高中数学完整讲义——二项式定理2.二项展开式2求展开式中的特定项

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1、高中数学讲义求展开式中的特定项知识内容1．二项式定理⑴二项式定理这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：．⑶二项式展开式的各项幂指数二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数．②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到．⑷几点注意①通项是的展开式的第项，这里．②二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二

2、项式定理时，其中的和是不能随便交换的．③注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系17思维的发掘能力的飞跃高中数学讲义数是不同的概念．⑤设，则得公式：．⑥通项是中含有五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值．2．二项式系数

3、的性质⑴杨辉三角形：对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”⑵二项式系数的性质：展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是为自变量的函数，其定义域是：．当时，的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，

4、中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是，17思维的发掘能力的飞跃高中数学讲义，．．．，，，．．．，．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，…等值时，的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二

5、项式系数最大的项必在中间．当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为．当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为．③二项式系数的和为，即．④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．典例分析二项展开式2求展开式中的特定项（常数项，有理项，系数最大项等．）常数项【例1】在展开式中，系数为有理数的项共有项．【例2】的展开式中共

6、有_____项是有理项．17思维的发掘能力的飞跃高中数学讲义【例1】展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例2】的展开式中的常数项为_________．【例3】二项式的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为．（用数字作答）【例4】若的展开式中的常数项为，则实数___________．【例5】在二项式的展开式中，的系数是，则实数的值为．17思维的发掘能力的飞跃高中数学讲义【例1】在的展开式中，常数项是______．（结果用数值表示）【例2】如果展开式中，第四项与第六项的系数相等，

7、则，展开式中的常数项的值等于．【例3】的展开式中常数项为（用数字作答）【例4】若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【例5】若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于．17思维的发掘能力的飞跃高中数学讲义【例1】在的二项展开式中，若常数项为，则等于（用数字作答）【例2】的展开式中，常数项为15，则．【例3】已知的展开式中没有常数项，，且，则______．【例4】展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例5】已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常

8、数项是（用数字作答）【例6】已知，若的展开式中含有常数项，则这样的有（）A．3个B．2C．1D．017思维的发掘能力的飞跃高中数学讲义【例1】展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例2】的展开式中整理后的常数项为（用数字作答）．【例3】的展开式中常数项为（用数字作答）【例4】已知的展开式的常数项是第项，则的值为（）A．B．C．D．【