2013-2014年度第2学期拓扑试题

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1、韩山师范学院2013-2014年度第二学期考核作业考试日期班级科目学生姓名学号评卷人点集拓扑题号一二三四五六七八总分得分一．请写出X={0,1,2}的所有拓扑。（10分）二．（12分）X={0,1,2,3},T={空集，X，{0}，{2}，{0，1}，{0,1,2}，{0，2}},请写出拓扑空间(X,T)中的子集A={1,3}的导集，闭包，内部，边界，外部。三．映射d：R2×R2→R，d((x1,y1),(x2,y2))=max{

2、x1-x2

3、,

4、y1-y2

5、},请证明它是R2上的度量。（8分）四、请说明分离性T2，紧性，连通性都是拓扑性质。（10分

6、）五、（20分）证明（1）欧氏空间E1的三个子空间[0,1),[0,+∞),(0,1]都同胚。（2）欧氏空间E1的三个子空间[0,1],[0,1),(0,1)两两不同胚。六、（20分）设，（1）；（2）写出拓扑空间（X，T）包含元素最少的一个基。七、（10分）证明若A，B分别是拓扑空间X，Y中的闭集，则A×B是X×Y中的闭集。八、（10分）请写出欧氏空间E2的中A(0,0)到B(1,1)的三条不同道路。2作业请打印第一页填写相关信息（第二页是相关提示），用纸（什么纸都行）做完后订在后面提示：一．4页定义2.1二6页定义2.6,8页定义2.10三5页例

7、3四15页定义2.25（1-1映射，连续，逆映射也连续），一个性质P是拓扑性质，指的是对任意一个具有性质P的拓扑空间X，其同胚象也具有性质P（即若f：XY是一个同胚，则Y=f（X）也有性质P）19页定义2.28（T2），27页定义3.2（紧），28页命题3.5，36页定义3.24（连通），38页命题3.29（请证明并推出推论3.30）五（1）15页定义2.25，17页习题1，2，（2）27页定义3.2，定理3.4，36页命题3.27E1是指实数集R赋欧氏度量d(x,y)=

8、x-y

9、.证明空间同胚常用的方法是找出它们之间的一个同胚映射，而证明空间不同胚

10、，是证明它们之间有不同的拓扑性质（紧性，连通性，除掉一些点后的连通性）六，9页定义2.13，10页定义2.16（注意这两个定义的区别，前一个是拓扑空间的拓扑基，后一个是集合的拓扑基，理解这个定义需要邻域的概念6页定义2.2）七，33页命题3.17，定义3.18，6页定义2.4，命题2.3八，定义3.412