点之矩（力矩）力矩作用面1.大小：力F与力臂的乘积2.方向：转动方向两个要素：
94二、汇交力系的合力矩定理即平面汇交力系
95三、力矩与合力矩的解析表达式
96§2-4平面力偶理论一.力偶和力偶矩1.何谓力偶?由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶，记作
97两个要素a.大小：力与力偶臂乘积b.方向：转动方向力偶矩力偶中两力所在平面称为力偶作用面。力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂。2.力偶矩
98二.力偶与力偶矩的性质1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零。2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。
99力矩的符号力偶矩的符号M
1003.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对刚体的作用效果不变。===
101
102====4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。
103=已知：任选一段距离d三.平面力偶系的合成和平衡条件===
104===
105平面力偶系平衡的充要条件M=0即即：同一平面内的任意个力偶，可以合成为一个力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和
106例2-6求:解:按合力矩定理已知:F=1400N,直接按定义
107例2-7求：解：由杠杆平衡条件解得已知：平衡时，CD杆的拉力。CD为二力杆，取踏板
108例2-8求：解：由合力矩定理得已知：q,l；合力及合力作用线位置。取微元如图
109例2-9求：光滑螺柱AB所受水平力。已知：解得解：由力偶只能由力偶平衡的性质，其受力图为
110例2-10：求：平衡时的及铰链O，B处的约束力。解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图。取杆BC，画受力图。解得已知解得
111第三章 空间力系
112空间力系：空间汇交（共点）力系，空间力偶系,空间任意力系,空间平行力系。
113§3–1空间汇交力系平面汇交力系合成的力多变形法则对空间汇交力系是否适用？
114对空间多个汇交力是否好用？用解析法直接投影法1、力在直角坐标轴上的投影
115间接（二次）投影法2、空间汇交力系的合力与平衡条件合矢量（力）投影定理空间汇交力系的合力
116合力的大小（4–1）空间汇交力系平衡的充分必要条件是：称为空间汇交力系的平衡方程。(4-2)该力系的合力等于零，即由式（4–1）方向余弦
1171、力对点的矩以矢量表示——力矩矢§3–2力对点的矩和力对轴的矩（4–3）(3)作用面：力矩作用面。(2)方向:转动方向(1）大小:力F与力臂的乘积三要素：
118力对点O的矩在三个坐标轴上的投影为（4–4）（4–5）又则
1192.力对轴的矩力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零。（4–6）
120=0=（4-7）3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系已知：力,力在三根轴上的分力，，，力作用点的坐标x,y,z求：力对x,y,z轴的矩
121=+0-=（4-8）=-+0=（4-9）比较（4-5）、（4-7）、（4-8）、（4-9）式可得即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。
122§3–3空间力偶1、力偶矩以矢量表示力偶矩矢空间力偶的三要素（1）大小：力与力偶臂的乘积；（3）作用面：力偶作用面。（2）方向：转动方向；
123力偶矩矢（4–10）
1242、力偶的性质力偶矩因（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。
125（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。===
126(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。====
127(5)力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。定位矢量力偶矩相等的力偶等效力偶矩矢是自由矢量自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）滑移矢量
1283．力偶系的合成与平衡条件==有为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。如同右图
129合力偶矩矢的大小和方向余弦称为空间力偶系的平衡方程。简写为（4–11）有空间力偶系平衡的充分必要条件是:合力偶矩矢等于零，即
130§3–4空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩1．空间任意力系向一点的简化其中，各，各一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系。
131称为空间力偶系的主矩称为力系的主矢空间力偶系的合力偶矩由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有对，，,轴的矩。式中，各分别表示各力空间汇交力系的合力
132—有效推进力飞机向前飞行—有效升力飞机上升—侧向力飞机侧移—滚转力矩飞机绕x轴滚转—偏航力矩飞机转弯—俯仰力矩飞机仰头
1331）合力最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为2．空间任意力系的简化结果分析（最后结果）当时，当最后结果为一个合力。合力作用点过简化中心。
134合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢量和。合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。（2）合力偶当时，最后结果为一个合力偶。此时与简化中心无关。（3）力螺旋当∥时力螺旋中心轴过简化中心
135当成角且既不平行也不垂直时力螺旋中心轴距简化中心为（4）平衡当时，空间力系为平衡力系
136§3–5空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、主矩分别为零。1.空间任意力系的平衡方程（4–12）空间平行力系的平衡方程（4–13）2.空间约束类型举例3.空间力系平衡问题举例
137§3–6重心1．计算重心坐标的公式对y轴用合力矩定理有对x轴用合力矩定理有
138再对x轴用合力矩定理则计算重心坐标的公式为（4–14）对均质物体，均质板状物体，有称为重心或形心公式
1392．确定重心的悬挂法与称重法（1）悬挂法图a中左右两部分的重量是否一定相等？
140（2）称重法则有整理后，得若汽车左右不对称，如何测出重心距左（或右）轮的距离？
141例3-1已知：、、求：力在三个坐标轴上的投影。空间任意力系例题
142例3-2已知：物重P=10kN，CE=EB=DE；，求：杆受力及绳拉力解：画受力图如图，列平衡方程结果：
143例3-3已知：求：解：把力分解如图
144例3-4求：工件所受合力偶矩在轴上的投影。已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削力偶矩均为80N·m。解：把力偶用力偶矩矢表示，平行移到点A。列力偶平衡方程
145圆盘面O1垂直于z轴，求:轴承A,B处的约束力。例3-5已知：F1=3N，F2=5N，构件自重不计。两盘面上作用有力偶，圆盘面O2垂直于x轴，AB=800mm,两圆盘半径均为200mm，解：取整体，受力图如图b所示。解得由力偶系平衡方程
146例3-6已知：P=8kN,各尺寸如图求：A、B、C处约束力解：研究对象：小车受力：列平衡方程结果：
147例3-7已知：各尺寸如图求：及A、B处约束力解：研究对象，曲轴受力：列平衡方程
148结果：
149例3-8已知：各尺寸如图求：（2）A、B处约束力（3）O处约束力(1)
150解：研究对象1：主轴及工件，受力图如图
151又：结果：研究对象2：工件受力图如图列平衡方程
152结果：
153例3-9已知：F、P及各尺寸求：杆内力解：研究对象，长方板受力图如图列平衡方程
154例3-10求：三根杆所受力。已知：P=1000N,各杆重不计。解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受力图建坐标系如图。由解得（压）（拉）
155例3-11∥求：正方体平衡时，不计正方体和直杆自重。力的关系和两根杆受力。已知：正方体上作用两个力偶
156解：两杆为二力杆，取正方体，画受力图建坐标系如图b以矢量表示力偶，如图c解得设正方体边长为a,有有解得杆受拉，受压。
157例3-12求：其重心坐标已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示。解:厚度方向重心坐标已确定，则用虚线分割如图，为三个小矩形，其面积与坐标分别为只求重心的x,y坐标即可。
158例3-13求：其重心坐标。已知：等厚均质偏心块的解：用负面积法，由而得由对称性，有小圆（半径为）面积为，为负值。小半圆（半径为）面积为,为三部分组成，设大半圆面积为，
159160建筑力学第4章轴向拉伸和压缩轴向拉(压)杆横截面的内力及轴力图应力和应力集中的概念轴向拉(压)杆的强度计算轴向拉(压)杆的变形计算材料在拉伸、压缩时的力学性能轴向拉(压)超静定问题
160161建筑力学4.1轴向拉(压)杆横截面的内力及轴力图FF
161162建筑力学FF
162163建筑力学轴向拉伸：在轴向力作用下，杆件产生伸长变形，也简称拉伸。轴向压缩：在轴向力作用下，杆件产生缩短变形，也简称压缩。拉压受力特点：作用于杆件两端的外力大小相等，方向相反，拉压变形特点：杆件变形是沿轴向方向的伸长或缩短。作用线与杆件轴线重合，即称轴向力。FFFF拉压计算简图此类受轴向外力作用的等截面直杆称为拉杆或压杆。
163164建筑力学内力内力：构件内部所产生的力。外力：构件之外其他物体作用于构件上的力。内力—由于物体受外力作用而引起的其内部各质点间相互作用的力的改变量。因此可以说，内力是该构件内力系的合成。需要注意的是：(1)内力是连续分布的；(2)内力与外力组成平衡力系。杆件构件截面上内力变化随着外力的变化而改变。内力的正负号规则通常情况下我们认为，构件截面上的内力为拉力(拉力为正值)。通过计算得到内力值为正值时，说明内力为拉力；计算结果为负值，说明内力为压力。
164165截面法—求内力的一般方法建筑力学用截面法求内力可归纳为四个字：(1)截：求某一截面的内力，沿该截面将构件假想地截成两部分。(2)取：取其中任意部分为研究对象，而除去另一部分。(3)代：用作用于截面上的内代替除去部分对留下部分的作用力。(4)平：对留下的部分建立平衡方程，由利用力确定未知的内力。一般来说，在采用截面法之前不要使用力的可传性原理，以免引起错误。
165166建筑力学[例]如图，以A点为分界点将杆分为两部分，用截面法求这两部分内力。APPⅠⅡAPPPAFN截：解：代：平：内力FN沿轴线方向，所以称为轴力。
166167建筑力学轴力图若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，所绘出的图线可以表明轴力与截面位置的关系，称为轴力图。FFFFFF
1671684.2应力和应力集中的概念建筑力学截面上一点的应力应力：截面上的内力分布的集度。CDADF如下图，围绕C点取微小面积△A，△A上必存在分布内力，设它的合力为△F，则在△A面积上的内力△F的平均集度为：当△A趋于零时，Pm的极限值就是点C的应力，即:式中，p为点C的应力，△F为小面积△A上的合内力。
168169建筑力学stMp一点处的应力可以分解成两个应力分量：垂直于截面的分量称为正应力，引起长度变化，用符号σ表示；与截面相切的分量称为切应力，引起角度变化，用符号τ表示。如下图所示。应力的单位为帕斯卡(简称帕)，符号Pa。常用的单位有千帕(kPa)、兆帕(MPa)、或吉帕(GPa)。
169170拉(压)杆横截面上的正应力建筑力学推导思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式FFa'c'b'd'acbd简单实验如下。用弹性材料做一截面杆(如下图)，在受拉力前，在截面的外表皮上画ab和cd两个截面，在外力F的作用下，两个截面ab和cd的周线分别平行移动到a`b`和c`d`。根据观察，周线仍为平面周线，并且截面仍与杆件轴线正交。根据上述现象，对杆件内部的变形作如下假设：变形之前横截面为平面，变形之后仍保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，只是每个横截面沿杆轴作相对平移。这就是平面假设。
170171建筑力学推论：1、等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，因而横截面上没有切应力。2、拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长(缩短)变形是均匀的。亦即横截面上各点处的正应力都相等。设某横截面面积为A，截面轴力为F，则横截面上的正应力为：正应力的正负号与轴力一致，拉应力为正，压应力为负。
171172建筑力学拉(压)杆斜截面上的应力FFkkaFFNpakk左图为一杆件受轴向荷载F的作用。现用一平面假想沿该杆的斜截面k-k截开，它与垂直面的夹角为a。取左段为脱离体，可求出该截面的轴力FN，且FN=F。则斜截面上的应力Pa为式中，Aa为斜截面面积。设横截面面积为A，则有：可得：
172173apasata建筑力学应力可分解为斜截面上的正应力和平行于截面的切应力(如下图)，它们分别为：（1）（2）（横截面）（纵截面）讨论：
173174建筑力学应力集中的概念在实际工程中，由于结构和工艺上的要求，构件的截面尺寸可能有突然的变化，这时，应力在截面上的分布就不均匀了，在截面突然变化处，局部应力远大于平均应力，这种应力在局部剧增的现象就称为应力集中。如下图，具有小孔和开口的均匀拉伸板，在通过圆心的截面上的应力不再是均匀的，在孔或开口附近的应力远大于平均应力，而离孔和开口较远处的应力下降并趋于均匀。
174175建筑力学在实际工程中，应力集中程度用孔和开口处最大应力σmax与截面上平均应力的比值来表示，即：式中，K称为理论应力集中系数。它反映了应力集中的程度，是一个大于1的系数。应力系数的确定根据实际情况，查阅相关的材料手册。试验结果还表明:截面尺寸改变愈剧烈，应力集中系数就愈大。因此，零件上应尽量避免带尖角的孔或槽，在阶梯杆截面的突变处要用圆弧过渡。
175176起吊钢索如图所示，截面积分别为A1=3cm2，A2=4cm2，l1=l2=50m，P=12kN，材料单位体积重量γ=0.028N/cm3，试考虑自重绘制轴力图，并求σmax。[例]解：（1）计算轴力AB段：取1—1截面BC段：取2—2截面（2）绘轴力图，kN（拉力），kN（拉力），kN（拉力），kN（拉力）
176177轴力图如图。（3）应力计算MPa（拉应力）MPa（拉应力）B截面C截面Mpa，的大小，得：比较
177178建筑力学4.3轴向拉(压)杆的强度计算极限应力、许用应力极限应力（危险应力、失效应力）：材料发生破坏或产生过大变形而不能安全工作时的最小应力值，即材料丧失工作能力时的应力，以符号σu表示，其值由实验确定。许用应力：构件安全工作时的最大应力，即构件在工作时允许承受的最大工作应力，以符号[σ]表示。计算公式为：式中，n为安全系数，它是一个大于1的系数，一般来说，确定安全系数时应考虑以下几个方面的因素。(1)实际荷载与设计荷载的出入。(2)材料性质的不均匀性。(3)计算结果的近似性。(4)施工、制造和使用时的条件影响。可见，确定安全系数的数值要涉及工程上的各个方面，不单纯是个力学问题。通常，安全系数由国家制定的专门机构确定。
178179建筑力学强度条件轴向拉压杆要满足强度的要求，就必须保证杆件的最大工作应力不超过材料的许用应力，即：≤对于等截面杆，上式可以写成：≤[σ]如果最大应力与许用应力相等，则从力学角度来说，就达到了安全与经济的统一。如果最大应力远小于许用应力，则造成材料的浪费。如果最大应力大于许用应力，说明强度不够，安全强度没有达到规定的标准。一般情况下，超额幅度在5%之内，课认为是安全的。
179180建筑力学强度条件的应用（1）校核强度—已知杆件所受的荷载，杆件尺寸及材料的许用应力，根据等截面的强度要求公式来校对杆件是否满足强度的要求。这时工程中最常见的一种强度计算方法。（2）截面选择—已知杆件所受的荷载和材料的许用应力，确定杆件所需的最小横截面面积。可用下式计算：（3）确定许用荷载—已知杆件横截面面积和材料的许用应力，确定许用荷载。先用下式确定许最大用轴力，然后可根据许用轴力计算出许用荷载。
180181已知一圆杆受拉力F=25kN，杆的直径d=14mm，许用应力[]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。[例]FF解：（1）计算轴力轴力FN=F=25kN（2）计算应力根据公式可得，（3）确定校核建筑力学
181182建筑力学4.4轴向拉(压)杆的变形计算线变形和线应变PP如下图，设杆件原长为l，横截面面积为A，在轴向力P作用下，长度由l变为l1。(a)变形前(b)变形后则杆件的长度改变量为：就是该杆件的线变形，又称为绝对变形。当杆件伸长，l1＞l，则是正值；当杆件缩短时，l1＜l，则是负值。
182183纵向伸长△l只反映杆的总变形量，而无法说明沿杆长度方向上各段的变形程度。由于拉杆各段的伸长是均匀的，因此，其变形程度可以用杆件单位长度的变形ε来表示，即：建筑力学式中，ε表示杆件的相对形变，常称为线应变，它表示原线段每单位长度内的线变形，又称为轴向应变，是一个量纲为1的量，可表示为百分率。线应变ε的正负号与△l一致。所以有：拉应变为正，压应变为负。
183184胡克定律建筑力学实验证明：大多数建筑材料在受力不超过弹性范围时，其横截面上正应力和轴向线应变成正比。材料受力后其应力与应变之间的这种比例关系，称为胡克定律，其表达式为：式中的比例常数E是反映材料在弹性变形阶段变形能力的一个量，称为弹性模量，其值随材料而异，由实验测定。它的单位为MPa或GPa。拉(压)杆的轴向变形根据平面假设可以认为，在拉(压)杆内，一切平行于轴线的纤维的变形情况完全相同。根据胡克定律可得：所以，轴向变形△l与轴力FN成正比，而与材料的弹性模量E和截面面积A成反比。EA反映了杆件抗变形的能力，称为抗拉(压)杆的抗拉压刚度。
184185建筑力学拉(杆)的横向变形由实验可知，当杆件受拉(压)而沿轴向伸长(缩短)的同时，其横截面的尺寸必伴随着缩小(增大)。如右图所示，拉(压)杆前横向尺寸为d，拉(压)杆后为d1，则横向变形为：横向线变形与横向原始尺寸之比为横向线应变，以符号ε`表示，即：实验结果还表明，当杆件内的工作应力不超过弹性变形范围时，横向线应变ε`与轴向线应变ε的比值的绝对值是一个常数，此比值称为泊松比或横向变形系数，常用μ表示(量纲为1)，即：
185186100kN100kN2m2mⅠⅠⅡⅡFN1100kN100kN100kNFN2如图所示，图为两层排架中一根柱子的计算简图。柱子的截面是200mm×200mm的正方形。求柱子上段及下段的内力、应力、应变及变形，并求柱子的总变形。设木材顺纹受压的弹性模量E=10GPa。[例]解：（1）上段受力分析如左图所示。（2）下段受力分析如左图所示。（3）全柱的总变形
186187建筑力学4.5材料在拉伸、压缩时的力学性能材料的力学性能，也称机械性能，通过试验揭示材料在受力过程中所表现出的与试件几何尺寸无关的材料本身特性。如变形特性，破坏特性等。研究材料的力学性能的目的是确定在变形和破坏情况下的一些重要性能指标，以作为选用材料，计算材料强度、刚度的依据。拉伸试验1.试件和设备标准试件：圆截面试件，如图。标距l与直径d的比例分为或矩形截面试样：或
187188建筑力学试验设备主要是拉力机或万能试验机及相关的测量、记录仪器。
188189建筑力学低碳钢拉伸时的力学性质低碳钢又称软钢,含碳量从0.10％至0.30%低碳钢易于接受各种加工如锻造,焊接和切削,常用於制造链条,铆钉,螺栓,轴等。拉伸过程四个阶段的变形特征及应力特征点：Ⅰ、弹性阶段OB此阶段试件变形完全是弹性的，且与成线性关系E—线段OA的斜率比例极限p—对应点A弹性极限e—对应点B
189190建筑力学Ⅱ、屈服阶段BC此阶段应变显著增加，但应力基本不变。产生的变形主要是塑性变形。对应于应力—应变图上的锯齿部分。锯齿形曲线的最高、最低点的纵坐标表示的应力分别为上屈服极限、下屈服极限。上屈服极限不如上屈服极限稳定，故称下屈服极限为屈服极限(屈服点)，用符号σs表示。Ⅲ、强化阶段CG经过屈服阶段，材料的内部结构又重新得到调整，材料抵抗变形的能力有所增强，直到最高点G为止，这种现象称为强化。在G点达到强度极限，用符号σb表示。Ⅳ、局部变形阶段GH试件上出现急剧局部横截面收缩—颈缩，直至试件断裂。
190191建筑力学塑性指标通常用试件断裂后所残留的塑性变形的大小来衡量材料的塑性。塑性指标有以下两种。（1）伸长率δ以试件断裂后的相对伸长率来表示，即式中，l为试件原始标距长度；l1为试件断裂后的标距长度。通常的材料称为塑性材料，例如铸铁、混凝土、砖石等材料。的材料称为脆性材料，例如钢、铜、铝。（2）截面收缩率ψ以试件断裂后的相对收缩率来表示，即式中，A为试件原始横截面面积；A1为断裂后缩颈处的横截面面积。
191192建筑力学压缩试验1.试验试件金属材料的压缩试件一般做成短圆柱体(长度为直径的1.5~3倍)，混凝土压缩试件通常做成正方体。b2.试验曲线(a)塑性材料压缩时的力学性能(b)脆性材料压缩时的力学性能
192193建筑力学压缩拉伸压缩拉伸比较两条曲线可以看出，在屈服阶段前，两曲线基本上是重合的，其弹性模量和屈服极限在拉伸和压缩时基本相等。但进入强化阶段后，试件压缩时的应力σ随着ε值的增长而越来越大。此时，试件越压越扁，并因端面摩擦作用，最后变成鼓状。因为受压面积越来越大，试件不能发生断裂，使试件的抗压强度极限无法测定。因此，钢材的力学性能主要是用拉伸试验来确定的。比较两条曲线可以看出，试件在压缩时，无论是抗压强度极限或者是伸长率δ都比拉伸时大得多，而且曲线中的直线部分很短。试件受压破坏的从左图可以看出来，大致沿45°的斜面上发生剪切错动而破坏，曲线最高点的应力值称为抗压强度极限，用σbc表示。
193194建筑力学几种非金属材料的力学性能1、混凝土：拉伸强度很小，结构计算时一般不加以考虑;使用标准立方体试块测定其压缩时的力学性能。端面润滑时端面未润滑时应力—应变曲线特点:1、直线段很短，在变形不大时突然断裂；2、压缩强度sb及破坏形式与端面润滑情况有关；3、以s—e曲线上s=0.4sb的点与原点的连线确定“割线弹性模量”。
194195建筑力学2、木材：木材属于各向异性材料，其力学性能具有方向性。顺纹拉伸顺纹压缩横纹压缩应力—应变曲线特点：1、顺纹拉伸强度很高，但受木节等缺陷的影响波动；2、顺纹压缩强度稍低于顺纹拉伸强度，但受木节等缺陷的影响小。3、横纹压缩时可以比例极限作为其强度指标。4、横纹拉伸强度很低，工程中应避免木材横纹受拉。综上所述，木材顺纹方向的强度要比横纹方向的强度高得多，且其抗拉强度高于抗压强度。
195196§5–1概述§5–2外力偶矩T与内力扭矩MT§5–3等直圆杆在扭转时的应力与变形§5–4圆轴扭转时的强度与刚度计算§5–5切应力互等定律的证明第5章扭转3学时
1961971.扭转变形：是杆件的一种基本变形形式。在垂直于杆件轴线的平面内有力偶作用时，各横截面将绕杆轴线作相对转动，杆件便产生扭转变形。§5–1概述2．受力特点：在垂直于杆件轴线的平面内有力偶作用。3.变形特点：轴线仍为直线，杆件的任意两个横截面只发生绕轴线的相对转动——产生扭转变形。
197198轴：工程中以扭转为主要变形的杆件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。扭转角（）：截面绕轴线转动而发生的角位移。切应变（）：直角的改变量。直角变为锐角为正，直角变为钝角为负。
198199工程中的扭转问题
199200一、外力偶矩T的计算传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：其中：NK—功率，千瓦（kW）n—转速，转/分（rpm）其中：N—功率，马力（HP）n—转速，转/分（rpm）1马力=0.735kW=735.5N·m/s§5–2外力偶矩T与内力扭矩MT
200201TT二、扭矩及扭矩图1、扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“MT”。2、截面法求扭矩MTTMTT
2012023扭矩的符号规定“MT”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。用截面法确定扭矩时，可先假设所求截面的扭矩为正值，如果计算得到的扭矩为正值，表示假设的扭矩方向与实际的一致；为负值，表示假设的扭矩方向与实际的相反。
2022034扭矩图MTMe4+–Me1+Me2Me1扭矩沿轴线方向变化的图形称为扭矩图。扭矩图的X横坐标轴平行于杆件轴线，表示轴相应的横截面位置；纵坐标表示该横截面的扭矩值。正扭矩画在X轴上方，负扭矩画在X轴下方。扭矩图中需标明(+)、(-)以表示扭矩的正负。
203204①反映出扭矩沿截面位置变化关系，较直观；②确定出最大扭矩的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。5、扭矩图的意义
204205[例5.1]已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮1输入功率NK1=500kW，从动轮2、3、4输出功率分别为NK2=150kW，NK3=150kW，NK4=200kW，试绘制扭矩图。n2314T2T3T1T4解：①计算外力偶矩
205206n2314T2=4.78T3=4.78T1=15.93T4=6.371122②用截面法求扭矩（扭矩按正方向设）T2MT1T2MT2T3截面1截面2
206207n2314T2=4.78T3=4.78T1=15.93T4=6.37112233②用截面法求扭矩（扭矩按正方向设）T2MT1T2MT2T3T2MT3T3T1T4MT3或：截面3
207208③绘制扭矩图3-1段为危险截面:xMT4.789.566.37–n2314MT1=-4.78MT2=-9.56MT3=6.37扭矩图的特点：突变值=外力偶矩1122334.78
208209§5–3等直圆杆在扭转时的应力与变形一、切应力互等定理、剪切胡克定律上式表明：在互相垂直的两个平面上的切应力必然成对存在，且大小相等，方向或共同指向两平面的交线，或共同背离两平面的交线。这种关系称为切应力互等定理。´´图为某构件上绕某点所取一微小的正六面体，可以证明
209210在切应力τ和τ’作用下，单元体的两个侧面将发生相对错动，使原来的长方六面微体变成平行六面微体，单元体的直角发生微小的改变，这个直角的改变量γ称为切应变。´´当切应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，切应力与切应变成正比关系，称为剪切胡克定律。比例常数G称为材料的切变模量，它反映材料抵抗剪切变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
210211二、圆轴扭转时横截面上的应力观察变形应力分析方法与过程：应变分布应力分布平面假设静力方程等直圆杆横截面应力①变形几何方面②物理关系方面③静力学方面物理关系应力公式
2112121、等直圆杆扭转实验观察（1）实验前：①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m。（2）实验后：①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。
212213（3）实验结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。②各纵向线均倾斜了同一微小角度。③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。acddxbdy´´横截面变形后仍为平面，轴向无伸缩；两截面发生相对错动（剪切变形）。横截面的圆周线上各点的切应力均相等。
213214（4）圆轴扭转的平面假设圆轴横截面在扭转变形前为平面，变形后仍保持为平面，且形状和大小不变，半径仍保持为直线；扭转变形前后，相邻两截面间的距离不变。即横截面刚性地绕轴线作相对转动。根据圆轴扭转的平面假设和切应力互等定理、剪切胡克定律可知：实心圆轴横截面上各点处，只产生垂直于半径的切应力，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。
214215（1）变形几何关系：距圆心为任一点处的与到圆心的距离成正比。——扭转角沿长度方向变化率。2、等直圆杆扭转时横截面上的应力ABB’
215216剪切虎克定律：（2）物理方程——剪切虎克定律将变形协调方程代入上式得：tmaxtmax
216217---静力学方程令代入物理关系式得：OdA横截面上剪应力形成分布力系，该力系向截面中心简化结果为一力偶，其力偶矩即为该截面上的扭矩。（3）静力学方程GIp---扭转刚度
217218横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式:仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面（实心或空心）直杆。式中：MT—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。—该点到圆心的距离。Ip—极惯性矩，纯几何量，由截面的形状、大小而定。
218219（4）圆轴扭转时横截面上应力分布特点（1)横截面上只有剪应力而无正应力——纯剪状态；（2）剪应力沿半径方向线性发布，其方向与半径垂直，且与扭矩转向一致。tmaxtmax
2192205、确定最大剪应力：由知：当Wp—抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。tmaxtmax
220221（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。（实心截面）tmaxtmaxmaxtmaxt
221222Ip单位：mm4，m4。对于实心圆截面：WT单位：mm3，m3。三、圆截面的极惯性矩Ip和抗扭截面模量WT对于空心圆截面：千万不要出错！
222223[例题5.2]图示的阶梯圆轴。AB段直径d1=120mm，BC段直径d2=100mm，外力偶矩MeA=22kN•m，MeB=36kN•m，MeC=14kN•m。试求该轴的最大切应力。解（1）作扭矩图用截面法求得AB段、BC段的扭矩分别为MT1=MeA=22kN•mMT2=－MeC=－14kN•m作出该轴的扭矩图如图示。
223224(2)计算最大切应力由扭矩图可知，AB段的扭矩较BC段的扭矩大，但因BC段轴径较小，所以需分别计算各段轴横截面上的最大切应力。AB段：BC段：比较上述结果，该轴最大切应力位于BC段内任一截面的边缘各点处，即该轴最大切应力为τmax=71.3MPa。
224225实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器相联，并传递功率，如图所示。已知轴的转速n＝100r／min，传递的功率P＝7.5kW。实心圆轴的直径d1=45mm；空心圆轴的内、外直径之比(d2／D2)＝0.5，D2=46mm。试确定实心轴与空心圆轴横截面上的最大剪应力。[例题5.3]D2d2d1
225226已知：n＝100r／min，功率P＝7.5kW。d1=45mm；d2／D2＝0.5，D2=46mm。例题5.3解：（1）计算外力偶矩和扭矩（2）计算横截面上的剪应力实心圆轴：空心圆轴：D2d2d1
226227已知：n＝100r／min，功率P＝7.5kW。d1=45mm；d2／D2＝0.5，D2=46mm。例题5.3讨论：实心圆轴与空心圆轴横截面面积之比：实心圆轴：空心圆轴：可见，如果轴的长度相同，在最大剪应力相同的情形下，实心圆轴所用材料要比空心轴多。D2d2d1
2272281、扭转时的变形由公式知：长为l一段杆两截面间相对扭转角为四、等直圆杆在扭转时的变形
228229讨论：（1）对于长为l、扭矩MT为常数的等截面圆轴：（2）对于变刚度的阶梯轴或各段扭矩MT为常数的等截面圆轴：（3）当刚度或扭矩沿轴线连续变化时：MT(+)MT(+)(+)MT(+)
2292302、单位长度扭转角：或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。
230231试判断图示圆轴扭转时横截面切应力分布图的正误。思考题1√√(A)(B)(C)(D)
231232受扭圆轴上贴有三个应变片如图所示。实测时应变片读数几乎为零的是：(1)1和2；（2）2和3；（3）1和3；（4）1、2和3。1.圆周线的形状大小不变；2.相邻两圆周线间距离不变；3.纵向线变形后仍为平行。等直圆轴扭转实验观察√思考题2mm１２３
232233§5–4圆轴扭转时的强度与刚度计算一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力圆轴的扭转试件可分别用低碳钢、铸铁等材料做成，扭转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me作用下，发生扭转变形，直至破坏。极限应力τ0材料能承受的最大应力称为极限应力。应力大于极限应力，材料就要破坏。
233234在常温静载下，材料的扭转许用切应力[τ]与拉伸许用正应力[σ]之间有如下关系：塑性材料[τ]=（0.5～0.577）[σ]脆性材料[τ]=（0.8～1.0）[σ]许用切应力二、圆轴的扭转强度条件塑性材料：τ0＝τs，脆性材料：τ0＝τb
234235圆轴扭转时的强度条件：对于等截面圆轴：[]——许用切应力；max——轴的最大工作切应力。MT(+)(+)
235236利用强度条件可解决三个问题：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：
236237三、圆轴扭转时的刚度条件或[]称为许用单位长度扭转角。对于等截面圆轴：
237238刚度计算的三方面问题：①校核刚度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。
238239[例5.4]功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力[]=30MPa,试校核其强度。MTT解：①求扭矩及扭矩图②计算并校核剪应力强度③此轴满足强度要求。D3=135D2=75D1=70ABCTTx
239240一电机传动轴，传递功率为40kw，转速n=1400r/min，轴由钢材制成，其G=80GPa，[]=40MPa，[]=1.5º/m。1、求轴的直径D？2、若将轴改为内外直径比为0.6的空心轴，轴的直径应为多少？并比较两种情况下实心轴和空心轴的用料。p104例题5-1，5-2解：1、（1）计算外力偶矩
240241G=80GPa，[]=40MPa，[]=1.5º/m，=0.6。（2）计算轴的扭矩（3）由强度条件D0.0326m=32.6mm。
241242G=80GPa，[]=40MPa，[]=1.5º/m，=0.6。（4）由刚度条件D0.0339m=33.9mm。D0.0326m=32.6mm。为了同时满足强度和刚度条件，取D33.9mm=34mm。
242243G=80GPa，[]=40MPa，[]=1.5º/m，=0.6。2、若采用空心轴（1）由强度条件D10.0342m=34.2mm。
243244G=80GPa，[]=40MPa，[]=1.5º/m，=0.6。（2）由刚度条件D10.0351m=35.1mm。D10.0342m=34.2mm。为了同时满足强度和刚度条件，取D135.1mm=36mm。
244245G=80GPa，[]=40MPa，[]=1.5º/m，=0.6。取空心轴外径D1=36mm，内径d=0.6D1=21mm。可见，空心轴的重量是实心轴的0.718。空心轴更合理。实心轴和空心轴的用料:
245246小结1、受扭物体的受力和变形特点2、扭矩计算，扭矩图绘制3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算4、圆轴扭转时的变形及刚度计算或
246247第6章梁的应力学习要求：了解主应力的概念及强度理论；掌握梁正应力及剪应力的计算及其强度条件；理解主应力迹线的概念。
2472486.1梁内正应力、强度条件6.2梁内剪应力、强度条件6.3梁的合理截面和变截面梁6.4梁的主应力、主应力迹线6.5强度理论6.6弯曲中心主要内容：第6章梁的应力
248249平面弯曲纯弯曲横力弯曲内力只有弯矩内力有弯矩和剪力B20kNA1m1mD20kN1mCABDC20202020Q图(kN)ABDC2020M图(kN·m)CD段CA、DB段6.1梁内正应力、强度条件
249250假定：a.平面假设：变形前横截面是平面，变形后仍是平面，只是转过一个角度，仍垂直于变形后梁的轴线。b.中性层假设：梁内存在一个纵向层，在变形时，该层的纵向纤维即不伸长也不缩短，称为中性轴。6.1.1纯弯曲梁和横截面上的正应力
250251zydAM力矩平衡M：横截面上的弯矩y：所求正应力点处到中性轴的距离Iz：截面对中性轴的惯性矩z
251252等截面梁内的最大应力发生在弯矩最大的截面，且是距中性层最远的地方。有拉应力和压应力宽b、高h的矩形直径为D的圆截面轧制型钢（工字钢、槽钢等）的WZ从型钢表中查得
2522531．强度校核6.1.2正应力强度条件2．截面设计3.计算容许荷载
253254例1：图示矩形梁，材料的[σ]=170MPa，试对该梁作强度校核。2kNA2mB1m5kNC2020z20单位：mm
254255解：2kNA2mB1m5kNC(1)绘内力图AB和BC段，斜直线ABCM图(kN·m)MB=0kN·m24弯矩图:MC=2×1=2kN·mMA=2×3－5×2=-4kN·m0
255256(2)确定截面的几何参量2020z20(3)强度校核不安全
256257弯矩产生正应力剪力产生剪应力横力弯曲梁的横截面上6.2.1剪应力6.2梁内剪应力、强度条件研究对象(1)矩形梁截面(2)工字形梁截面(3)圆形梁截面
257258(1)矩形梁截面的剪应力(1)截面上各点剪应力方向与Q方向一致假定：(2)剪应力沿截面宽度方向均匀分布。
258259zyaaybA*h/2h/2剪应力计算式Q：横截面上剪力b：计算点处横截面宽度Iz:整个横截面对中性轴的惯性矩S*z：面积矩
259260zyaaybA*h/2在切割线以外的一块被切割面积A*对中性轴的面积矩，不必考虑带负号h/2S*z：面积矩
260261zyaaybA*h/2h/2剪应力计算式
261262(1)沿高度方向抛物线分布(2)梁上下表面处剪应力为零结论:(3)y=0时，剪应力值最大
262263(2)工字型截面梁的剪应力主要考虑工字型截面梁腹板上的剪应力计算。剪应力计算式d:腹板宽度A*
263264(1)沿腹板高度方向抛物线分布(2)腹板上下边处剪应力最小结论:(3)y=0时，剪应力值最大
264265(3)圆形截面梁的剪应力实心圆截面：最大剪应力在中性轴上空心圆环：z
265266例1图示矩形梁，求C左截面上a、b、c三点处的剪应力20kNA2mB1m35kNC150150z150单位：mmacb80分析：(1)确定指定截面上的剪力(2)确定截面的几何参量
26626720kNA2mB1m35kNC(1)确定指定截面上的剪力－绘剪力图法ABAC和BC段，水平线Q图(kN)QB=-20kN20kNA35kNQAQA=35-20=15kN2015C
267268(2)确定截面的几何参量150150z150单位：mmacb80C点直接用剪应力计算公式
268269(3)计算剪应力QC左=15kN150150z150acb80
269270例2图示梁。求梁的最大正应力、最大剪应力(1)采用矩形截面b×h=200mm×500mm(2)采用圆形截面D=400mm150kNA5mB5mC
270271分析：(1)绘制梁的内力——确定Mmax和Qmax(2)确定截面的几何参量
271272解：150kNA5mB5mCVAVBHA(1)求支座反力HA=0VB=75kNVA=75kN力的平衡条件
272273(2)绘制梁的内力图150kNA5mB5mC7575Q图(kN)M图(kN·m)75375ACBACBQB=-7575MC=150*10/4=375MB=0MA=0QA=7500
273274(3)矩形b×h=200mm×500mmMmax=375kN·mQmax=75kN
274275(4)圆形截面D=400mmMmax=375kN·mQmax=75kN
2752766.3.1合理截面（1）矩形木梁的合理高宽比R北宋李诫于1100年著«营造法式»一书中:矩形木梁的合理高宽比(h/b=1.5)英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义»一书中:矩形木梁的合理高宽比bh6.3梁的合理截面和变截面梁
276277（2）在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面zDzaaa12a1z0.8a2a21.6a22a2z
2772786.3.2变截面梁等强度梁Px
2782796.4.1应力状态的概念1.一点的应力状态:过一点不同方向面上应力的集合。σ1σ2σ3主平面:剪应力为零的平面主应力:主平面上的正应力主方向:主平面的法线方向6.4梁的主应力、主应力迹线
279280三种应力状态（单向、二向、三向）σ1σ2σ3单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零单向应力状态也称为简单应力状态二向和三向应力状态统称为复杂应力状态二向应力状态（平面应力状态）：两个主应力不为零三向应力状态（空间应力状态）：三个主应力皆不为零
2802816.4.2梁的主应力迹线AB实线主拉应力迹线虚线主压应力迹线
281282ABAB弯起钢筋受拉钢筋
2822836.5.1材料的两种破坏形式无数实验证明，材料的破坏主要有两种形式：脆性破坏:材料破坏时无明显的塑性变形，断口粗糙。6.5二向应力状态下的强度条件一强度理论常见的脆性材料铸铁、石料、陶瓷
2832842.塑性破坏:材料破坏时有显著的塑性变形（即屈服现象）钢、铜、铝、常见的塑性材料
284285强度理论的概念长期以来，人们根据对材料破坏现象的分析，提出过各种各样的假说，认为材料的某一类型的破坏是由某种因素引起的，这种假说就称为强度理论。1.适用于脆性破坏的强度理论第一强度理论（最大拉应力理论）第二强度理论（最大拉应变理论）2.适用于塑性屈服的强度理论第三强度理论（最大剪应力理论）第四强度理论（形状改变比能理论）
2852866.6弯曲中心弯曲中心:集中力作用在此点，扭矩为零yzPAτyτxτxτy:产生弯曲效应τx:产生扭转效应在A点作用集中力P作用在A点:无扭矩，A点称为弯曲中心
286287yzCA两个矩形中线的交点yzCAyzCA与形心重合常用几种薄壁截面的弯曲中心
287288引言第7章梁的变形弯曲变形特点挠曲轴是一条连续、光滑曲线对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计,因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交变弯后的梁轴，称为挠曲线
288289挠度与转角挠度与转角的关系（小变形）挠度－横截面形心在垂直于梁轴方向的位移－挠曲轴方程转角－横截面的角位移－转角方程（忽略剪力影响）（rad）xvFqөө、v第7章梁的变形
289290第一节梁挠曲线的近似微分方程第二节用积分法求梁的变形第三节叠加法求梁的变形第四节计算梁位移的其他方法第五节梁的刚度计算和提高梁的刚度的措施第7章梁的变形
290291第一节梁挠曲线的近似微分方程挠曲线微分方程（纯弯）（推广到非纯弯）v－弯矩引起的挠度smax 291292挠曲线微分方程小变形时：－挠曲线近似微分方程小变形坐标轴v向下应用条件：坐标轴v向上时：第一节梁挠曲线的近似微分方程 292第十章293第二节用积分法求梁的变形挠曲线微分方程的积分与边界条件约束处位移应满足的条件梁段交接处位移应满足的条件－位移边界条件－位移连续条件利用位移边界条件与连续条件确定积分常数 293294积分法求梁位移qA=?EI=常数建立挠曲轴近似微分方程并积分利用边界条件确定积分常数由条件(1),(2)与式(b)，得计算转角（）第二节用积分法求梁的变形 294295挠曲线的绘制绘制依据:满足基本方程满足位移边界条件与连续条件绘制方法与步骤:画M图由M图的正、负、零点或零值区，确定挠曲线的凹、凸、拐点或直线区，即确定挠曲线的形状.第二节用积分法求梁的变形 295296例题例1:用积分法求梁的最大挠度，EI为常数解：1.建立挠曲线近似微分方程并积分AC段CB段第二节用积分法求梁的变形 2962973.最大挠度分析（）当a>b时位移边界条件：位移连续条件：2.确定积分常数发生在AC段第二节用积分法求梁的变形 297298例2:建立挠曲线微分方程，写出边界条件，EI为常数解：1.建立挠曲线近似微分方程AB段:CB段:2.边界条件与连续条件位移边界条件：位移连续条件：第二节用积分法求梁的变形 298第十章299F=qa例3:绘制挠曲线的大致形状F=2qa第二节用积分法求梁的变形 299300第三节计算梁位移的叠加法当梁上同时作用几个载荷时，任一横截面的总位移，等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和或矢量和。叠加法方法分解载荷分别计算位移求位移之和 300第十章301理论依据上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合：（小变形,比例极限内）（小变形）叠加法适用条件：小变形，比例极限内第三节计算梁位移的叠加法 301302逐段分析求和法分解梁分别计算各梁段的变形在需求位移C处引起的位移。求位移之和（代数或矢量和）在分析某梁段的变形在需求位移处引起的位移时，其余梁段视为刚体第三节计算梁位移的叠加法 302第十章303例题例1:q(x)=q0cos(px/2l)，利用叠加法求vB=?解：()()第三节计算梁位移的叠加法 303304例2:()()解：第三节计算梁位移的叠加法 304305例3:解：()()()第三节计算梁位移的叠加法 305第十章306例4:解：第三节计算梁位移的叠加法 306307例5:求自由端位移d挠曲轴与外力作用面不重合一般情况下解：第三节计算梁位移的叠加法 307第十章308简单静不定梁分析方法选FBy为多余力－变形协调条件－物理方程－补充方程－平衡方程一度静不定算例综合考虑三方面求梁的支反力第三节计算梁位移的叠加法 308309判断梁的静不定度;用多余力代替多余约束的作用，得受力与原静不定梁相同的静定梁－相当系统;计算相当系统在多余约束处的位移，并根据变形协调条件建立补充方程;由补充方程确定多余力，由平衡方程求其余支反力;相当系统通过相当系统计算内力、位移与应力等.依据－综合考虑三方面关键－确定多余支反力分析方法与步骤:相当系统第三节计算梁位移的叠加法 309第十章310例题例6:求支反力解：1.问题分析2.解静不定水平反力忽略不计,有2个多余未知力.第三节计算梁位移的叠加法 310311例7:悬臂梁AB，用短梁DG加固，试分析加固效果解：1.静不定分析第三节计算梁位移的叠加法 311第十章3122.加固效果分析（刚度）减少50%减少39.9%3.加固效果分析（强度）第三节计算梁位移的叠加法 312313例8:试求杆BC的轴力解：梁截面形心的轴向位移一般忽略不计如计算梁截面形心的轴向位移，如何求解?第三节计算梁位移的叠加法 313第十章314例9:直径为d的圆截面梁,支座B下沉d，smax=?解：第三节计算梁位移的叠加法 314315第四节计算梁位移的其他方法奇异函数当需分段建立M或EI方程时，用积分法求解需要确定许多积分常数，利用奇异函数简化了分析计算.定义:奇异函数（或麦考利函数）:对低阶奇异函数： 315第十章316弯矩通用方程用奇异函数建立最后梁段DE的弯矩方程：适用于各梁段。例如BC段（l1,l2）第四节计算梁位移的其他方法 316317梁位移通用方程适用于任一梁段，仅包括两个积分常数，由边界条件确定。第四节计算梁位移的其他方法 317第十章318例1：用奇异函数法计算qA，EI为常数解：1.建立挠曲轴近似微分方程并积分第四节计算梁位移的其他方法 3183192.建立挠曲轴通用方程（）3.计算转角第四节计算梁位移的其他方法 319第十章320例2用奇异函数法计算vA，EI为常数解：（）第四节计算梁位移的其他方法 320321例3:建立通用挠曲轴微分方程，写出位移边界条件解：第四节计算梁位移的其他方法 321第十章322梁的刚度条件最大位移控制指定截面的位移控制例如滑动轴承处第五节梁的刚度计算和提高梁的刚度的措施 322第十章323梁的合理刚度设计横截面形状的合理选择材料的合理选择使用较小的截面面积A，获得较大惯性矩I的截面形状，例如工字形与盒形等薄壁截面影响梁刚度的力学性能是E，为提高刚度，宜选用E较高的材料注意：各种钢材（或各种铝合金）的E基本相同第五节梁的刚度计算和提高梁的刚度的措施 323324梁跨度的合理选取跨度微小改变，将导致挠度显著改变例如l缩短20％，dmax将减少48.8%第五节梁的刚度计算和提高梁的刚度的措施 324第十章325合理安排约束与加载方式q=F/l增加约束，制作成静不定梁第五节梁的刚度计算和提高梁的刚度的措施 325326例1:已知F=35kN，l=4m，[s]=160MPa，[d]=l/500，E=200GPa，试选择工字钢型号。解：选№22a第五节梁的刚度计算和提高梁的刚度的措施 326327引言第8章杆件在组合变形下的强度计算组合变形概念和工程实例构件同时发生两种或两种以上的基本变形，如几种变形所对应的应力（或变形）属同一量级，称为组合变形。工程实例:一、组合变形概念 327328二、组合变形的研究方法——叠加原理①外力分解和简化②内力分析——确定危险面。③应力分析：确定危险面上的应力分布，建立危险点的强度条件。求解步骤：第8章杆件在组合变形下的强度计算 328329引言第8章杆件在组合变形下的强度计算组合变形概念和工程实例构件同时发生两种或两种以上的基本变形，如几种变形所对应的应力（或变形）属同一量级，称为组合变形。工程实例:一、组合变形概念 329330二、组合变形的研究方法——叠加原理①外力分解和简化②内力分析——确定危险面。③应力分析：确定危险面上的应力分布，建立危险点的强度条件。求解步骤：第8章杆件在组合变形下的强度计算 330331第一节斜弯曲第二节拉伸(压缩)与弯曲组合变形的强度计算第三节偏心压缩杆件的强度计算、截面核心第四节弯扭组合变形第8章杆件在组合变形下的强度计算 331332第一节斜弯曲平面弯曲：横向力通过弯曲中心，与一个形心主惯性轴方向平行,挠曲线在纵向对称面内。斜弯曲：横向力通过弯曲中心，但不与形心主惯性轴平行挠曲线不位于外力所在的纵向平面内。斜弯曲和平面弯曲的概念比较FF 3323331、荷载的分解2、任意横截面任意点的“σ”内力：应力：（应力的“＋”、“－”由变形判断）斜弯曲的计算第一节斜弯曲 333334在Mz作用下：在My作用下：叠加：正应力的分布:zyzy第一节斜弯曲 334第十一章335危险截面——固定端危险点——“b”点为最大拉应力点，“d”点为最大压应力点。3、强度计算强度条件（简单应力状态）——第一节斜弯曲 3353364、刚度计算第一节斜弯曲 336337解：1、外力分解2、强度计算例1：矩形截面木檩条如图，跨长L=3.3m,受集度为q=800N/m的均布力作用，[]=12MPa，容许挠度为：L/200，E=9GPa，试校核此梁的强度和刚度。za=26°34′qb=80mmh=120mm第一节斜弯曲 337338za=26°34′q3、刚度计算第一节斜弯曲 338339例2：图示悬臂梁，承受载荷F1与F2作用，已知F1=800N，F2=1.6kN，l=1m，许用应力[σ]=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸：(1)截面为矩形，h=2b；(2)截面为圆形。解：（1）矩形截面：（2）圆截面第一节斜弯曲 339第十一章340对于无棱角的截面如何进行强度计算：1、首先确定中性轴的位置；FABL中性轴zy令z0、y0代表中性轴上任意点的坐标——中性轴方程（过截面形心的一条斜直线）kFFFj2、找出危险点的位置（离中性轴最远的点）；3、最后进行强度计算。ab第一节斜弯曲 340341第二节拉伸（压缩）与弯曲组合变形的强度计算拉(压)弯组合变形的计算1、荷载的分解2、任意横截面任意点的“σ”yzk（1）内力：FFxFy（2）应力： 341342YZZY在Mz作用下：在FN作用下：（3）叠加：第二节拉伸（压缩）与弯曲组合变形的强度计算 342第十一章343危险截面——固定端危险点——“ab”边各点有最大的拉应力，“cd”边各点有最大的压应力（或最小拉应力）。ZYacYZ强度条件（简单应力状态）——3、强度计算d第二节拉伸（压缩）与弯曲组合变形的强度计算 343344第三节偏心压缩杆件的强度计算、截面核心1、偏心拉(压)的概念作用在杆件上的外力与杆的轴线平行但不重合。偏心拉(压) 344345（1）荷载的简化（2）任意横截面任意点的“σ”2、偏心拉(压)的计算zyxFzx（a）内力：y第三节偏心压缩杆件的强度计算、截面核心 345第十一章346yzabcdyabcd（b）正应力：正应力的分布——在Mz作用下：在FN作用下：在My作用下：abcdzy（3）叠加：第三节偏心压缩杆件的强度计算、截面核心 3463473、强度计算危险截面——各截面危险点——“d”点有最大的拉应力，“b”点有最大的压应力。强度条件（简单应力状态）——第三节偏心压缩杆件的强度计算、截面核心 347348对有棱角的截面，最大的正应力发生在棱角点处，且处于单向应力状态。对于无棱角的截面如何进行强度计算:1、确定中性轴的位置；zyxFzkzyykyzFeyez第三节偏心压缩杆件的强度计算、截面核心 348349令z0、y0代表中性轴上任意点的坐标——中性轴方程（不经过截面形心的一条斜直线）设中性轴在z,y轴的截距为ay，az则：中性轴ayazYZFeyez第三节偏心压缩杆件的强度计算、截面核心 3493503、强度计算将两切点的坐标代入应力计算公式确定最大拉应力和最大压应力进行强度计算。（1）、中性轴不过截面形心，与外力无关，与偏心距及截面形状、尺寸有关；（2）、中性轴的截距与偏心距符号相反，表明外力作用点与中性轴分别在截面形心的相对两侧；（3）、外力作用点越是向形心靠拢，中性轴离形心越远，甚至移到截面外面。当中性轴移到与截面相切或截面以外时，截面上则只存在压应力或拉应力；YZ中性轴ayazFeyez2、确定危险点的位置第三节偏心压缩杆件的强度计算、截面核心 350351一、截面核心的概念：截面核心二、确定截面核心的思路：在横截面上存在一个包围形心的区域，当轴向力的作用点在此区域内，横截面上不会出现异号正应力，此区域即为截面核心。轴向力不偏心时，横截面均匀受拉（压），无异号正应力。在偏心拉（压）时，横截面可能出现异号正应力。1、在截面的边缘处作与截面相切的中性轴，并确定中性轴的截距；2、由中性轴的截距，计算外力作用点的坐标；3、最后连接力作用点得到一个在截面形心附近的区域——截面核心。第三节偏心压缩杆件的强度计算、截面核心 351第十一章352ZYbh解：1、计算图形对形心主轴的惯性半径2、取矩形截面的四条边界线1、2、3、4、为中性轴，计算其对应的外力作用点的坐标。1234例：矩形截面如图所示，确定其截面核心。第三节偏心压缩杆件的强度计算、截面核心 352353ZYbh1①②2④4③33、确定外力作用点①、②、③、④并连接得出截面核心的区域。第三节偏心压缩杆件的强度计算、截面核心 353354弯扭组合危险截面－截面A危险点－a与b应力状态－单向＋纯剪切强度条件（塑性材料,圆截面）第四节弯扭组合变形 354第十一章355弯拉扭组合危险截面－截面A危险点－a应力状态－单向＋纯剪切强度条件（塑性材料）第四节弯扭组合变形 355第十一章356例：图示钢制实心圆轴，其齿轮C上作用铅直切向力5KN，径向力1.82KN；齿轮D上作用有水平切向力10KN，径向力3.64KN。齿轮C的直径dC=400mm，齿轮D的直径dD=200mm。圆轴的容许应力。试按第四强度理论求轴的直径。第四节弯扭组合变形 356357解：（一）外力分析例3图将各力向圆轴的截面形心简化，画出受力简图。受力简图第四节弯扭组合变形 357第十一章358（二）内力分析扭矩：弯矩：总弯矩为：T从内力图分析，B截面为危险截面。B截面上的内力为：TT0.567KN·m0.364KN·mADC画出内力图如图第四节弯扭组合变形 358359（三）按第四强度理论求轴所需直径可得：解出：d=5.19mm第四节弯扭组合变形 359第十二章360引言第9章压杆稳定平衡状态的三种类型使系统微偏离,考察其力学行为：系统微偏状态的受力分析三种情况Fd>kdl即F>kl，系统更加偏离初始平衡状态Fd 360第十二章361载荷大小平衡性质F 361第十二章3623.压杆稳定性概念F 362第十二章363其他形式的稳定问题第十二章压杆稳定 363第十二章364第一节工程中的稳定问题第二节压杆的稳定平衡与不稳定平衡第三节细长中心压杆的临界力压杆的长度系数第四节不同杆端约束下细长压杆的临界力公式、第五节临界应力总图第六节压杆稳定条件、稳定的实用计算第十二章压杆稳定 364第十二章365第一节工程中的稳定问题问题的提出(a)(b)拉压杆的强度条件为：=——[](a):木杆的横截面为矩形（12cm),高为3cm，当荷载重量为6kN时杆还不致破坏。(b):木杆的横截面与(a)相同，高为1.4m(细长压杆），当压力为0.1KN时杆被压弯，导致破坏。(a)和(b)竟相差60倍，为什么？NA 365第十二章366稳定问题实例1907年加拿大圣劳伦斯河上的魁北克桥（倒塌前正在进行悬臂法架设中跨施工）第一节工程中的稳定问题 366第十二章367倒塌后成为一片废墟稳定问题实例第一节工程中的稳定问题 367第十二章3681925年苏联莫兹尔桥在试车时因桥梁桁架压杆失稳导致破坏时的情景。稳定问题实例第一节工程中的稳定问题 368第十二章369这是1966年我国广东鹤地水库弧门由于大风导致支臂柱失稳的实例。稳定问题实例第一节工程中的稳定问题 369第十二章3701983年10月4日，高54.2m、长17.25m、总重565.4KN大型脚手架局部失稳坍塌，5人死亡、7人受伤。稳定问题实例第一节工程中的稳定问题 370第十二章371稳定概念稳定性：平衡物体抵抗干扰的能力。失稳：不稳定的平衡物体在任意微小的外界干扰下的变化或破坏过程。压杆稳定：细长中心受压杆，在压力F远小于材料的抗压强度所确定的荷载时，杆就发生弯曲，此时杆件已不能正常工作，甚至会引起整个结构物的倒塌。第一节工程中的稳定问题 371第十二章372第二节压杆的稳定平衡与不稳定平衡相关概念小球平衡的三种状态稳定平衡随遇平衡不稳定平衡临界状态 372第十二章373受压直杆平衡的三种形式稳定平衡随遇平衡不稳定平衡临界状态第二节压杆的稳定平衡与不稳定平衡 373第十二章374美国华盛顿州塔科马悬索桥建造设计风速60m/s破坏时的风速19m/s建于1940年，桥长853m第二节压杆的稳定平衡与不稳定平衡 374第十二章375电子式万能试验机上的压杆稳定实验相关试验工程项目的压杆稳定试验第二节压杆的稳定平衡与不稳定平衡 375第十二章376第三节细长中心压杆的临界力临界力从稳定过渡到不稳定平衡的外力Fcr。确定临界载荷的平衡方法两端铰支压杆的临界载荷微弯状态下压杆的平衡 376第十二章377考察微弯状态下局部压杆的平衡M(x)=Fcrv(x)位移边界条件：第三节细长中心压杆的临界力 377第十二章378－欧拉临界载荷结论：压杆临界状态时的挠曲轴--正弦曲线说明压杆在临界状态时的平衡是一种有条件的随遇平衡－微弯程度可任意,但轴线形状一定。第三节细长中心压杆的临界力 378第十二章379小挠度理论大挠度理论按大挠度理论,不存在随遇平衡,但曲线AB在A点附近极平坦,可用水平短直线代替微弯平衡两种理论的Fcr解相同,说明以微弯平衡为特征并用挠曲轴近似微分方程求解,既正确,又简单实用当FFcr,实际压杆的vmax急剧增大,说明Fcr同样导致实际压杆失效,也说明采用理想压杆作为分析模型确定Fcr,具有实际意义曲线AB在A点附近极平坦,当F略超过Fcr时,压杆变形急剧增大,说明失稳极危险实际压杆关于稳定概念的进一步探讨第三节细长中心压杆的临界力 379第十二章380(a)(b)(a):Pjx=Ab=6KN(b):Pcr=————=0.1KNEIminL22第三节细长中心压杆的临界力 380第十二章381支承对压杆临界载荷的影响第四节不同杆端约束下细长压杆的临界力公式、压杆的长度系数 381第十二章382各种支承压杆临界载荷的通用公式:一端自由，一端固定：＝2.0一端铰支，一端固定：＝0.7两端固定：＝0.5两端铰支：＝1.0第四节不同杆端约束下细长压杆的临界力公式、压杆的长度系数 382第十二章383关于A,B,FR的线性齐次方程组长度系数求解第四节不同杆端约束下细长压杆的临界力公式、压杆的长度系数 383第十二章384非零解的条件：第四节不同杆端约束下细长压杆的临界力公式、压杆的长度系数 384第十二章385类比法确定临界载荷第四节不同杆端约束下细长压杆的临界力公式、压杆的长度系数 385第十二章386相当长度与长度系数ml－相当长度－相当的两端铰支细长压杆的长度（欧拉公式一般表达式）m－长度因数－代表支持方式对临界载荷的影响第四节不同杆端约束下细长压杆的临界力公式、压杆的长度系数 386第十二章387例题例1:等截面细长杆，用类比法求Fcr解：1.失稳形式判断存在对称与反对称两类微弯平衡形式2.临界载荷计算第四节不同杆端约束下细长压杆的临界力公式、压杆的长度系数 387第十二章388例2:图示细长压杆，求Fcr解：第四节不同杆端约束下细长压杆的临界力公式、压杆的长度系数 388第十二章389由式(a),(b)与条件(1),(2),得:由式(a),(b)与条件(3),(4),(5),得:第四节不同杆端约束下细长压杆的临界力公式、压杆的长度系数 389第十二章390由此得：两组可能的解：A1,A2,d非零解的条件：第四节不同杆端约束下细长压杆的临界力公式、压杆的长度系数 390第十二章391第五节临界应力总图临界应力与柔度－截面惯性半径－柔度或细长比－临界应力压杆处于临界状态时横截面上的平均应力－欧拉公式综合反映杆长、支持方式与截面几何性质对临界应力的影响细长压杆的临界应力,与柔度的平方成反比,柔度愈大,临界应力愈低 391第十二章392欧拉公式适用范围欧拉公式的适用范围：的压杆－大柔度杆或细长杆例如，Q235钢，E＝200GPa,sp=196MPa第五节临界应力总图 392第十二章393临界应力经验公式适用于合金钢、铝合金、铸铁与松木等的压杆－非细长杆，属于非弹性稳定问题1.直线型经验公式a,b值与材料有关临界应力总图小柔度杆中柔度杆大柔度杆第五节临界应力总图 393第十二章394适用于结构钢与低合金结构钢等2.抛物线型经验公式a1,b1值与材料有关第五节临界应力总图 394第十二章395例题例1：硅钢活塞杆,d=40mm,E=210GPa,lp=100,求Fcr？解：大柔度杆第五节临界应力总图 395第十二章396例2：求图示铬钼钢连杆Fcr。A=70mm2,Iz=6.5104mm4,Iy=3.8104mm4,中柔度压杆的临界应力为：解：在x-y平面失稳在x-z平面失稳中柔度压杆,并在x-y平面失稳第五节临界应力总图 396第十二章397第六节压杆稳定条件、稳定的实用计算压杆稳定条件用载荷表示的稳定条件：用应力表示的稳定条件：nst－稳定安全因数[Fst]－稳定许用压力[sst]－稳定许用应力计算Fcr与scr时,不必考虑压杆局部削弱的影响。 397第十二章398折减系数法j－折减系数或稳定系数[s]－许用压应力压杆稳定条件稳定许用应力第六节压杆稳定条件、稳定的实用计算 398第十二章399压杆合理设计合理选用材料对于大柔度压杆E较高的材料，scr也高注意：各种钢材（或各种铝合金）的E基本相同对于中柔度压杆强度较高的材料，scr也高对于小柔度压杆按强度要求选择材料第六节压杆稳定条件、稳定的实用计算 399第十二章400合理选择截面对于细长与中柔度压杆,l愈小,scr愈高选择惯性矩较大的横截面形状计及失稳的方向性第六节压杆稳定条件、稳定的实用计算 400第十二章401合理安排压杆约束与杆长第六节压杆稳定条件、稳定的实用计算 401第十二章402例题例4：校核斜撑杆的稳定性。F=12kN,杆外经D=45mm,杆内径d=36mm,nst=2.5,低碳钢Q235制成scr=235MPa-(0.00669MPa)l2lp=100解：FN第六节压杆稳定条件、稳定的实用计算 402第十二章403第六节压杆稳定条件、稳定的实用计算 40310平面体系的机动分析结构力学教研组 404重点掌握用基本规律分析体系几何组成的方法要求明确几何构造分析的目的和计算步骤掌握用基本规律分析体系的几何构成了解结构的组成顺序和特点 405（1）几何不变体系、几何可变体系（2）自由度、计算自由度（3）约束、必要和多余约束（4）静定、超静定结构（5）几何不变体系基本组成规则（6）机动分析示例大纲知识点 406（1）几何不变体系、几何可变体系 407几何不变体系在任意荷载作用下，几何形状及位置均保持不变的体系。（不考虑材料的变形）几何可变体系在一般荷载作用下，几何形状及位置将发生改变的体系。（不考虑材料的变形） 408几何不变体系几何可变体系 409几何组成分析的目的（1）检查并保证结构的几何不变性。（体系是否可做结构?并创造新颖合理的结构形式）（2）区分静定结构和超静定结构。（3）指导结构的内力计算（几何组成分析与内力分析之间有密切联系）。 410机动分析（几何构造分析）——判定体系是否几何可变，对于结构，区分静定和超静定的组成。刚片(rigidplate)——平面刚体。形状可任意替换 411（2）自由度、计算自由度 412自由度数--确定物体位置所需要的独立坐标数或体系运动时可独立改变的几何参数数目自由度是度量体系是否运动的数量标志，有自由度的体系必然运动，自由度等于零的体系可能不运动。 413n=3AxyB平面刚体——刚片 414工程结构都是几何不变体系，其自由度的个数为零。平面体系，从坐标系中一个点扩展一个动点A（2），两个动点A、B（2+2）一条线AB、一根杆AB（2+1）一个刚片（在杆的基础上，3），两个刚片（3+3）[归纳法]自由度大于零，肯定几何可变。自由度小于等于零，不一定几何不变。 415m---刚片数（不包括地基）h---单铰数r---支座链杆数计算自由度：计算自由度等于刚片总自由度数减总约束数W=3m-(2h+r) 416铰结链杆体系的计算自由度：j--结点数b--链杆数r--支座链杆数W=2j-（b＋r） 417W>0,缺少足够联系，体系几何可变。W=0,具备成为几何不变体系所要求的最少联系数目。W<0，体系具有多余联系。W>0体系几何可变W<0体系几何不变 418【例】求图示体系的计算自由度W解：m=8g=2h=9b=3W=3m-(3g+2h+b)=3×8-（3×2+2×9+3）=-3 419（3）约束 420一根链杆为一个联系联系（约束）--减少自由度（限制运动）的装置。n=2 421①一根链杆（一活动铰支座）：一个约束；②单铰（一固定铰支座）：两个约束，即相当于两根链杆作用；有实铰、虚铰、瞬铰。③刚结点（固定端支座）：一个刚性结合相当于三个约束。④复铰：联结n个刚片的复铰相当于(n-1)个单铰；⑤复合刚结点：（n-1）简单刚结点 422必要约束：为保持体系几何不变所需的最少约束。如果在一个体系中增加一个约束，体系的自由度因此减少，此约束称为必要约束（或非多余约束）。多余约束：如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此减少，称此约束为多余约束。必要（非多余）约束和多余约束 423链杆1、2（不共线），将A与地面相连接，为必要约束。A12A123链杆1、2、3（不全共线），将A与地面相连接，只限制了两个自由度，有一根链杆是多余约束（多余联系）。 424【例】若多于约束记为s自由度记为n计算自由度为W根据多余约束的定义，上述三个量间有何关系?n＝W+s 425（4）静定结构、超静定结构 426静定结构FFBFAyFAx无多余联系几何不变。如何求支座反力? 427FFBFAyFAxFC超静定结构有多余联系几何不变。能否求全部反力? 428体系几何不变体系几何可变体系有多余联系无多余联系常变瞬变可作为结构静定结构超静定结构不可作结构【例】 429（5）几何不变体系的基本组成规则 4301.三刚片规则：三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相连，组成无多余联系的几何不变体系。 431例如三铰拱大地、AC、BC为刚片;A、B、C为单铰无多余几何不变 432二元体---不在一直线上的两根链杆连结一个新结点的装置。2、二元体规则：在一个体系上增加或拆除二元体，不改变原体系的几何构造性质。 433减二元体简化分析加二元体组成结构 434如何减二元体？ 4353、二刚片规则1：两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联，组成无多余联系的几何不变体系。 436虚铰---联结两个刚片的两根相交链杆的作用，相当于在其交点处的一个单铰，这种铰称为虚铰（瞬铰）。EF二刚片规则2：两个刚片用三根不全平行也不交于同一点的链杆相联，组成无多余联系的几何不变体系。 437注：（1）、以上规律，虽然表达方式不同，但可以归纳为一个基本规律，即三角形规律。说明如三铰不共线，则一个铰结三角形是几何不变的，且无多余约束。（2）、如果把Ⅰ（刚片I）看成为基础，三刚片规则，说明两个刚片的固定方式。则二元体规则，说明一点的固定方式；二刚片规则，说明一个刚片的固定方式。（三种基本的装配方式） 438找虚铰无多几何不变 439行吗？它可变吗？找刚片、找虚铰无穷行吗？ⅠⅡⅢO13O12O23无多几何不变瞬变体系 440（6）机动分析示例 441一、分析方法1.从基础出发进行分析2.从内部刚片出发进行分析3.装配式、拆除式分析 442二、分析技巧1.支杆数为3，体系本身先2.支杆多于3，地与体系联3.几何不变者，常可作刚片4.曲杆两端铰，可作链杆看5.二元体遇到，可以先去掉… 443加、减二元体去支座后再分析无多几何不变瞬变体系 444【例】解：两刚片装配方式。从内部出发，①支座杆为3，可先不考虑基础，分析体系本身。②几何不变部分，可视为一刚片。ⅠⅡADC→Ⅰ，CBE→Ⅱ，ⅠⅡ用铰C和链杆DE联结满足规律2，组成一大刚片。上部体系与基础用3根链杆联结。结论：体系几何不变，无多余约束。 445总结当计算自由度W>0时，体系一定是可变的。但W≤0仅是体系几何不变的必要条件。分析一个体系可变性时，应注意刚体形状可任意改换。按照找大刚体（或刚片）、减二元体、去支座分析内部可变性等，使体系得到最大限度简化后，再应用三角形规则分析。 446几何组成分析要点1.掌握组成分析的一般作法（1）直接用三条规则（2）先求计算自由度，再按规则分析2.恰当选择基本刚片3.掌握组成分析的简化原则（1）尽量暴露分析重点（增减二元体）（2）区分上部体系与基础之间的联结情况（3）等效变换 447（1）、应用以上基本规律，可组成各种各样的平面杆系体系（结构），关键是灵活应用。（2）、用基本规律分析平面杆系体系时，体系中所有杆件（部件）不可重复使用，也不可漏掉，否则有误。 448(a)一铰无穷远情况几何不变体系虚铰在无穷远处的情况不平行 449几何瞬变体系平行 450几何常变体系平行等长 451四杆不全平行几何不变体系(b)两铰无穷远情况 452四杆全平行几何瞬变体系 453四杆平行等长几何常变体系 454TheEnd 455静定结构结构力学教研组沈阳大学建筑工程学院 45611.1静定梁与静定刚架 4571.常见：简支梁、悬臂梁、伸臂梁。计算方法：取全梁为隔离体，可用平面一般力系，三个平衡方程。组成：两刚片组成规律。三个支座反力。一、单跨静定梁§3-1单跨静定梁 4582.用截面法求指定截面上的内力计算内力的方法：截面法。横截面上的内力：FN、FQ、M。正负号规定：轴力和剪力如图所示。弯矩在结构力学中，不规定正负号，画弯矩图时，弯矩画在受拉纤维一面，不注明正负号。dxFNFNFQFQMM（内力分量及正负号） 459截面内力算式：轴力=截面一侧所有外力沿截面法线方向的投影代数和。剪力=截面一侧所有外力沿截面方向的投影代数和。弯矩=截面一侧所有外力对截面形心的力矩代数和。 4603.内力图的特征1）荷载与内力之间的微分关系，由材力知：微元体平衡方程推导出：qxFNFQMFN+⊿FNFQ+⊿FQM+⊿Mydxxqy 4612）上式的几何意义：弯矩图上某点处切线斜率等于该点处的剪力；剪力图上某点处切线斜率等于该点处的横向荷载集度，但符号相反；轴力图上某点处切线斜率等于该点处的轴向荷载集度，但符号相反； 4623）剪力图与弯矩图的形状特征 （据上面的各种关系推出）梁上情况内力图剪力图弯矩图无外力区段常数(水平线)直线变化(平直线或斜直线)均布荷载qy作用区段斜直线(自左至右)抛物线(凸出方向向同qy指向)零极值集中荷载Fy作用处有突变(突变值为Fy)有尖角(尖角突出方向同Fy指向)集中力偶MO作用处无变化有突变(突变值为MO)铰处为零无影响 463注：(１)在铰结处一侧截面上如无集中力偶作用，M＝０。在铰结处一侧截面上如有集中力偶作用，则该截面弯矩＝此外力偶值。(２)自由端处如无集中力偶作用，则该端弯矩为零。自由端处如有集中力偶作用，则该端弯矩＝此外力偶值。 464二、分段叠加法作弯矩图1.简支梁弯矩叠加.梁上荷载:跨间荷载FP(或q),杆端力偶,MA、MB。分为两组:(1)MA,MB单独作用,M图是直线,(2)FP单独作用,M0图是折线。在M图的基础上加MO,即为总的M图。 465abl=MAFPMAMBABCMAMBMAMBFPFPab/lMBFPab/l+M图M0图M图 466三、绘制内力图的一般步骤（1）求反力。（4）连线。根据内力图形状，用直线或曲线相连，对控制点间有荷载作用的情况，其弯矩图可用区段叠间法绘制。（2）分段。凡外力不连续点均应作为分段点，如集中力及力偶作用点、均布荷载的起讫点。（3）定点。用截面法求出内力值，并在内力图的基线上用竖标绘出，定出内力图上的各控制点。 46714416113.680M图(kN•m)72886020FQ图(kN)x=5.6m例：用内力图规律作梁的剪力图和弯矩图解：1、求支座反力2、绘剪力图3、绘弯矩图控制截面：集中力（包括反力）作用点左右；分布荷载起、终点，自由端等等。本题：A右，C左，B左，B右，D控制截面：集中力（包括反力）作用截面；分布荷载起、终点；集中力偶作用截面左右；自由端；剪力零点处等等。本题：A，C左，C右，B，DFyA=72kN（↑）FyB=148kN（↑）FyAFyBAB2mFP=20kNM=160kN•mq=20kN/m8mCD2m 468多跨静定梁1.由中间铰将若干根梁（简单梁）联结在一起而构成的静定梁，称为静定多跨梁。 469分析顺序：先附属部分，后基本部分。荷载仅在基本部分上，只基本部分受力，附属部分不受力；荷载在附属部分上，除附属部分受力外，基本部分也受力。F2F1F1F2 4702.几何组成：基本部分+附属部分。（1）基本部分：不依赖其它部分，本身能独立承受荷载并维持平衡。（2）附属部分：依赖于其它部分而存在。层叠图和传力关系（1）附属部分荷载传基本部分或支撑它的附属部分。（2）基本部分的荷载对附属部分无影响，从层叠图上可清楚的看出来。 4713.计算步骤⑴几何组成分析：分清主次部分⑵分层法：将附属部分的支座反力反向指其基本部分，就是加于基本部分的荷载；⑶内力图：各单跨梁的内力图连在一起 472例101810125叠层关系图先附属，后基本，先求控制弯矩，再区段叠加作内力图 473静定平面刚架一、刚架的特点（组成及类型）1.刚架：由梁柱相互刚结（或部分铰接）组成，主要由刚结点维持的几何不变的体系。优点：刚度大，净空大，应用广。 474变形特点：在刚结点处各杆不能发生相对转动，各杆件可以产生弯曲、剪切、轴向变形。受力特点：内力相应有M，FQ，FN。杆件可称为“梁式杆”。FP1FP2 475刚结点处的变形特点保持角度不变 476二、类型 477有基、附关系的刚架基本部分附属部分 478 479 480超静定刚架一个多余约束三个多余约束 481三、静定刚架内力计算1.支座反力求解静定刚架时，悬臂式刚架可先不求反力；简支式刚架、三铰式刚架和组合类型刚架，一般应先求反力，再进行内力计算。 4822.各杆的杆端内力1）计算方法：隔离体，平衡方程，截面法。2）内力表示方法：内力符号双脚标，两个字母表示两个杆端,第一个字母表示杆端力是哪一端的，如MAB为AB杆A端的弯矩。 4833.内力正负号规定：弯矩M—不规定正负方向，弯矩图纵坐标画在杆件受拉纤维一边。剪力FQ—规定同材力。轴力FN—规定同材力。 4844.计算步骤反力→M图→FQ图→FN图→校核静定刚架的内力图绘制方法：一般先求反力，然后求控制弯矩，用区段叠加法逐杆绘制，原则上与静定梁相同。 485【例】试作图示刚架的内力图48kN42kN22kN1264814419212(单位：kNm).求反力 486【例】试作图示刚架的内力图48kN42kN22kN1264814419212(单位：kNm).FQFN 487【例】试作图示刚架的弯矩图附属部分基本部分弯矩图如何? 488 489§3-4快速绘制弯矩图的一些规律及示例◆一、快速、准确绘制弯矩图的规律1.利用q、Q、M之间的微分关系以及一些推论（1）无荷载区段，M为直线直线（2）受匀布荷载q作用时，M为抛物线，且凸向与q方向一致 490（3）受集中荷载P作用时，M为折线，折点在集中力作用点处，且凸向与P方向一致。PP（4）受集中力偶m作用时，在m作用点处M有跳跃（突变），跳跃量为m，且左右直线均平行。mm平行 4912.铰处M=0M=0M=0？3.刚结点力矩平衡40202010202030 4924.集中力P与某些杆轴线重合时，M为零PPM=05.剪力Q为常值时，M图为斜线；剪力Q为零时，M为常值，M图为直线。M=0PP剪力Q为常值时，M图为斜线剪力Q为零时，M图为直线。 493试作图示刚架的弯矩图。各杆杆长均为l。◆二、示例PPPPM=0PlQ=P，M为一斜线2Pl2PlQ=0，M为一直线 494【例】试作图示多跨静定梁的弯矩图。1kN/m4kN.m4kN22铰处的M为零，且梁上无集中荷载作用，M图为一无斜率变化的斜直线。2242484 495【例】试作图示刚架的弯矩图。PPP三根竖杆均为悬臂，其M图可先绘出。PaPaPaPa属悬臂部分，相应的M图为水平线。铰处的M为零，响应的M图为一斜直线。Pa两段的剪力相等铰处的M为零，M图的坡度（斜率）相等，两条线平行。PaABCDEG 496TheEnd 497静定结构结构力学教研组 49811.2静定拱 499（5）拱的定义和受力特点（6）三铰拱内力计算 500概述拱是杆轴线为曲线并且在竖向荷载作用下会产生水平反力的结构。三铰拱P拱与梁的区别：1.杆轴线的曲直；2.在竖向荷载作用下产生水平反力。这种水平反力又称为推力。P梁P曲梁 501一、拱的构成及其受力特点组成：杆件多为曲杆（也有折线杆），至少有两个水平约束，支座不能自由移动。受力特点：在（向下的）竖向荷载作用下，支座产生（向内的）水平推力。因为有水平推力的存在，拱轴上各个截面上的弯矩通常比相应的曲梁（或简支梁）小。 502拱常用的形式三铰拱两铰拱无铰拱静定拱超静定拱凡在竖向荷载作用下会产生水平反力的结构都可称为拱式结构或推力结构。P推力结构 503拱的主要优点：由于水平推力的存在使得拱的弯矩要比跨度、荷载相同的梁的弯矩小得多，并主要是承受压力。拱的主要缺点：由于支座要承受水平推力，因而要求比梁具有更坚固的地基或支承结构（墙、柱、墩、台等）P拉杆来代替支座承受水平推力拉杆提高净空P 504跨度l起拱线拱高f拱轴线拱顶拱趾高跨比 505二、拱的类型1.基本类型：静定：三铰拱超静定：二铰拱无铰拱 5062.其他分类方法：可按：拱轴的曲线形式（如抛物线，圆，悬链线等）；拱轴的构造（实体式，桁架式，带拉杆式等）；拱趾的位置（平拱，斜拱）等分类方式。 507实体三铰拱平拱带拉杆的拱斜拱 508三铰拱的计算一、支座反力的计算公式：（注：平拱，竖向荷载）由∑MA=0,∑MB=0可得：FVA=?FVB=?由∑x=0FHA=FHB=FH 509ClfFP1FP2FP3FAVFBVFAHFBHl1l2xya1a2a3b1b2b3CFP1FP2FP3相应简支梁 510由∑MA=0,∑MB=0可得：FAV=∑FPibi/lFBV=∑FPiai/l由∑x=0；FAH=FBH=FH由∑MC=0相应简支梁的支座反力和C点的弯矩=？ 511可以看出，与相应简支梁相比，三铰拱的竖向反力恰等于相应简支梁的竖向反力。三铰拱的水平反力公式的分子部分相当于相应简支梁截面C处的弯矩M0C。因此，公式可写为：FAV=F0AVFBV=F0BVFH=M0C/f水平反力只与三个铰的位置有关，与拱轴曲线的形状无关。水平反力与拱的高跨比成反比。 5121.弯矩的计算公式规定：使拱的内侧纤维受拉的弯矩为正，反之为负。MK=[FVAxK–FP1(xK–a1)]-FHyKM=M0-FHy由此可见，因为推力的存在，使得拱轴截面上的弯矩比相应简支梁对应截面上的弯矩小。二、内力的计算公式 513ClfFP1FP2FP3FVAFVBFHAFHBxya1a2a3b1b2b3CFP1FP2FP3KxkykφkAKFVAFHAFP1KφkMKFQKFNK 5142.剪力的计算公式规定：拱轴内的剪力正负号规定同材料力学。任一截面K的剪力FQK等于该截面一侧所有各力沿该截面方向投影的代数和。FQK=FVAcosφK–FP1cosφK-FHsinφK=(FVA–FP1)cosφK-FHsinφKFQ=F0Qcosφ-FHsinφ式中：φ为截面K处拱轴切线的倾角，φ在左半拱为正，在右半拱为负。 5153.轴力的计算公式规定：轴力使拱轴截面受压为正。任一截面K的轴力FNK等于该截面一侧所有各力沿该截面处拱轴切线方向投影的代数和。FNK=FVAsinφK-FP1sinφK+FHcosφK=(FVA–FP1)sinφK+FHcosφKFN=F0Qsinφ+FHcosφ式中：φ为截面K处拱轴切线的倾角，φ在左半拱为正，在右半拱为负。 516注：以上公式只适用于竖向荷载作用下的平拱。对于一般荷载作用下的三铰平拱，可由平衡方程求反力，再求各截面内力。CfFVAFVBFHAFHBl1l2q 517请大家对上述公式进行分析 518由于推力的存在，拱的弯矩比相应简支梁的弯矩要小。三铰拱在竖向荷载作用下轴向受压。三铰拱的内力不但与荷载及三个铰的位置有关，而且与拱轴线的形状有关。 519因为无论拱上的荷载形式如何，拱的内力图均为曲线图形，为此，将拱跨分成八等份，然后列表计算各个截面上的内力，最后画出内力图。1234567CFH=6kNFH=6kNFVA=7kNFVB=5kNxy16m4kN1kN/mf=4m8m4m4mD08 520FP=4kNq=1kN/ml=8×1.5m=12mFP=4kNq=1kN/mABC012345678122024242024.5 521三铰拱的合理轴线合理拱轴：使拱轴各截面处于无弯矩（和剪力）状态的轴线，称为拱的合理轴线。拱在给定荷载作用下，当拱上各个截面不产生弯矩和剪力，各截面都处于均匀受压的状态，此时，材料能得到充分的利用，相应的拱截面尺寸将是最小的。从上节的推导可知：拱轴上各截面的弯矩，不但与荷载有关，还与拱的轴线有关。 522对于竖向荷载作用下的三铰拱，可用数解法来定出拱的合理轴线方程。由：M=M0-FHy当拱轴为合理轴线时，拱中各个截面上的弯矩均应为零，故有：M=M0-FHy=0由此得出：y=M0K/FH 523例:试求图示三铰拱在沿全跨长的水平荷载作用下的合理拱轴线。xyflABCqq 524解：相应简支梁的弯矩方程为：M0=1/2·q·x·(l-x)FH=M0C/f=(1/8·q·l2)/f=q·l2/8f由公式（4-10）得拱的合理轴线方程：y=[1/2·q·x·(l-x)]/(q·l2/8f)=(4f/l2)·x(l-x)由此可见，在沿全跨长的水平均布荷载作用下，三铰拱的合理轴线是一根二次抛物线。 525【例】试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴线MC0=ql2/8FH=ql2/8fM0=qlx/2-qx2/2=qx(l-x)/2y=4fx(l-x)/l2抛物线 526值得指出，合理拱轴的确定与拱所承受的荷载有关。工程实际中，同一结构承受不同荷载作用时，对应于不同的荷载有不同的合理轴线形式。由于荷载的多样性，一般情况下，很难达到理想化的合理拱轴，因此，只能力求使所选的拱轴线接近合理拱轴线。 527TheEnd 528静定结构结构力学教研组 52911.3静定平面桁架●本章教学基本要求：理解理想桁架的概念；熟练掌握静定平面桁架杆件轴力的计算方法；能利用结点平衡的特殊情况判定零杆和等力杆；掌握静定组合结构的受力特点及内力计算方法。●本章教学内容的重点：运用结点法、截面法计算桁架各杆轴力；静定组合结构内力的计算方法；三种平面梁式桁架的受力特点。●本章教学内容的难点：合理地确定计算路径，恰当地选择隔离体和平衡方程。 530●大纲知识点（7） 结点法（8） 截面法（10）截面法和结点法的联合应用（11）组合结构的计算11.3静定桁架和组合结构的受力分析 531桁架的特点和组成a)屋架160m80m16mb)桥梁c)水闸闸门 532关于桁架计算简图的三个假定1）各结点都是光滑的理想铰。2）各杆轴线都是直线，且通过结点铰的中心。3）荷载和支座反力都作用在结点上，且通过铰的中心。满足以上假定的桁架，称为理想桁架。上弦杆下弦杆节间长度跨度ldh桁高斜杆竖杆1212FNFNFQ1=0FQ2=0桁架的特点和组成 533桁架的组成特点理想桁架是各直杆在两端用理想铰相连接而组成的几何不变体系（格构式结构、链杆体系）。5.1.3桁架的力学特性理想桁架各杆其内力只有轴力（拉力或压力）而无弯矩和剪力。上弦杆下弦杆节间长度跨度ldh桁高斜杆竖杆1212FNFNFQ1=0FQ2=0桁架的特点和组成 534主内力和次内力按理想桁架算出的内力（或应力），称为主内力（或主应力）；由于不符合理想情况而产生的附加内力（或应力），称为次内力（或次应力）。大量的工程实践表明，一般情况下桁架中的主应力占总的应力的80%以上，所以，主应力的确定是桁架中应力的主要部分。也就是说，桁架的内力主要是轴力。桁架的特点和组成 535静定平面桁架的分类1.按桁架的几何组成方式分1）简单桁架——从一个基本铰结三角形或地基上，依次增加二元体而组成的桁架。a）e）d）桁架的特点和组成 5362）联合桁架——由几个简单桁架按照两刚片或三刚片组成几何不变体系的规则构成的桁架。3）复杂桁架——不是按上述两种方式组成的其它桁架b）c）桁架的特点和组成 5372.按桁架的外形分1）平行弦桁架。2）三角形桁架。3）折弦桁架。4）梯形桁架。a）b）d）e）3.按支座反力的性质分1）梁式桁架或无推力桁架。2）拱式桁架或有推力桁架。f）桁架的特点和组成 538计算静定平面桁架各杆轴力的基本方法，仍是隔离体平衡法。根据截取隔离体方式的不同，又区分为结点法和截面法。结点法结点法是截取桁架结点为隔离体，利用平面汇交力系的两个平衡条件，求解各杆未知轴力的方法。结点法最适合用于计算简单桁架。 5391.利用力三角形与长度三角形对应边的比例关系简化计算为了便于计算，一般不宜直接计算斜杆的轴力FN，而是将其分解为水平分力Fx和Fy先行计算。利用这个比例关系，就可以很简便地由其中一个力推算其它两个力，而不需要使用三角函数进行计算。FNFNFxFylxlyloxyBAa(长度三角形)(力三角形)结点法 540用图示桁架为例，来说明结点法的应用。首先，可由桁架的整体平衡条件，求出支座反力，标注于图5-5a中。然后，即可截取各结点解算杆件内力。15kN15kN15kN4m4m4m3m1234567F6=120kNF7H=120kNF7V=45kN115kNFN12FN13Fx13Fy13结点法 54115kN15kN15kN4m4m4m3m1234567F6=120kNF7H=120kNF7V=45kN1515352012021520201531535152030405060460600515205030400456075120660604575451207120454512015kN15kN15kN4m4m4m3m1234567F6=120kNF7H=120kNF7V=45kN-20-20-120201515255040300604575-456060-++5.2结点法 542注：1、简单桁架，可按不同的结点次序组成，用结点法计算时，可按不同的顺序截取结点脱离体进行计算。2、利用分力与合力的几何关系，可用分力代替合力，以简化计算。3、选择适当的投影轴，一个轴垂直于一个（或几个）未知力，避免解联立方程。 5434、用结点法计算桁架轴力时，有时可利用力的滑移原理，然后用力矩方程进行计算。例如：AF1∑Mc=0hFN1Fx1Fy12CdBFN1FN2Fy1=Fd/h 5442.利用结点平衡的特殊情况，判定零杆和等力杆(1)关于零杆的判断在给定荷载作用下，桁架中轴力为零的杆件，称为零杆。2）T形结点：成T形汇交的三杆结点无荷载作用，则不共线的第三杆（又称单杆）必为零杆，而共线的两杆内力相等且正负号相同（同为拉力或压力）。1）L形结点：成L形汇交的两杆结点无荷载作用，则这两杆皆为零杆。L形结点T形结点T形结点（推广）FN1=0FN2=0FN3=0(单杆)FN2=FN1FN1FN1=FPFN2=0FP=结点法 545(2)关于等力杆的判断1）X形结点：成X形汇交的四杆结点无荷载作用，则彼此共线的杆件的内力两两相等。X形结点FN1FN3FN2=FN1FN4=FN35静定平面桁架 5462）K形结点：成K形汇交的四杆结点，其中两杆共线，而另外两杆在此直线同侧且交角相等，若结点上无荷载作用，则不共线的两杆内力大小相等而符号相反。3）Y形结点：成Y形汇交的三杆结点，其中两杆分别在第三杆的两侧且交角相等，若结点上无与该第三杆轴线方向偏斜的荷载作用，则该两杆内力大小相等且符号相同。K形结点Y形结点FN1FN1FN3FN3FN2=FN1FN2=-FN1FN4≠-FN3aaaa静定平面桁架 547例：应用以上结论，简化下列桁架的计算。FP0000000000000000 548例:判断图示桁架有几根零杆?00000FPFP 549【例】试求图示桁架各杆的轴力。解：(1)利用桁架的整体平衡条件，求出支座A、B的反力。(2)判断零杆。(3)计算其余杆件的轴力。ABCDEFPFP1.5aaaaa1.5a4FP/34FP/312345678910静定平面桁架 5501234567891011ABCDABC 551【例】试求图示桁架各杆的轴力。解：(1)利用桁架的整体平衡条件，求出支座A、B的反力。(2)判断零杆。(3)计算其余杆件的轴力。AABBCCDDEEEFPFPFPFP1.5aaaaa1.5a4FP/34FP/312345678910FNE1FNE2FxE2FyE2-4FP/3-4FP/3-4FP/3-4FP/35FP/35FP/35FP/35FP/3静定平面桁架 552【例】试求图示桁架杆件a的轴力。首先，假设FN14=FN，取结点1为隔离体，由可得FN12=FN14=FNllllFP1234a14设FN14=FNFN12=FNFNaFNFNFP静定平面桁架 553依次由结点2（属K形结点推广情况）和结点3（属K形结点情况），可判定FN23=-FN12=-FNFN34=-FN23=FNllllFP1234a14设FN14=FNFN12=FNFNaFNFNFP静定平面桁架 554再取结点4为隔离体，由 ，得（拉力）llllFP1234a14设FN14=FNFN12=FNFNaFNFNFP静定平面桁架 555最后，再回到结点1，由 ，得（压力）llllFP1234a14设FN14=FNFN12=FNFNaFNFNFP静定平面桁架 556截面法是截取桁架一部分（包括两个以上结点）为隔离体，利用平面一般力系的三个平衡条件，求解所截杆件未知轴力的方法。截面法最适用于联合桁架的计算；简单桁架中少数指定杆件的内力计算。1.选择适当的截面，以便于计算要求的内力在分析桁架内力时，如能选择合适的截面、合适的平衡方程及其投影轴或矩心，并将杆件未知轴力在适当的位置进行分解，就可以避免解联立方程，做到一个平衡方程求出一个未知轴力，从而使计算工作得以简化。截面法 557一、平面一般力系Oy截面单杆：任意隔离体中，除某一杆件外，其它所有待求内力的杆件均相交于一点时，则此杆件称为该截面的截面单杆。截面单杆的内力可直接根据隔离体矩平衡条件求出。截面法 558①、截面上只截断三根杆，且此三杆不交于一点（或不彼此平行），则其中每一杆都是截面单杆。——力矩法amm②、截面上截杆件数大于三根，但除某一杆外，其余各杆都交于一点（或都彼此平行），则此杆也是截面单杆。——投影法amm截面法 559（1）、一般情况，基本方法求图示桁架杆13、14、24、36的轴力。解：（1）、求反力。l=6dh1h2FPFPFPFPFPFyAFyB（2）、计算指定杆轴力，作截面I-I。II 560l=6dh1h2FPFPFPFPFPFyAFyBIIFyAFN13FN14FN244Oa3Fx13Fy13Fx14Fy14∑M1=0求出FN24∑M4=0求出Fx13∑MO=0求出Fy14FPⅡⅡ∑Fy=0求出Fy36力矩法投影法 561解：取Ⅰ-Ⅰ截面左边（或右边）部分为隔离体。可由一个平衡方程解出一个未知力。由，可得12345678910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaaⅠⅠ1271082FPFPabⅠⅠFPFNaFNbFN8,10FN2,9FN9,10【例】试求图示桁架指定杆件a、b的轴力。截面法 562由，可得12345678910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaaⅠⅠ1271082FPFPabⅠⅠFPFNaFNbFN8,10FN2,9FN9,10截面法 5632.选择适当的平衡方程，使每个方程中只含一个未知力FPFPFPFPFPFPFPFPFPFAyFAyFAyFAyFByFByⅠⅠⅠⅠⅠⅠⅠⅠaaABCCCABACxyFNaFNa00(矩心)截面法 564【例】试求图示桁架指定杆件1、2、3的轴力。解：截取截面Ⅰ-Ⅰ左边部分为隔离体，只需注意选择适当矩心，分别列写出相应的三个力矩平衡方程，即可求出所截开三杆的未知轴力。FPFPFPABCDEFGH2m2m2m2m1m1m213ⅠⅠ1.5FP1.5FPFPACⅠⅠF1.5FPGFN1FN2FN3Fx3Fy3D(矩心一)FPAC1.5FPⅠⅠFFN1FN3FN2Fx2Fy2G(矩心二)FPAC1.5FP(矩心三)FN1FN3FN2FⅠⅠ截面法 565(1)求FN3在图5-14b中，由，得1.5FP×4-FP×2+Fx3×2=0FPFPFPABCDEFGH2m2m2m2m1m1m213ⅠⅠ1.5FP1.5FPFPACⅠⅠF1.5FPGFN1FN2FN3Fx3Fy3D(矩心一)静定平面桁架 566(2)求FN2：在图5-14c中，由，得FPFPFPABCDEFGH2m2m2m2m1m1m213ⅠⅠ1.5FP1.5FPFPAC1.5FPⅠⅠFFN1FN3FN2Fx2Fy2G(矩心二)截面法 567(3)求FN1：在图5-14d中，由，得FPFPFPABCDEFGH2m2m2m2m1m1m213ⅠⅠ1.5FP1.5FPFPAC1.5FP(矩心三)FN1FN3FN2FⅠⅠ截面法 5683.截面法求解联合桁架截面法还常用于计算联合桁架中各简单桁架之间联系杆的轴力。作Ⅰ-Ⅰ截面并取左边（或右边）为隔离体，由求出FNa。FPFPFPFPFPFPFPFPFAyFAyFByAABCCDEⅠⅠⅠⅠDaFNa(联系杆)截面法 569可作一封闭截面Ⅰ-Ⅰ，截取隔离体如图5-16b所示，由可求出FNb；由，可求出FNa；由，可求出FNc（由于FN1、FN2均成对出现，计算中有关项相互抵消）。FPFPFAyFByABCDabcⅠⅠ12FPFByFNbFNaFNcFPFN1FN1FN2FN2截面法 570PABRARBRB。kPP。kP二、特殊截面简单桁架——一般采用结点法计算；联合桁架——一般采用截面法计算。 571【例】试求示桁架指定杆件a、b、c的轴力。解：(1)求FNa：取截面Ⅰ-Ⅰ左边为隔离体由求得FNa1234567891011121314ⅠⅠabcⅡⅡF1yF12yFP123F1yⅠⅠ46FNa(矩心一)静定平面桁架 572(2)求FNb：取截面Ⅱ-Ⅱ左边为隔离体由求出Fxb，从而按比例求得FNb。1234567891011121314ⅠⅠabcⅡⅡF1yF12yFPF1y123456ⅡⅡ7FNaFNb(矩心二)FxbFyb静定平面桁架 573(3)求FNc：取结点5为隔离体,该结点属于K形结点FNc=-FNb1234567891011121314ⅠⅠabcⅡⅡF1yF12yFP5FNc=-FNbFNb静定平面桁架 574结点法与截面法的联合运用【例】试求图示桁架指定杆件a、b、c的轴力。解：(1)求FNa：取截面Ⅰ-Ⅰ上边部分为隔离体FP12abcⅠⅠ2m2m2m4m4m3m+- 575(2)求FNb：取结点1为隔离体FP12abcⅠⅠ2m2m2m4m4m3m+-静定平面桁架 576(3)求FNc：取结点2为隔离体FP12abcⅠⅠ2m2m2m4m4m3m+-静定平面桁架 577静定组合结构组合结构是由桁杆（二力杆）和梁式杆所组成的、常用于房屋建筑中的屋架、吊车梁以及桥梁的承重结构。计算组合结构时，先分清各杆内力性质，并进行几何组成分析，对可分清主次结构的，按层次图，由次要结构向主要结构的顺序，逐结构进行内力分析；对无主次结构关系的，则需在求出支座反力后，先求联系桁杆的内力，再分别求出其余桁杆以及梁式杆的内力，最后，作出其M、FQ和FN图。FPFPqAABBCC 578需强调的是，要注意区分桁杆和梁式杆。在建立平衡方程计算中，要尽可能避免截取由桁杆和梁式杆相连的结点。FPAAAABBBBCCC桁杆桁杆梁式杆梁式杆（全铰）（组合结点）静定组合结构 579【例】试求图示组合结构的内力，并作内力图。解：其层次图和计算路径，如图所示FPFPAABBCCBDDEEFFaaa2FPa2FP2FPFPFPⅠⅠⅠⅠFPa0静定组合结构 580根据计算结果，作出M、FQ和FN图，如图所示。2FPaFPaM图FPFPFP2FP2FPFQ图FN图FPABCBDEF2FPa2FP2FPFPFPⅠⅠFPa0静定组合结构 581【例】试求图示组合结构的内力，并作内力图。解：(1)进行几何组成分析(2)计算支座反力(3)计算桁杆轴力(4)分析梁式杆内力FNDE=2FPABCFFPFP2FP2FP2FP2FPFPaFPaG2FP2FPABCFG3FPFP2FP2FP2FP2FP++2FP2FP4FPABCFGDEaaaaaFP3FP4FP2FP-2FP-2FP2FP2FPⅠⅠⅡⅡ静定组合结构 582(5)作组合结构内力图FPFPFPFPFPFPAAAAABBBBBCCCCDEFFFFGGGG2FP2FP2FP2FPFPaFPaM图FQ图FN图FQ梁图FN梁图2FP2FP静定组合结构 583静定结构的特性1.静力解答的唯一性2.静定结构无自内力静定结构的全部反力和内力均可由静力平衡条件求得，且其解答是唯一的确定值。自内力，是指超静定结构在非荷载因素作用下一般会产生的内力。AABBCCC’C’B’DBHDBVt2t1(＞t2) 5843.局部平衡特性在荷载作用下，如仅有静定结构的某个局部（一般本身为几何不变部分）就可与荷载保持平衡，则其余部分内力为零。FPFPFPFP/2FP/2FPa/2FPaFPaFPaFPaFPaMA=FPaABCDM图aaaaaaaaABCDEFABCDaFRAy=FPM图M图静定结构的特性 585平衡力系的影响当由平衡力系组成的荷载作用在静定结构的某一本身为几何不变的部分上时，则只有此部分受力，其余部分的反力内力皆为零。PP平衡力系PP 5864.荷载等效特性当静定结构的内部几何不变局部上的荷载作静力等效变换时，只有该部分的内力发生变化，而其余部分的内力保持不变。ABCDFPFP/2FP/2FPaFPa/2FPa/2原荷载FP/2FP/2FP/2FP/2FPa/2FPa/2ABCD等效代换荷载FPFP/2FP/200ABCDFPa/2aaaa局部平衡荷载+‖静定结构的特性 587利用这一特性，可得到在非结点荷载作用下桁架的计算方法：FP/32FP/3FPFP/32FP/3FP2l/3l/3=+静定结构的特性 588静定结构的内力与刚度无关静定结构的内力仅由静力平衡方程唯一确定，而不涉及到结构的材料性质（包括拉压弹性模量E和剪切弹性模量G）以及构件的截面尺寸（包括面积A和惯性矩I）。因此，静定结构的内力与结构杆件的抗弯、抗剪和抗拉压的刚度EI、GA和EA无关。 589静定结构基本性质满足全部平衡条件的解答是静定结构的唯一解答证明的思路：静定结构是无多余联系的几何不变体系，用刚体虚位移原理求反力或内力解除约束以“力”代替后，体系成为单自由度系统，一定能发生与需求“力”对应的虚位移，因此体系平衡时由主动力的总虚功等于零一定可以求得“力”的唯一解答。 590FP静定结构FPM解除约束,单自由度体系FPMΔα体系发生虚位移刚体虚位移原理的虚功方程FPΔ-Mα=0可唯一地求得M=FPΔ/α 591TheEnd 592静定结构结构力学教研组 593第12章 结构的位移计算●本章教学基本要求：理解变形体系虚功原理的内容及其在结构位移计算中的应用；理解广义力和广义位移的概念；熟练掌握计算结构位移的单位荷载法；熟练掌握图形相乘法在位移计算中的应用；了解线弹性体系的互等定理。●本章教学内容的重点：静定结构由于荷载作用、支座移动、温度变化和制造误差而产生的位移计算，特别是用图形相乘法计算梁和刚架的位移。●本章教学内容的难点：广义力和广义位移的概念；变形体系的虚功原理及其证明。 594基本概念结构的位移结构的位移概念在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变，称为结构变形，结构变形引起结构上任一横截面位置和方向的改变，称为位移。1.一个截面的位移（绝对位移）1）截面A位置的移动（用截面形心的移动来表示）ΔA，称为线位移，可分解为：水平线位移ΔAH（亦可记作uA）和竖向线位移（挠度）ΔAV（亦可记作vA）。2）截面A位置的转动（用该点切线方向的变化来表示）θA，称为角位移或转角。ABCqA1B1θAθADAvAuA 5952.两个截面之间的位移（相对位移）1）相对线位移2）相对角位移AA1BB1FPFPCDDADBθCθDθCD基本概念 5963.一个微杆段的位移1）刚体位移（不计微段的变形）：u、v、θ2）相对位移（反应微段的变形，因此又称为变形位移）：du、dv、dθ。这是描述微段总变形的三个基本参数。dsuvθ微段刚体位移dsg0g0dvdv=g0ds微段相对位移（剪切变形）dsdu=eds微段相对位移（轴向变形）ds微段相对位移（弯曲变形）dθ=ds/R=kds概述 597式中，ε为轴向伸长应变，为平均剪切应变，k为曲率（，R为轴线变形后的曲率半径）。dsuvθ微段刚体位移dsdu=eds微段相对位移（轴向变形）dsg0g0dvdv=g0ds微段相对位移（剪切变形）ds微段相对位移（弯曲变形）dθ=ds/R=kds3.一个微杆段的位移基本概念 598对于常见的在荷载作用下的弹性结构，则有式中，FN、FQ、M分别为轴力、剪力、弯矩；EA、GA、EI分别为抗拉压、抗剪、抗弯刚度；μ为考虑剪应力分布不均匀系数，如对于矩形截面μ=1.2，圆形截面μ=10/9，薄壁圆环形截面，工字形或箱形截面μ=A/A1（A1为腹板面积）。3.一个微杆段的位移基本概念 599结构位移产生的原因1）荷载作用。2）温度变化或材料胀缩。3）支座沉陷或制造误差。基本概念 600结构位移计算的目的1）从工程应用方面看——主要进行结构刚度验算。2）从结构分析方面看——为超静定结构的内力分析（如第7章力法等）打好基础（利用位移条件建立补充方程）。3）从土建施工方面看——在结构构件的制作、架设等过程中，常需预先知道结构位移后的位置，以便制定施工措施，确保安全和质量。4）从后续专题方面看——在结构力学的两大课题，即结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结构的位移。基本概念 601结构位移计算的方法1.几何法例如，材料力学中主要用于计算梁的挠度的重积分法。2.功能法计算结构位移的虚功法是以虚功原理为基础的，所导出的单位荷载法最为实用。单位荷载法能直接求出结构任一截面、任一形式的位移，能适用于各种外因，且能适合于各种结构；还解决了重积分法推导位移方程较烦且不能直接求出任一指定截面位移的问题。基本概念 602基本概念功、实功与虚功1.功功包含了力和位移两个因素。2.静力荷载所做的功静力荷载，是指荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地增加到最终值，结构在静力加载过程中，荷载与内力始终保持平衡。所谓实功，是指力在其自身引起的位移上所做的功。 6033.常力所做的虚功所谓虚功，是指力在另外的原因（诸如另外的荷载、温度变化、支座移动等）引起的位移上所做的功。FPFP1FP1DD11D11q21o12实功功、实功与虚功基本概念 604FP1在Δ12上做的功W12是力FP1在另外的原因（M2）引起的位移上所做的功，故为虚功。所谓“虚”，就是表示位移与做功的力无关。在作虚功时，力不随位移而变化，是常力，故在计算式中没有系数“1/2”。FP1(先)FP1D11D12D12q21q22111222M2(后)M2功、实功与虚功基本概念 605功、实功与虚功基本概念【例】虚功和实功有何不同？解：①虚功并非不存在之意，力和位移是分别属于同一体系的两种彼此无关的状态，只强调作功的力与位移彼此独立无关：做功的位移不是由力引起的，而是由其它因素（其它力、其它外因）引起的。②作虚功的位移，并不限于荷载引起的，也可以由其它原因引起的。③实功恒为正，虚功可正可负。④两种功计算方法不同。 606对于各种形式常力所做的虚功，用力和位移这两个彼此独立无关的因子的乘积来表示，即式中，FP是做功的与力有关的因素，称为广义力，可以是单个力、单个力偶、一组力、一组力偶等。Δ是做功的与位移有关的因素，称为与广义力相应的广义位移，可以是绝对线位移、绝对角位移、相对线位移、相对角位移等。广义力和广义位移虚功原理 6071.作虚功的力系为两个等值、反向、共线的集中力图4-3（a）所示体系上的力在图4-3（b）位移上做的虚功为其中：是与该广义力对应的广义位移，表示AB两点间的相对水平位移。广义力和广义位移虚功原理 6082.作虚功的力系为一个集中力图4-3（c）所示体系上的力在图4-3（b）虚位移上做的虚功为其中：是广义位移，是A点的水平位移。广义力和广义位移虚功原理 6093.作虚功的力系为一个集中力偶图4-4（a）所示体系上的力偶在图4-4（b）虚位移上做的虚功为其中：是广义位移，是A截面的转角。广义力和广义位移虚功原理 6104.作虚功的力系为两个等值、反向的集中力偶图4-4（c）所示体系上的力偶在图4-4（b）虚位移上做的虚功为其中：是广义位移，是A、B两截面的相对转角。广义力和广义位移虚功原理 611刚体体系虚功原理刚体体系处于平衡的必要和充分条件是，对于符合约束条件的任意微小虚位移，刚体体系上所有外力所做的虚功总和等于零。变形体的虚功原理1.关于原理的表述变形体系处于平衡的必要及充分条件是：对于符合约束条件的任意微小虚位移，变形体系上所有外力在虚位移上所做虚功总和δWe,等于各微段上内力在其变形虚位移上所做虚功总和δWi，也即恒有如下虚功方程成立。δWe,=δWi虚功原理 612变形体的虚功原理或者说，变形体体系上第Ⅰ状态的外力沿第Ⅱ状态中相应的位移所作的虚功（外力虚功）=变形体体系上第Ⅰ状态的内力沿第Ⅱ状态中相应的变形（应变）所作的虚功（内力虚功）。2.变形体虚功原理的证明虚功原理1)按外力虚功与内力虚功计算（从变形的连续条件考虑）所有微段的外力虚功之和W微段外力分为两部分：体系外力、相互作用力微段外力功分为两部分：体系外力功dWe、相互作用力功dWn微段外力功dW=dWe+dWn所有微段的外力功之和:W=∫dWe+∫dWn=∫dWe=δWe 613变形体的虚功原理虚功原理 6142)按刚体虚功与变形虚功计算（从力系的平衡条件考虑）所有微段的外力虚功之和W微段位移分为两部分：刚体虚位移和变形虚位移微段外力功分为两部分：在刚体位移上的功dWg，在变形位移上的功dWi微段外力功dW=dWg+dWi所有微段的外力功之和:W=∫dWi=δWi故有δWe=δWi成立。虚功原理 6153.变形体虚功方程的展开式在上图中，外力虚功：微段ds的内虚功dWi：虚功原理 6163.变形体虚功方程的展开式仅考虑微段的变形虚位移而不考虑其刚体虚位移时，外力不做功，只有截面上的内力做功。整根杆件的内虚功为：根据虚功方程W=Wi，所以有：结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总和得平面杆件结构的虚功方程可表示为虚功原理 6174.变形体虚功原理的几点说明1）虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。因此原理仅是必要性命题。2）原理的证明表明:原理适用于任何(线性和非线性)的变形体，适用于任何结构。虚功原理 6183）原理可有两种应用：虚位移原理：实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，将平衡问题化为几何问题来求解。虚力原理：实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，将位移分析化为平衡问题来求解。刚体体系的虚功原理只是变形体系虚功原理的一个特例。虚功原理 619【例】变形体系处于平衡的必要及充分条件是什么？解：对于符合约束条件的任意微小虚位移，变形体系上所有外力在虚位移上所做虚功总和δWe,等于各微段上内力在其变形虚位移上所做虚功总和δWi。虚功原理 620单位荷载法位移计算的一般公式在变形体虚功方程中，若外力只是一个单位荷载FP1=1，则虚功方程为：所以这种通过虚设单位荷载作用下的平衡状态，利用虚力原理求结构位移的方法，称为单位荷载法。该方法适用于结构小变形情况。1.单位荷载法 621此式适用于任何材料的静定或超静定结构。这种通过虚设单位荷载作用下的平衡状态，利用虚力原理求结构位移的方法，称为单位荷载法。该方法适用于结构小变形情况。广义单位荷载FP=1为外加单位荷载（FP上面不加横线表示），属单位物理量，是量纲1的量（以往称为无量纲量）。位移计算的一般公式单位荷载法2.位移计算的一般公式 622单位荷载法公式应用说明1.引起位移的外因可以是荷载，也可以是初应变、支座位移、温度变化、装配误差、制造误差、材料胀缩等。2.引起位移的变形可以是弯曲变形，也可以是轴向变形或剪切变形，同时含刚体位移。3.所能计算的位移可以是线位移，也可以是角位移或相对线（角）位移，也就是广义位移。 623单位荷载法公式应用说明4.杆件结构的类型可以是梁、刚架、桁架、拱或组合结构，它们可以是静定的，也可以是超静定的。5.材料可以是弹性，也可以是非弹性的。6.应用这个公式每次可以求一个广义位移分量。沿待求位移方向加虚单位力时指向可以任意假设，若求得的位移为正值，则表示实际位移的指向和假设单位力的指向相同。7、所加的虚单位广义力应该和所求的广义位移对应。 624虚拟单位荷载的施加方法应用单位荷载法每次只能求得一个位移。这个位移可以是线位移，也可以是角位移或相对线位移、相对角位移，即属广义位移。因此，需特别强调，当求任意广义位移时，所需施加的虚单位荷载，应是一个在所求位移截面、沿所求位移方向并且与所求广义位移相应的广义力。这里，“相应”是指力与位移在做功关系上的对应，如集中力与线位移对应，力偶与角位移对应，等等。1）图示为求刚架K点沿i-i方向的线位移时的虚拟力状态。FP=1iiK单位荷载法 6252）图示为求刚架K截面角位移时的虚拟力状态。3）图示为求刚架A、B两点沿其连线方向相对线位移时的虚拟力状态。4）图示为求刚架A、B两截面相对角位移时的虚拟力状态。M=1KFP=1FP=1ABM=1M=1AB虚拟单位荷载的施加方法单位荷载法 6265）求桁架A、B两点沿其连线方向相对线位移时的虚拟力状态。6）桁架第i杆角位移时的虚拟力状态。施加于该杆两端结点的一对力正好构成一个单位力偶M=1，其中每一个力均为1/li且与该杆垂直，这里的li为第i杆的长度。7）桁架第i与第j杆两根杆间相对角位移的虚拟力状态。施加于该两杆两端结点的各一对力，正好构成方向相反的一对单位力偶。FP=1FP=1ABli1/li1/lililj1/li1/li1/lj1/lj虚拟单位荷载的施加方法单位荷载法 627虚拟单位荷载的施加方法单位荷载法 628虚拟单位荷载的施加方法单位荷载法 629虚拟单位荷载的施加方法单位荷载法 630静定结构在荷载作用下的位移计算在荷载作用下位移计算的一般公式当仅考虑荷载作用时，无支座位移项在荷载作用下，对于由线弹性直杆组成的结构，应变与内力的关系如下： 631如果各杆均为直杆，则可用dx代替ds，即MP、FNP、FQP——实际荷载引起的内力；、、——虚设单位荷载引起的内力。平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式在荷载作用下位移计算的一般公式静定结构在荷载作用下的位移计算 632关于内力的正负号可规定如下：轴力FNP、——以拉力为正；在荷载作用下位移计算的一般公式剪力FQP、——以使微段顺时针转动者为正；弯矩MP、——只规定乘积的正负号。当与MP使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取正值。静定结构在荷载作用下的位移计算 633各种杆件结构的位移计算公式1.梁和刚架在梁和刚架中，位移主要是弯矩引起的，轴力和剪力的影响较小，因此，位移公式可简化为静定结构在荷载作用下的位移计算 6342.桁架在桁架中，在结点荷载作用下，各杆只受轴力，而且每根杆的截面面积A以及轴力和FNP沿杆长一般都是常数，因此，位移公式可简化为静定结构在荷载作用下的位移计算3.拱对一般拱结构的位移计算不考虑剪切、轴向变形的影响，一般只考虑弯曲变形，取： 6353.拱但当拱轴线与压力线比较接近（即两者的距离与杆件的截面高度为同量级），或者是计算扁平拱（f/l<1/5）中的水平位移时，则还需要考虑轴向变形的影响，即有而像拱坝一类的厚度较大的拱形结构，剪切变形的影响则需一并考虑。静定结构在荷载作用下的位移计算 6364.组合结构本节中所列出的在荷载作用下的位移计算公式，不仅适用于静定结构，也同样适用于超静定结构。静定结构在荷载作用下的位移计算 637静定结构在荷载作用下的位移计算 638【例】试求图示简支曲梁点A的水平位移DAH。已知EI=常数。解：(1)列写在实际荷载作用下的MP的表达式当0≤x≤a时，当a≤x≤l时，AABBflal-aCDxyFPFPDK1K2xxl-x(0≤x≤a)(a≤x≤l)静定结构在荷载作用下的位移计算 639(2)列写在虚单位荷载作用下的的表达式当0≤x≤l时，(3)计算位移值ABxy11静定结构在荷载作用下的位移计算 640已有基础：1.静定结构的内力计算；2.利用位移计算公式求静定结构的位移；3.杆件结构在荷载作用下的位移计算公式,即:图乘法 641图形相乘法计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，常需利用公式6.5.1适用条件1）杆段的EI为常数。2）杆段的轴线为直线。3）杆段的图和MP图中至少有一个为直线图形。 642(a)公式证明式中，dA=MPdx为MP图中有阴影线的微分面积，而即为整个MP图的面积对y轴的静矩。用x0表示MP的形心至y轴的距离，则有(b)xyOxx0y0dxAABBC形心面积AdA=MPdxMP图MP图=xtanay0=x0tanaa图形相乘法 643即将式（b）代入（a），有式中，y0=x0tana，是MP图的形心C处所对应的图中的竖标。可见，上述积分式等于一个弯矩图的面积A乘以其形心C处所对应的另一直线弯矩图上的竖标y0，再除以EI。这种以图形计算代替积分运算的位移计算方法，就称为图形相乘法（图乘法）。图形相乘法 644如果结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算公式可写为6.5.2公式使用说明1）y0只能取自直线图形，而A应取自另一图形。2）当A与y0在弯矩图的基线同侧时，其互乘值应取正号；在异侧时，应取负号。图形相乘法3）下图列出了几种常见简单图形的面积与形心位置。须注意的是：图中所示抛物线M图均为标准抛物线，即M图曲线的中点（或端点）为抛物线的顶点，而曲线顶点处的切线均与基线平行，该处剪力为零。 645lllllhhCCCCCCC2l/3l/3(l+a)/3(l+b)/3abl/2l/23l/4l/43l/85l/82l/53l/54l/5l/5顶点顶点顶点二次抛物线二次抛物线A=hl/2A=hl/2A=2hl/3A1A2A1A2A1=2hl/3A2=hl/3A1=3hl/4A2=hl/4图形相乘法 6464）如果MP与均为直线，则y0可取自其中任一图形。5）如果是折线图形，而MP为非直线图形，则应分段图乘，然后叠加。A1A2y01y02MP图图图形相乘法 6476）如果杆件为阶形杆（EI为分段常数），则应按EI分段图乘，然后叠加，如图所示。MP图A1A2y01y02EI1EI2图图形相乘法 6487）如果MP图为复杂的组合图形（由不同类型荷载按区段叠加法绘出），因而其面积和形心位置不便确定，则可用叠加法的逆运算，将MP图分解（还原）为每一种荷载作用下的几个简单图形，分别与图互乘，然后叠加。其中梯形的分解A1A2y01y02MP图图abcdl图形相乘法 649当MP或图的竖标a、b或c、d不在基线同侧时，如图6-19b所示，处理原则仍和上面一样，可将MP分解为位于基线两侧的两个三角形（其中A1在上侧，A2在下侧），按上述方法，分别图乘，然后叠加。MP图A1A2y01y02abcdl图6.5图形相乘法 650=+抛物线非标准图形的分解MAMBqa2/8MAMBdxqa2/8ABMAMBaqABMAMBqa2/8aMAMBdxqa2/8ABaMAMBABq=+图形相乘法 651应用图乘法的计算步骤【例】试求如图a所示简支梁跨中截面C的挠度DCV和B端的转角qB。已知EI=常数。解：(1)作实际荷载弯矩图，如图b所示。qABCll/2l/2ABCql2/8A1A2A0MP图1）作实际荷载弯矩图MP图。2）加相应单位荷载，作单位弯矩图图。3）用图乘法公式求位移。图形相乘法ab 652(2)加相应单位荷载，作单位弯矩图(3)用图乘法公式求位移：将MP图与图相乘，则得qABCll/2l/2ABCql2/8A1A2A0MP图AABBCCy01y02y0l/4111图图图形相乘法 653()将MP图与图相乘，则得qABCll/2l/2ABCql2/8A1A2A0MP图AABBCCy01y02y0l/4111图图图形相乘法 654支座移动、温度变化引起的位移计算支座移动引起的位移计算静定结构当支座发生位移时，并不产生内力，也不产生微段变形，而只发生刚体位移。这时，平面杆系结构位移计算的一般公式可简化为式中，为虚拟状态中由单位荷载引起的与支座位移相应的支座反力，CK为实际状态中与相应的已知的支座位移。为反力虚功总和，当与CK方向一致时，其乘积取正；相反时，取负。须注意，公式S前面的负号，系原来推导公式移项时所得，不可漏掉。 655支座移动、温度变化引起的位移计算温度变化引起的位移计算关于温度变化的假定第一，温度沿杆件长度均匀分布。第二，温度沿截面高度直线变化。静定结构温度变形的特征静定结构当温度发生变化时，各杆件均能自由变形（但不产生内力），同样可采用单位荷载法。由于上述第一点假设，温度沿杆长度均匀分布，杆件不可能出现剪切变形（即微段dv=0），同时注意到实际状态的支座位移为零， 656（6-19）因此，位移公式（6-9）可进一步简化为式中，dq和du为实际温度状态下，因材料热胀冷缩所引起的各微段的弯曲变形和轴向变形。只要能求出dq和du的表达式，即可利用（6-19）求得结构的位移。支座移动、温度变化引起的位移计算 657关于du的计算表达式截取一微段ds,截面变形之后仍保持为平面。其上侧、下侧形心轴处纤维伸长分别为du1=at1dsABCABCdsdsB1C1DCVt1t1t2t2t1t2dsdq,du1duhh1h2at1dsat2dsat0dsdq形心轴du2=at2dsdu=at0ds式中，a为材料的温度线膨胀系数。支座移动、温度变化引起的位移计算 658按几何关系可得中性轴温度的变化为故（6-20a）ABCABCdsdsB1C1DCVt1t1t2t2t1t2dsdq,du1duhh1h2at1dsat2dsat0dsdq形心轴支座移动、温度变化引起的位移计算 659当截面对称于形心轴，即时，则式（6-20a）成为（6-20b）于是，温度变化引起的微段轴向变形（6-21）ABCABCdsdsB1C1DCVt1t1t2t2t1t2dsdq,du1duhh1h2at1dsat2dsat0dsdq形心轴支座移动、温度变化引起的位移计算 660关于dq的计算表达式若令上下边缘温差为（6-22）t1t2dsduhh1h2at1dsat2dsat0dsdq形心轴则温度引起的微段弯曲变形可表达为（6-23）支座移动、温度变化引起的位移计算 661静定结构由于温度变化引起的位移计算公式将式（6-21）和式（6-23）代入式（6-19），即得若t0、Dt和h沿各自杆件全长为常量，则即（6-25b）支座移动、温度变化引起的位移计算 6626.6.2.6关于符号的规定当实际温度变形与虚拟内力方向一致时，变形虚功为正，即其乘积为正，反之则为负。据此，如Dt取绝对值，则高温一侧的为正；如t0以升高为正，则以拉为正。式中，，为图的面积；，为 图的面积。对于梁和刚架，在计算温度变化引起的位移时，轴向变形的影响一般不容忽视。支座移动、温度变化引起的位移计算 663静定结构由于制造误差引起的位移计算对于桁架，在温度变化时，其位移计算公式为（6-26）当桁架的杆件长度因制造误差而与设计长度不符时，由此引起的位移计算与温度变化时相类似。设各杆长度的误差为Dl（伸长为正，缩短为负），则位移计算公式为（6-27)支座移动、温度变化引起的位移计算 664【例】图6-30a所示刚架施工时温度为20℃，试求冬季当外侧温度为-10℃，内侧温度为0℃时，C点的竖向位移DCV。已知：l=4m，a=10-5，各杆均为矩形截面，高度h=40cm。解：外侧温变为:t1=(-10)-20=-30℃内侧温变为:t2=0-20=-20℃℃℃ABCllt1=-30℃t1=-30℃t2=-20℃支座移动、温度变化引起的位移计算 665加相应单位荷载，作图和图ABCllt1=-30℃t1=-30℃t2=-20℃ABC1ABCll图ABC1图支座移动、温度变化引起的位移计算 666【例】试求图示结构由于支座A发生竖向位移c1=2cm和转角c2=0.02rad所引起截面E的竖向位移DEV和转角qE。解：(1)虚设相应单位力，求出单位支反力（），如图6-27b、c所示。(2)利用公式（6-18），计算位移值()ABCDc1c2qEDEV4m4m4m2ma)实际状态1b)虚拟状态一c)虚拟状态二1支座移动、温度变化引起的位移计算 667线弹性体系的互等定理本节讨论的四个普遍定理——互等定理，是采用小变形和线弹性的假定，并根据虚功原理导出的。其中，最基本的是虚功互等定理（亦简称功的互等定理）；其它三个定理：位移互等定理、反力互等定理、反力与位移互等定理，则是应用虚功互等定理的三个特例。这些定理在以后有关章节的理论推导和简化计算中，都有重要作用。虚功互等定理表述:一个弹性结构，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的外力虚功（W12），等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的外力虚功（W21）。即: 668证明:设有两组外力FP1和FP2分别作用于同一线弹性结构上，如图所示，分别称为结构的第一状态和结构的第二状态。第一状态的力在第二状态的位移上做虚功，则根据虚功方程W外=W变，可得（a）FP1FP2D12D211122第一状态第二状态线弹性体系的互等定理 669第二状态的力在第一状态的位移上做虚功，可得(b)以上两式的右边完全相同，因此左边也应相等，故有或写为证毕FP1FP2D12D211122第一状态第二状态线弹性体系的互等定理 670位移互等定理位移互等定理是虚功互等定理的一个特殊情况。这就是位移互等定理。它表明：第二个单位力引起的第一个单位力的作用点沿其方向的位移（d12），等于第一个单位力引起的第二个单位力的作用点沿其方向的位移（d21）。如果图的FP1和FP2都是单位力（量纲为1），相应的位移由D改为d表示，则有1122FP1=1FP2=1d21d12线弹性体系的互等定理 671须指出的是，这里的单位力及其相应的位移，可以是广义力和相应的广义位移。即位移互等可以是两个线位移之间的互等、两个角位移之间的互等，也可以是线位移与角位移之间的互等。位移互等定理将在力法计算超静定结构中得到应用。在图示的两个状态中，根据位移互等定理应有q21=d12。即FP1=1M=11122d12q21l/2l/26.7线弹性体系的互等定理 672反力互等定理这个定理也是虚功互等定理的一个特殊情况。在图示的两个状态中,根据虚功互等定理，有现在D1=D2=1，故得D1=1D1=1D2=11122k12k21线弹性体系的互等定理 673反力互等定理：约束1发生单位位移所引起的约束2的反力（k21），等于约束2发生单位位移所引起的约束1的反力（k12）。这个定理对结构上任何两个支座都适用，但须注意反力与位移在做功的关系上相对应，即力对应线位移，力偶对应角位移。图中，k21为反力，k12为反力偶，虽然含义不同，但此二者在数值上是相等的，量纲也相同。反力互等定理将在位移法计算超静定结构中得到应用。D1=1D1=1D2=11122k12k21线弹性体系的互等定理 674反力与位移互等定理这个定理是虚功互等定理的又一特殊情况。对上述两个状态应用虚功互等定理，其中而因此，由虚功互等定理W12=W21，恒有D2=1D2=1d121122k21FP=1线弹性体系的互等定理 675现在D2=1，FP1=1，故反力与位移互等定理：单位力所引起结构某支座反力（k21），等于该支座发生单位位移时所引起的单位力的作用点引起方向的位移（d12），但符号相反。反力与位移互等定理将在混合法计算超静定结构中得到应用。线弹性体系的互等定理 676【例】讨论线弹性体系的四个互等定理之间的关系。解：互等定理，是采用小变形和线弹性的假定，并根据虚功原理导出的。其中，最基本的是虚功互等定理（亦简称功的互等定理）；其它三个定理：位移互等定理、反力互等定理、反力与位移互等定理，则是应用虚功互等定理的三个特例。 677TheEnd 67814.1位移法结构力学教研组6/12/2022679 679求解超静定结构的两种最基本的方法：力法位移法力法适用性广泛，解题灵活性较大。（可选用各种各样的基本结构）。位移法在解题上比较规范，具有通用性，因而计算机易于实现。位移法可分为：手算——位移法电算——矩阵位移法位移法的基本概念6/12/2022680 680力法与位移法最基本的区别：基本未知量不同力法：以多余未知力基本未知量位移法：以某些结点位移基本未知量力法和位移法的解题思路：力法：先求多余未知力结构内力结构位移6/12/2022681 681解题过程：超静定结构拆成基本 结构加上某些条件原结构的变形协调条件（力法基本方程）6/12/2022682 682位移法：先求某些结点位移结构内力解题过程：结构拆成单根杆件的组合体加上某些条件1.杆端位移协调条件2.结点的平衡条件6/12/2022683 683适用范围：力法:超静定结构位移法：超静定结构，也可用于静定结构。一般用于结点少而杆件较多的刚架。例：6/12/2022684 684用位移法计算图示刚架。在受弯杆件中，略去杆件的轴向变形和剪切变形的影响。假定受弯杆两端之间的距离保持不变。为了使问题简化，作如下计算假定：6/12/2022685 685由此可知，结点1只有转角Z1，而无线位移，汇交于结点1的两杆杆端也应有同样的转角Z1。整个刚架的变形只要用未知转角Z1来描述，如果能设法求得转角Z1，即可求出刚架的内力。6/12/2022686 686为了求出Z1值，可先对原结构作些修改这样，原结构就被改造成两个单跨梁：lB是两端固定梁，1A是一端固定、另端铰支梁。1A1B基本体系基本结构P6/12/2022687 687在位移法分析中，需要解决以下三个问题：第一，确定杆件的杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系（即杆件分析或单元分析）。第二，选取结构上哪些结点位移作为基本未知量。第三，建立求解这些基本未知量的位移法方程（即整体分析）。这些问题将在以下各节中予以讨论。6/12/2022688 688等截面直杆的转角位移方程应用位移法需要解决的第一个问题就是，要确定杆件的杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系（杆件的转角位移方程）。利用力法的计算结果，由叠加原理导出三种常用等截面直杆的转角位移方程。8.2.1杆端内力及杆端位移的正负号规定1.杆端内力的正负号规定杆端弯矩对杆端而言，以顺时针方向为正，反之为负；对结点或支座而言，则以逆时针方向为正，反之为负。杆端剪力和杆端轴力的正负号规定，仍与前面规定相同。6/12/2022689 6892.杆端位移的正负号规定角位移以顺时针为正，反之为负。线位移以杆的一端相对于另一端产生顺时针方向转动的线位移为正，反之为负。例如，图中，DAB为正。等截面直杆的转角位移方程6/12/2022690 690单跨超静定梁的形常数和载常数位移法中，常用到图示三种基本的等截面单跨超静定梁，它们在荷载、支座移动或温度变化作用下的内力可通过力法求得。由杆端单位位移引起的杆端内力称为形常数，列入表8-1中。表中引入记号i=EI/l，称为杆件的线刚度。等截面直杆的转角位移方程a)两端固定b)一端固定一端铰支c)一端固定一端定向支承6/12/2022691 691由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数。其中的杆端弯矩也常称为固端弯矩，用和表示；杆端剪力也常称为固端剪力，用和表示。常见荷载和温度作用下的载常数列入表8-2中。等截面直杆的转角位移方程a)两端固定b)一端固定一端铰支c)一端固定一端定向支承6/12/2022692 692转角位移方程1.两端固定梁由叠加原理可得等截面直杆的转角位移方程（8-1）6/12/2022693 6932.一端固定另一端铰支梁等截面直杆的转角位移方程（8-2）6/12/2022694 6943.一端固定另一端定向支承梁等截面直杆的转角位移方程（8-3）6/12/2022695 695应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超静定梁的杆端弯矩。至于杆端剪力，则可根据平衡条件导出为式中，和分别表示相当简支梁在荷载作用下的杆端弯矩。等截面直杆的转角位移方程对上述三种基本的单跨超静定梁的杆端剪力表达式，也可根据叠加原理，写出如下：（8-4）6/12/2022696 6961）两端固定梁2）一端固定另一端铰支梁3）一端固定另一端定向支承梁等截面直杆的转角位移方程（8-5）（8-6）（8-7）6/12/2022697 697位移法的基本未知量和基本结构一、超静定结构计算的总原则:欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。力法的特点：基本未知量——多余未知力；基本体系——静定结构；基本方程——位移条件（变形协调条件）位移法的特点：基本未知量——基本体系——基本方程——独立结点位移平衡条件？一组单跨超静定梁6/12/2022698 698二、基本未知量的选取2、结构独立线位移：（1）忽略轴向力产生的轴向变形---变形后的曲杆与原直杆等长；（2）变形后的曲杆长度与其弦等长。上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。CDABCD12每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：1、结点角位移数：结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。6/12/2022699 699线位移数也可以用几何方法确定。140将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。6/12/2022700 7002、位移法的基本未知量（1）、刚结点转角位移。每个刚结点有一个独立的角位移未知量。（2）、独立的结点线位移。在传统的位移法中，由于考虑了杆件的变形假定，结点独立线位移的确定有一定的难度。6/12/2022701 701①、一般刚架（简单），可直接观察判断。判断方法：n=nθ+n⊿=2+1=36/12/2022702 702②、附加链杆法，由两个已知不动点出发（无线位移点），引出的两个不平行的受弯直杆的相交点也不动。控制所有结点成为不动点，所需添加的最少链杆数,则为独立线位移的个数。ABCDEF原结构ABCDEFn=nθ+n⊿=2+1=36/12/2022703 703③、几何法，把刚结点（包括固定端支座）变成铰结点，则此铰结体系的自由度数目即为原结构独立结点线位移的个数。（将此机构变为几何不变体系，所需加上的最少链杆数，即为独立线位移的个数。)因为不考虑各杆长度的改变，所以结点独立线位移的个数，可以用几何构造分析方法得出。n=nθ+n⊿=4+2=66/12/2022704 704举例：（1）、等高刚架。位移法：n=nθ+n⊿=6+2=8。位移法：n=nθ+n⊿=7+3=10。力法：n=3×4=12。力法：n=3×4=12。6/12/2022705 705（2）、刚架有组合结点位移法：n=nθ+n⊿=4+2=6力法：n=3+2=5。组合结点6/12/2022706 706（7）、刚架有内力静定的杆件ABCDEn=nφ+n⊿=2+1=3ABDCEn=nφ+n⊿=2+0=26/12/2022707 707（3）、刚架有刚性杆(EI1=∞)n=nθ+n⊿=0+1=1(EI1≠∞)n=nθ+n⊿=2+1=3n=nθ+n⊿=0+1=1(EA=∞)n=nθ+n⊿=0+2=2(EA≠∞)6/12/2022708 708（4）、有斜杆的刚架n=nθ+n⊿=2+1=3n=3+2=5(α≠0)n=2+1=3(α=0)（分析计算较麻烦）6/12/2022709 709（5）、考虑受弯直杆的轴向变形， 考虑受弯曲杆的变形情况各杆EI=c，EA=cn=nθ+n⊿=2+4=6各杆EI=cn=nθ+n⊿=2+2=46/12/2022710 710（6）、ABCD213n=nφ+n⊿=2+1=3注意13，32杆6/12/2022711 711（8）、用位移法计算桁架结构n=nφ+n⊿=0+5=56/12/2022712 712位移法的基本体系为了分析计算的需要，引用两种附加约束装置：附加刚臂：只阻止结点转动，不能阻止结点移动。附加链杆：只阻止结点沿某一方向的移动，不能阻止结点转动。本节介绍通过位移法的基本体系建立位移法典型方程的方法。6/12/2022713 713在基本结构上加上原来的力P，由于附加刚臂不允许结点1转动，此时只有梁lB发生变形，梁1A则不变形。此时附加刚臂中产生了反力矩R1P，反力矩规定以顺时针为正。于是，基本结构与原结构就发生了差别，表现为：1．由于加了约束，使结点1不能转动，而原来是能转动的。基本结构PR1P6/12/2022714 7142．由于加了约束，产生了约束反力矩，而原来是没有这个约束反力矩的。为了消除基本结构与原结构的差别，在结点1的附加约束上人为地加上一个外力矩R11，迫使结点1正好转动了一个转角Z1，于是变形复原到原先给定的结构。R11Z1Z16/12/2022715 715结点1正好转动一个转角Z1时，所加的附加约束不再起作用，其数学表达式为：R1=0即外荷载和应有的转角Z1共同作用于基本结构时，附加约束反力矩等于零。根据叠加原理，共同作用等于单独作用的叠加：R1＝R11＋R1P=0（a)R11为强制使结点发生转角Z1时所产生的约束反力矩。R1P为荷载作用下所产生的约束反力矩。6/12/2022716 716为了将式(a)写成未知量Z1的显式，将R11写为为单位转角（Z1＝1）产生的约束反力矩。R11=r11Z1Z1=16/12/2022717 717式（a）变为其物理意义是，基本结构由于转角Z1及外荷载共同作用，附加刚臂1处所产生的约束反力矩总和等于零。由此方程可得可见，只要有了系数及自由项R1P，Z1值很容易求得。6/12/2022718 718为了确定上式中的R1P和，可先用力法分别求出各单跨超静定梁在梁端、柱顶1处转动Z1=1时产生的弯矩图及外荷载作用下产生的弯矩图。6/12/2022719 719r11Z1=16/12/2022720 720P1AR1PPMP图6/12/2022721 721现取图、MP图中的结点1为隔离体，由力矩平衡方程，求出：6/12/2022722 722将这些结果代入位移法基本方程中解方程，即得最后，根据叠加原理，即可求出最后弯矩图。6/12/2022723 7231.在原结构产生位移的结点上设置附加约束，使结点固定，从而得到基本结构，然后加上原有的外荷载；通过上述两个步骤，使基本结构与原结构的受力和变形完全相同，从而可以通过基本结构来计算原结构的内力和变形。综上所述，位移法的基本思路是：２.人为地迫使原先被“固定”的结点恢复到结构原有的位移。6/12/2022724 7248m4mii2iABCD3kN/mR1PABCDR2PABCDZ1R11R21ABCDZ2R12R22Z2z2R11+R12+R1P=0………………(1a)R21+R22+R2P=0………………(2a)三、选择基本体系四、建立基本方程§8-4位移法的典型方程及计算步骤6/12/2022725 7251.5i3(2i)2i4iZ2ABCDR12R22R11+R12+R1P=0………………(1a)R21+R22+R2P=0………………(2a)ABCDZ1R11R21ii2i=1r11r21=1r12r22=0………..(1)=0………..(2)r11Z1+r12Z2+R1Pr21Z1+r22Z2+R2Pr2104i6ir111.5ir12r22r11=10ir21=-1.5ir12=-1.5i6/12/2022726 726R1PABCDR2P4kN`·m4kN·mMPR2P040R1P-6R1P=4kN·mR2P=-6kN位移法方程：六、绘制弯矩图4.4213.625.691.4M(kN·m)ABCD五、计算结点位移6/12/2022727 727r11Z1+r12Z2+··········+r1nZn+R1P=0r21Z1+r22Z2+··········+r2nZn+R2P=0··································rn1Z1+rn2Z2+··········+rnnZn+RnP=012Z1=1r11r21r12r22Z2=1r11×0+r21×1r21=r12=r12×1+r22×0rij=rji具有n个独立结点位移的超静定结构：6/12/2022728 728讨论：1、主系数、副系数（反力系数，刚度系数）、自由项主系数rii（主反力）：Zi=1时，附加约束i方向的反力（或反力矩）。恒为正，不为零。6/12/2022729 729副系数rij（i≠j）（副反力）：Zj=1时，附加约束i方向的反力（或反力矩）。可正，可负，可为零。由反力互等定理：rij=rji自由项RiP：荷载单独作用下，附加约束i方向上的反力（或反力矩）。可正，可负，可为零。6/12/2022730 7302、基本方程是按一定规则写出的，它不依结构的形式不同而异。基本方程中每一个系数都是由结构的结点单位位移引起的附加约束反力。结构的刚度愈大，反力（或反力矩）数值愈大。因此，基本方程又成为刚度方程；位移法称为刚度法。6/12/2022731 7312）确定基本体系。加附加约束，锁住相关结点，使之不发生转动或移动，而得到一个由若干基本的单跨超静定梁组成的组合体作为基本结构（可不单独画出）；使基本结构承受原来的荷载，并令附加约束发生与原结构相同的位移，即可得到所选择的基本体系。3）建立位移法的典型方程。根据附加约束上反力矩或反力等于零的平衡条件建立典型方程。5）解方程，求基本未知量（Zi）。典型方程法的计算步骤4）求系数和自由项。在基本结构上分别作出各附加约束发生单位位移时的单位弯矩图 图和荷载作用下的荷载弯矩图MP图，由结点平衡和截面平衡即可求得。1）确定基本未知量数目：n=ny+nl6/12/2022732 7326）作最后内力图。按照叠加得出最后弯矩图；根据弯矩图作出剪力图；利用剪力图根据结点平衡条件作出轴力图。7）校核。由于位移法在确定基本未知量时已满足了变形协调条件，而位移法典型方程是静力平衡条件，故通常只需按平衡条件进行校核。可以看出，位移法（典型方程法）与力法在计算步骤上是极其相似的，但二者的未知量却有所不同。典型方程法的计算步骤6/12/2022733 733小结：从计算过程可见，位移法的基本方程都是平衡方程。对应每一个转角未知量，有一个相应的结点力矩平衡方程。对应每一个独立的结点线位移未知量，有一个相应截面上的力的平衡方程。直接平衡法—先拆后搭，根据结点或截面平衡列基本方程。6/12/2022734 734无侧移刚架的计算如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架称为无侧移刚架。ABC3m3m6mEIEIP=20kNq=2kN/mBqBEIPBEIMBAMABMBC1、基本未知量B2、固端弯矩3、列杆端转角位移方程设4、位移法基本方程（平衡条件）6/12/2022735 73516.7215.8511.573.21MBAMBCqBEIPBEIMBAMABMBC3、列杆端转角位移方程4、位移法基本方程（平衡条件）5、各杆端弯矩及弯矩图M图(1)变形连续条件:在确定基本未知量时得到满足；(2)物理条件:即刚度方程；(3)平衡条件:即位移法基本方程。超静定结构必须满足的三个条件:6/12/2022736 736二、刚架的计算（举例说明）1、无侧移刚架123FPEI1aa/2a/2EI2=2EI1原结构θ1θ1（1）、图示刚架有一个基本未知量θ1。（2）、利用杆端弯矩的一般公式（8-12）等，写出各杆端弯矩的表达式。杆13：M13=4i13θ13+2i13θ31-6i13⊿13/l+MF13注意：θ13=θ1，θ31=0，⊿13=0，MF13=0M13=4iθ1同理：M31=2iθ1令：EI1/a=i6/12/2022737 737123FPEI1aa/2a/2EI2=2EI1θ1θ1杆12：M12=3i12θ12-3i12⊿12/l+MF12M21=0注意：θ12=θ1，⊿12=0MF12=-3FPa/16M12=3×2iθ1–3FPa/161M13M12由结点1的力矩平衡条件∑M1=0：M13+M12=0θ1=3FPa/160i10iθ1–3FPa/16=0解出：6/12/2022738 738求各杆的杆端弯矩。作最后弯矩图。M13=4i×（3FPa2/160i）=3FPa/40M31=2i×（3FPa2/160i）=3FPa/80M12=6i×（3FPa2/160i）-3FPa/16=-3FPa/40FPM图23117FPa/803FPa/803FPa/406/12/2022739 739例1、试用位移法分析图示刚架。4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0（1）基本未知量B、C（2）杆端弯矩Mij计算线性刚度i，设EI0=1，则梁6/12/2022740 740柱(3)位移法方程梁4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I。5I。4I。3I。3I。6/12/2022741 741(4)解方程(相对值)(5)杆端弯矩及弯矩图梁柱ABCDFE43.546.924.514.73.451.79.84.89M图6/12/2022742 742小结1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；2、单元分析、建立单元刚度方程是基础；3、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括外力矩。ABCDqqPMMMCBMCDC6/12/2022743 743AEIlQABQBA复习角变位移方程中的杆端剪力：ABCDiiqqQBAQDC其中绘制弯矩图的方法：（1）直接由外荷载及剪力计算；（2）由角变位移方程计算。ABCD有侧移刚架的计算6/12/2022744 744EIlQABQBAAB其中lABCDiii1=qq复习角变位移方程中的杆端剪力：绘制弯矩图……………………………..M（ql2）QDCQBA6/12/2022745 745Ph1h2h3I1I2I3例：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。解：1）基本未知量：ΔΔΔ2）各柱的杆端剪力侧移刚度J=3i/h2，则：Q1=J1Δ，Q2=J2Δ，Q3=J3ΔQ1+Q2+Q3=PJ1Δ+J2Δ+J3Δ=PPQ1Q2Q3iihJPJM=Qihiå=iiJPJQå=P柱顶剪力：柱底弯矩：åJhPJ11åJhPJ33åJhPJ223）位移法方程∑X=0M结点集中力作为各柱总剪力，按各柱的侧移刚度分配给各柱。再由反弯点开始即可作出弯矩图。6/12/2022746 746MABQABMBAQBAMBCQCDQDCMDC例1.用位移法分析图示刚架。[解]（1）基本未知量B、（2）单元分析BC8m4mii2iABCD3kN/m6/12/2022747 747MABQABMBAQBAMBCQCDQDCMDCBCMBCMBA（3）位移法方程QBA+QCD=0…………...(2a)QBAQCD（4）解位移法方程6/12/2022748 748（4）解位移法方程（5）弯矩图MAB=-13.896kN·mMBA=-4.422kN·mMBC=4.422kN·mMDC=-5.685kN·mQBA=-1.42kNQCD=-1.42kNABCD13.8964.4224.4225.685M图（kN·m）6/12/2022749 749ABCDEFmq例2.用位移法分析图示刚架。思路MBAMBCMCBMBEMEBMCDmMCFMFCQBEQCF基本未知量为：6/12/2022750 750PABCDEFpQCEQCAQCB基本未知量为：MCEMCAMCDQCAQCEMCAMCDMCE6/12/2022751 751位移法要点：1）位移法的基本未知量是结点位移；2）位移法以单根杆件为计算单元；3）根据平衡条件建立以结点位移为基本未知量的基本方程。4）先将结构拆成杆件，再将杆件搭成结构。这就将复杂结构的计算问题转换为简单的杆件分析与综合问题。位移法计算刚架时的特点：1）基本未知量是结点位移；2）计算单元是一组单跨超静定梁；3）位移法方程是根据平衡条件建立的。应用位移法求解刚架需要解决三个问题：①单跨超静定梁的内力分析；②位移法基本未知量的确定；③位移法方程的建立与求解。①把结构拆成杆件（物理条件）②把杆件装成结构（变形协调、平衡）6/12/2022752 752↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m25kN.m32kN4m4m2m2mABCDE2EIEIEIEI2i=111直接平衡法的计算步骤：1）确定位移法的基本未知量。（铰结点、铰支座的转角，定向支座的侧移不作为基本未知量）。2）由转角位移方程列杆端弯矩表达式。3）由平衡条件列位移法方程。4）解方程，求结点位移。5）将结点位移代回杆端弯矩表达式，求出杆端弯矩。6）校核（平衡条件）6/12/2022753 753练习：用位移法求解刚架弯矩图6/12/2022754 754TheEnd6/12/2022755 755结构力学教研组14.2渐近法 756●本章教学的基本要求：理解力矩分配法的基本概念；会用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架在荷载及支座移动作用下的内力；了解无剪力分配法的概念、应用范围和计算方法；了解多层多跨刚架的近似计算法（分层计算法和反弯点法）。●本章教学内容的重点：应用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架在荷载作用下的内力。●本章教学内容的难点：无剪力分配法的概念。 757概述基本方法力法和位移法是分析超静定结构的两个经典的基本方法。渐近解法渐近法具有计算简便、步骤规范、易于掌握且精度可控（由运算次数的多少自行控制计算精度）等优点，因而成为工程设计的适用方法。本章将讨论力矩分配法和无剪力分配法。近似解法分层计算法，适用于计算在竖向荷载作用下的多层多跨刚架；反弯点法，适用于计算受水平结点荷载作用的多层多跨刚架。 758力矩分配法的基本概念力矩分配法的正负号规定力矩分配法的理论基础是位移法，故力矩分配法中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都假设对杆端顺时针旋转为正号。作用于结点的外力偶荷载、作用于附加刚臂的约束反力矩，也假定为对结点或附加刚臂顺时针旋转为正号。力矩分配法的基本思路 759力矩分配法的基本概念a)实际受力和变形情况 7601.“锁住”结点B，求固端弯矩求结点不平衡力矩力矩分配法的基本概念b)B点加阻止转动的附加刚臂（锁住状态）＋ 7612.“放松”结点B，求分配弯矩和传递弯矩力矩分配法的基本概念c)放松B点附加刚臂，使之转动qB（放松状态）- 7623.利用叠加原理，汇总杆端弯矩力矩分配法的基本概念d)结算各杆杆端弯矩 763用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架，需要先解决三个问题：第一，计算单跨超静定梁的固端弯矩。第二，计算结点处各杆端的弯矩分配系数。第三，计算各杆件由近端向远端传递的弯矩传递系数。这也就是常称的力矩分配法的三要素。力矩分配法的基本概念 764力矩分配法的三要素1.固端弯矩常用的三种基本的单跨超静定梁，在支座移动和几种常见的荷载作用下的杆端弯矩，可由力法计算或由表8-1和表8-2中查得。2.弯矩分配系数和分配弯矩(1)转动刚度杆件杆端抵抗转动的能力，称为杆件的转动刚度，AB杆A端的转动刚度用SAB表示，它在数值上等于使AB杆A端产生单位转角时所需施加的力矩。力矩分配法的基本概念 765远端固定，SAB=4i远端铰支，SAB=3i杆端转动刚度不仅与杆件的线刚度i有关，而且与远端的支承情况有关。力矩分配法的基本概念远端滑动，SAB=i远端自由，SAB=0 766(2)弯矩分配系数和分配弯矩力矩分配法的基本概念由 ，得(a)将式(a)代入上式，得(b) 767引入弯矩分配系数力矩分配法的基本概念(2)弯矩分配系数和分配弯矩将式(b)代入式(a)，得(j=B、C、D)（9-1） 768MAj称为分配弯矩。同一结点各杆端的分配系数之和应等于1，即力矩分配法的基本概念(j=B、C、D)（9-2）（9-3）（9-4）(j=B、C、D) 7693.弯矩传递系数和传递弯矩远端弯矩与近端弯矩的比值称为弯矩传递系数。在等截面杆件中，弯矩传递系数C随远端的支承情况而不同。三种基本等截面直杆的传递系数如下：力矩分配法的基本概念（9-5） 7703.弯矩传递系数和传递弯矩远端固定： ；远端铰支： ；远端滑动： ；力矩分配法的基本概念利用传递系数的概念，图中各杆的远端弯矩为（9-6）(j=B、C、D) 771用力矩分配法计算单刚结点结构【例】试用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。力矩分配法的基本概念a)计算简图b)运算过程 772绘M图力矩分配法的基本概念c)M图(kN·m) 773【例】试用力矩分配法作图示刚架的弯矩图。力矩分配法的基本概念a)原结构b)简化后结构 774解：运算过程如图所示d)M图(kN·m)c)运算过程力矩分配法的基本概念 775用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架对于具有多个结点角位移但无结点线位移（简称无侧移）的结构，只需依次反复对各结点使用上节的单刚结点运算，就可逐次渐近地求出各杆的杆端弯矩。具体作法是：首先，将所有结点固定，计算各杆固端弯矩；然后，将各结点轮流地放松，即每次只放松一个结点（其他结点仍暂时固定），这样把各结点的不平衡力矩轮流地进行反号分配、传递，直到传递弯矩小到可略去不计时为止；最后，将以上步骤所得的杆端弯矩（固端弯矩、分配弯矩和传递弯矩）叠加，即得所求的杆端弯矩（总弯矩）。一般只需对各结点进行两到三个循环的运算，就能达到较好的精度。 776【例】试用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架解：运算过程如图所示。 777用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 778用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架M图(kN·m) 779【例】试用力矩分配法作图示无结点线位移刚架的弯矩图。用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 780解：运算过程如图所示。用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 781用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 782【例】试用力矩分配法作图示刚架的弯矩图。解：取等效半刚架。各杆的i1、i2值为相对线刚度。a)原结构b)等效半刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 783解：运算过程如图所示。用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 784用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架c)M图(kN·m)a)原结构b)等效半刚架 785【例】设图示连续梁支座A顺时针转动了0.01rad，支座B、C分别下沉了ΔB=3cm和ΔC=1.8cm，试作出M图，并求D端的角位移θD。已知EI=2×104kN·m2。用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 786解：运算过程如图所示。用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 787()用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架a)支座移动b)M图(kN·m)c)图（求qD） 788TheEnd
此文档下载收益归作者所有
