数理经济复习提纲及解答

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1、数理经济复习提纲1.叙述弹性的一般定义：一般的，函数关于的弹性定义为或2.证明：（1）两个函数乘积的弹性等于这两个函数弹性的和；证明：令，，二者的积记为，需证明.事实上，从而有（2）两个函数商的弹性等于这两个函数弹性的差。证明：令，，二者的商记为，需证明事实上，，从而有.3.已知逆需求函数为P=12.5Q-0.05，求需求的价格弹性；解：在逆需求函数的两端取自然对数并简化得，而，因此需求的价格弹性为4.用数学语言解释‘边际’概念；一种产品的边际效用，是指在原有的边际消费水平下再追加一个消费单位所增加的

2、效用，记作，数学上表示为由于,故经济学者一般用度量边际效用，即=.任一点处的边际效用，叫做边际效用函数，表示为=.5.用数学语言表述边际效用递减法则；(指在一定时间内，一个人消费一种产品的边际效用随其消费量的增加而减少)数学上边际效用递减法则是指边际效用函数是消费量的减函数，即有，因此，凹效用函数可使边际效用递减法则成立.6.证明：考虑任意市场中的某厂商，并假设TR(Q)和TC(Q)分别是其总收入和总成本函数，则利润函数P(Q)=TR(Q)-TC(Q)在Q*处获得极大值的一阶必要条件是Q*满足：MR(

3、Q*)=MC(Q*),并给出经济解释；证明：由于在处获得极大值，因此又,因此，满足经济解释：一个厂商应该继续生产产品，一直到再多生产一单位产品的成本[]刚好与该单位产品所带来的收入相抵消。若下一个单位产品给厂商增加的收入大于它给厂商增加的成本[]，则生产下一个单位的产品将增加厂商的利润，因而厂商应继续生产。若再多生产一单位的产品所增加的成本大于它给厂商（在市场上）增加的收入[]，则再多生产一单位的产品将减少厂商的利润，即厂商本应该提早停产。7.叙述并证明：完全竞争市场的利润极大化的二阶充分条件；叙述：

4、假设满足，则在处取得极大值的充分条件是，即证明：由极值的二阶充分条件当函数在处有时，在处取得极大值。8.叙述并证明：考虑完全竞争市场情形，利润函数获得极大值的必要条件；叙述：考虑完全竞争市场情形，假设厂商面对既定的价格，则利润函数在处获得极大值的必要条件是满足=证明：因为在完全竞争的市场情形，此时厂商的总收入为,边际收入为一条水平直线=（如下图），为厂商的均衡产量，此时有，即=9.给定厂商的成本函数C(Q)=Q3-14Q2+69Q+128，其中固定成本为128，试求厂商的有效供给曲线；解：厂商的供给曲

5、线为停止生产点[曲线的最低点]以上的那部分边际成本曲线，其方程组为用两种方法求曲线的最低点。法一：微分法,=,=2.令=0，得=7，又[事实上，处处大于零，因此是凸函数]，故曲线的最低点的纵坐标为法二：由定理3.3.3知极小值点必须满足=，即，得=7.又因为，所以曲线的最低点的纵坐标为。从而厂商的供给曲线为10.证明：对于完全垄断市场以及其它各种不完全竞争市场，则MR必然低于AR，即MR1和c>0；市场

6、的反需求函数为PD=g(Q)，对垄断厂商课以一个从价税r.（1）分别求课税前后的最优定价P*和P**；（2）证明厂商在课税后的最优定价一定大于课税前的最优定价，即P**>P*；（3）厂商在课税后的最优产量Q**一定小于课税前的产量Q*.解：（1）在不征收从价税情况下，据式知，厂商的最优供给量满足，而最优定价为在征收从价税的情况下，据式可知厂商的收益为.边际收益为，从而厂商的最优供给量满足，而最优定价为（2）比较式和可知，，这说明课税后厂商的定价会提高。（3）令课税前后的最优产量分别为和，则和.注意到反

7、需求函数是单调递减的，所以其反函数一定也是单调递减的。因此由可得<.12.厂商在一个完全竞争市场上组织生产，成本函数为TC=C(q)，.产品的市场销售价格为P.如何安排产量才能获得极大利润？（1）把厂商的产量安排问题表示成一个极值问题；（2）写出厂商最优产量(均衡产量)满足的一阶必要条件，并解释其经济含义；（3）写出厂商最优产量满足的二阶充分条件，并解释其经济含义；（4）假设q*满足（2）和（3）中的一阶必要条件和二阶充分条件，分析产品销售价格分别对最优产量和最优利润的影响？（5）解释二阶充分条件在比

8、较静态分析中所起的作用.解：（1）令表示厂商的利润，则，因此厂商的问题相当于求一元函数的极大值问题。（2）最优产量应满足的一阶必要条件为或.这说明最优产量处的边际成本等于产品的销售价格。（3）最优产量应满足的二阶充分条件为即即在附近边际成本是递增的。（４）需分别求和．为此首先必须确认和都是的一元函数，这需要从一阶必要条件式出发。下面利用复合函数求导法则给出求的一种方法。由于和＝，所以＝，进一步利用一阶必要条件可将式＝化简为＝＞０且其经济含义是最优利润也是